Ленточный график - Ribbon graph

Ленточный граф с одной вершиной (желтый диск), тремя ребрами (два из которых скручены) и одной гранью. Он представляет собой вложение графа с тремя петлями на проективная плоскость.

В топологическая теория графов, а ленточный график это способ представить вложения графов, эквивалент по мощности подписанному системы вращения или же карты с графическим кодированием.^[1] Это удобно для визуализации вложений, потому что может представлять неориентированные поверхности без самопересечений (в отличие от вложений всей поверхности в трехмерные Евклидово пространство Ленточные графы также называются ленточными графами, так как они пропускают те части поверхности, которые находятся далеко от графа, оставляя отверстия, через которые можно увидеть остальную часть вложения. толстые графики.^[2]

Определение

В ленточном представлении графа каждая вершина графа представлена ​​топологическим диском, а каждое ребро представлено топологическим прямоугольником с двумя противоположными концами, приклеенными к краям дисков с вершинами (возможно, к тому же диску, что и друг друга).^[3]

Вложения

Представление ленточного графа может быть получено путем вложения графа на поверхность (и метрика на поверхности), выбрав достаточно малое число ${ displaystyle epsilon}$, и представляя каждую вершину и ребро их ${ displaystyle epsilon}$-окрестности на поверхности.^[1][4] Для малых значений ${ displaystyle epsilon}$, прямоугольники с краями становятся длинными и тонкими, как ленты, давая имя представлению.

В другом направлении из ленточного графа можно найти грани соответствующего вложения как компоненты границы топологической поверхности, образованной ленточным графом. Можно восстановить саму поверхность, приклеив топологический диск к ленточному графу вдоль каждого компонента границы. Разделение поверхности на вершинные диски, граничные диски и грани, заданные ленточным графом, и этот процесс склейки представляет собой другое, но связанное представление вложения, называемое 'разложение по полосам.^[5] Поверхность, на которую вложен граф, может быть определена по тому, ориентируема ли она (верно, если какой-либо цикл в графе имеет нечетное число скручиваний), и по его Эйлерова характеристика.

Вложения, которые могут быть представлены ленточными графами, - это те, в которых граф вложен в 2-многообразие (без границы) и в котором каждая грань вложения является топологическим диском.^[1]

Эквивалентность

Два представления ленточных графов называются эквивалентными (и определяют гомеоморфный вложения графов), если они связаны друг с другом, то есть гомеоморфизм топологического пространства, образованного объединением вершинных дисков и реберных прямоугольников, который сохраняет идентификацию этих характеристик.^[3] Представления ленточного графа могут быть эквивалентными, даже если невозможно деформировать одно в другое в трехмерном пространстве: это понятие эквивалентности рассматривает только внутреннюю топологию представления, а не то, как оно встроено.

Однако ленточные графы также применяются в теории узлов,^[4] и в этом приложении могут также использоваться более слабые понятия эквивалентности, которые учитывают трехмерное вложение.

Рекомендации