Графическая карта - Википедия - Graph-encoded map

Карта в кодировке графа (серые треугольники и цветные ребра) графа на плоскости (белые круги и черные ребра)

В топологическая теория графов, а карта с графическим кодированием или же самоцвет это метод кодирования клеточное вложение графа используя другой граф с четырьмя вершинами на ребро исходного графа.^[1] Это топологический аналог бегство, геометрическая операция на многогранники. Графические карты были составлены и названы Линс (1982).^[2]Альтернативные и эквивалентные системы для представления клеточных вложений включают подписанные системы вращения и ленточные графики.

Карта с кодировкой графа для встроенного графа ${ displaystyle G}$ Другой кубический граф ${ displaystyle H}$ вместе с 3-кромочная окраска из ${ displaystyle H}$. Каждый край ${ displaystyle e}$ из ${ displaystyle G}$ раскладывается ровно на четыре вершины в ${ displaystyle H}$, по одному для каждого выбора стороны и конечной точки ребра. Край в ${ displaystyle H}$ соединяет каждую такую ​​вершину с вершиной, представляющей противоположную сторону и тот же конец ${ displaystyle e}$; эти края обычно окрашиваются в красный цвет. Еще одно преимущество в ${ displaystyle H}$ соединяет каждую вершину с вершиной, представляющей противоположную конечную точку и ту же сторону ${ displaystyle e}$; эти края обычно окрашены в синий цвет. Край в ${ displaystyle H}$ третьего цвета, желтого, соединяет каждую вершину с вершиной, представляющей другое ребро ${ displaystyle e '}$ что встречает ${ displaystyle e}$ с той же стороны и в конечной точке.^[1]

Альтернативное описание ${ displaystyle H}$ в том, что у него есть вершина для каждого флаг из ${ displaystyle G}$ (взаимно инцидентная тройка вершины, ребра и грани). Если ${ displaystyle (v, e, f)}$ - флаг, то есть ровно одна вершина ${ displaystyle v '}$, край ${ displaystyle e '}$и лицо ${ displaystyle f '}$ такой, что ${ displaystyle (v ', e, f)}$, ${ displaystyle (v, e ', f)}$, и ${ displaystyle (v, e, f ')}$ тоже флаги. Три цвета краев в ${ displaystyle H}$ представляют каждый из этих трех типов флагов, которые отличаются одним из своих трех элементов. Однако такая интерпретация карты с графическим кодированием требует большей осторожности. Когда одна и та же грань появляется на обеих сторонах ребра, как, например, может произойти при плоском встраивании дерево, две стороны порождают разные вершины камня. И когда одна и та же вершина появляется на обоих концах петля, два конца ребра снова дают начало разным вершинам камня. Таким образом, каждая тройка ${ displaystyle (v, e, f)}$ может быть связано с четырьмя различными вершинами камня.^[1]

Всякий раз, когда кубический граф ${ displaystyle H}$ может быть трехкратным, так что все красно-синие циклы раскраски имеют длину четыре, цветной граф может быть интерпретирован как карта с кодировкой графа и представляет собой вложение другого графа ${ displaystyle G}$.Чтобы восстановить ${ displaystyle G}$ и его вложения, интерпретируйте каждый двухцветный цикл ${ displaystyle H}$ как лицо вложения ${ displaystyle H}$ на поверхность,договор каждый красно-желтый цикл в одну вершину ${ displaystyle G}$, и замените каждую пару параллельных синих ребер, оставшихся после сжатия, одним ребром ${ displaystyle G}$.^[1]

В двойственный граф карты с кодировкой графа можно получить из карты, перекрашив ее так, чтобы красные края драгоценного камня стали синими, а синие края стали красными.^[3]

Рекомендации