Группа без зависти - Group-envy-free

Групповая свобода от зависти^[1] (также называемый: коалиционная справедливость)^[2] критерий для справедливое деление. Групповое разделение без зависти - это разделение ресурса между несколькими партнерами таким образом, чтобы каждая группа партнеров чувствовала, что их выделенная доля не меньше, чем доля любой другой группы того же размера. Этот термин используется, в частности, в таких проблемах, как ярмарка распределение ресурсов, ярмарка разрезания торта и справедливое распределение предметов.

Свобода групповой зависти - очень сильное требование справедливости: распределение без зависти группы - это и то, и другое. без зависти и Парето эффективный, но обратное неверно.

Определения

Рассмотрим набор п агенты. Каждый агент я получает определенное вознаграждение Икс_я (например, кусок торта или связка ресурсов). Каждый агент я имеет определенное отношение субъективного предпочтения <_я по частям / пачкам (т.е. ${ displaystyle X <_ {i} Y}$ означает, что агент я предпочитает кусок Икс к части Y).

Рассмотрим группу грамм агентов с текущим распределением ${ Displaystyle {X_ {я} } _ {я в G}}$. Мы говорим, что группа грамм предпочитает кусок Y к его текущему распределению, если существует раздел Y членам грамм: ${ Displaystyle {Y_ {я} } _ {я in G}}$, так что хотя бы один агент я предпочитает свое новое распределение предыдущему распределению (${ displaystyle X_ {i} <_ {i} Y_ {i}}$), и ни один агент не предпочтет свое предыдущее распределение новому распределению.

Рассмотрим две группы агентов: грамм и ЧАС, каждый с тем же номером k агентов. Мы говорим, что группа грамм завидует группа ЧАС если группа грамм предпочитает общее размещение группы ЧАС (а именно ${ displaystyle cup _ {я in H} {X_ {i}}}$) к его текущему распределению.

Распределение {Икс₁, ..., Икс_п} называется группа без зависти если нет группы агентов, которая завидует другой группе с таким же количеством агентов.

Отношение к другим критериям

Распределение групп без зависти также без зависти, поскольку грамм и ЧАС могут быть группы с одним агентом.

Распределение групп без зависти также Парето эффективный, поскольку грамм и ЧАС может быть целая группа всех п агенты.

Свобода групповой зависти сильнее комбинации этих двух критериев, поскольку она применима также к группам из 2, 3, ..., п-1 агент.

Существование

В распределение ресурсов В настройках существует групповое распределение без зависти. Более того, это может быть достигнуто как конкурентное равновесие с равными начальными запасами.^[3][4][2]

В ярмарка разрезания торта В некоторых случаях групповое распределение без зависти существует, если отношения предпочтений представлены положительными непрерывными мерами ценности. То есть каждый агент я имеет определенную функцию V_я представляет ценность каждого кусочка торта, и все такие функции являются аддитивными и неатомарными.^[1]

Более того, распределение без зависти группы существует, если отношения предпочтений представлены предпочтениями над конечными векторные меры. То есть каждый агент я имеет определенный вектор-функция V_я, представляющие значения различных характеристик каждого куска торта, и все компоненты в каждой такой вектор-функции являются аддитивными и неатомарными, и, кроме того, отношение предпочтения по векторам является непрерывным, монотонным и выпуклым.^[5]

Альтернативное определение

Александров и Уолш^[6] Термин «групповая свобода от зависти» используется в более слабом смысле. Они предполагают, что каждая группа грамм оценивает свое комбинированное распределение как среднее арифметическое полезностей своих членов, то есть:

${ displaystyle u_ {G} (X_ {G}): = { frac {1} {| G |}} sum _ {i in G} u_ {i} (X_ {i})}$

и оценивает совокупное распределение всех остальных групп ЧАС как среднее арифметическое оценок, то есть:

${ displaystyle u_ {G} (X_ {H}): = { frac {1} {| G | cdot | H |}} sum _ {i in G} sum _ {j in H} u_ {i} (X_ {j})}$

По их определению, выделение g, h-группы-без зависти (ГЭФ_{г, ч}) если для всех групп грамм размера грамм и все группы ЧАС размера час:

${ Displaystyle и_ {G} (X_ {G}) geq u_ {G} (X_ {H})}$

ГЭФ_1,1 эквивалентно зависть; ГЭФ_{1, п} эквивалентно соразмерность; ГЭФ_{п, п} тривиально удовлетворяется любым распределением. Для каждого грамм и час, ГЭФ_{г, ч} подразумевает ГЭФ_{г, ч + 1} и ГЭФ_{г + 1, ч}. Последствия строгие для 3 или более агентов; для 2 агентов, GEF_{г, ч} для всех грамм,час эквивалентны свободе от зависти. Согласно этому определению, свобода от групповой зависти не подразумевает эффективности по Парето. Они определяют распределение Икс в качестве k-группа-Парето-эффективный (GPE_k) если нет другого распределения Y это, по крайней мере, так же хорошо для всех групп k, и строго лучше хотя бы для одной размерной группы k, т.е. все группы грамм размера k:

${ Displaystyle и_ {G} (Y_ {G}) geq u_ {G} (X_ {G})}$

и хотя бы для одной группы грамм размера k:

${ displaystyle u_ {G} (Y_ {G})> u_ {G} (X_ {G})}$.

GPE₁ эквивалентно эффективности по Парето. GPE_п эквивалентно утилитарно-максимальное распределение, поскольку для большой группы грамм размера п, утилита ты_грамм эквивалентно сумме полезностей всех агентов. Для всех k, GPE_{к + 1} подразумевает GPE_k. Обратное утверждение неверно даже с двумя агентами. Они также рассматривают приблизительные понятия этих свойств справедливости и эффективности, а также их цена справедливости.

Рекомендации