Гамильтонова механика жидкости - Hamiltonian fluid mechanics

Гамильтонова механика жидкости это применение Гамильтониан методы для механика жидкости. Обратите внимание, что этот формализм применим только к недиссипативный жидкости.

Безвихревой баротропный поток

Возьмем простой пример баротропный, невязкий без завихренности жидкость.

Затем сопряженные поля являются плотность вещества поле ρ и потенциал скорости φ. В Скобка Пуассона дан кем-то

${ displaystyle { varphi ({ vec {x}}), rho ({ vec {y}}) } = delta ^ {d} ({ vec {x}} - { vec { y}})}$

и гамильтониан:

${ displaystyle H = int mathrm {d} ^ {d} x { mathcal {H}} = int mathrm {d} ^ {d} x left ({ frac {1} {2}} rho ( nabla varphi) ^ {2} + e ( rho) right),}$

куда е это внутренняя энергия плотность как функция ρ. Для этого баротропного потока внутренняя энергия связана с давлением п к:

${ displaystyle e '' = { frac {1} { rho}} p ',}$

где апостроф (') означает дифференцирование по ρ.

Эта гамильтонова структура приводит к следующим двум уравнения движения:

${ displaystyle { begin {align} { frac { partial rho} { partial t}} & = + { frac { partial { mathcal {H}}} { partial varphi}} = - nabla cdot ( rho { vec {u}}), { frac { partial varphi} { partial t}} & = - { frac { partial { mathcal {H}}} { partial rho}} = - { frac {1} {2}} { vec {u}} cdot { vec {u}} - e ', end {выровнено}}}$

куда ${ Displaystyle { vec {u}} { stackrel { mathrm {def}} {=}} nabla varphi}$ скорость и без завихренности. Второе уравнение приводит к Уравнения Эйлера:

${ displaystyle { frac { partial { vec {u}}} { partial t}} + ({ vec {u}} cdot nabla) { vec {u}} = - е '' набла rho = - { frac {1} { rho}} nabla {p}}$

эксплуатируя тот факт, что завихренность равно нулю:

${ displaystyle nabla times { vec {u}} = { vec {0}}.}$

Поскольку гидродинамика описывается неканонической динамикой, которая обладает бесконечным количеством инвариантов Казимира, альтернативная формулировка гамильтоновой формулировки гидродинамики может быть введена с использованием Механика намбу^[1][2]

Смотрите также

• Вариационный принцип Люка
• Гамильтонова теория поля

Примечания

Рекомендации

• Бадин, Гуальтьеро; Кришчиани, Фульвио (2018). Вариационная формулировка гидродинамики и геофизической гидродинамики - механика, симметрии и законы сохранения -. Springer. п. 218. Дои:10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN  978-3-319-59694-5.
• Моррисон, П.Дж. (2006). «Механика гамильтоновой жидкости» (PDF). В Elsevier (ред.). Энциклопедия математической физики. 2. Амстердам. С. 593–600.
• Моррисон, П. Дж. (Апрель 1998 г.). «Гамильтоново описание идеальной жидкости» (PDF). Обзоры современной физики. Остин, Техас. 70 (2): 467–521. Bibcode:1998РвМП ... 70..467М. Дои:10.1103 / RevModPhys.70.467.
• Р. Салмон (1988). «Механика гамильтоновой жидкости». Ежегодный обзор гидромеханики. 20: 225–256. Bibcode:1988АнРФМ..20..225С. Дои:10.1146 / annurev.fl.20.010188.001301.
• Пастух, Теодор Г (1990). «Симметрии, законы сохранения и гамильтонова структура в геофизической гидродинамике». Успехи геофизики Том 32. Успехи геофизики. 32. С. 287–338. Bibcode:1990AdGeo..32..287S. Дои:10.1016 / S0065-2687 (08) 60429-X. ISBN  9780120188321.
• Свотерс, Гордон Э. (2000). Введение в гамильтонову гидродинамику и теорию устойчивости. Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall / CRC. п. 274. ISBN  1-58488-023-6.
• Nevir, P .; Блендер, Р. (1993). «Представление намбу гидродинамики несжимаемой жидкости с использованием спиральности и энстрофии». J. Phys. А. 26 (22): 1189–1193. Bibcode:1993JPhA ... 26L1189N. Дои:10.1088/0305-4470/26/22/010.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Blender, R .; Бадин, Г. (2015). «Гидродинамическая механика Намбу, полученная с помощью геометрических ограничений». J. Phys. А. 48 (10): 105501. arXiv:1510.04832. Bibcode:2015JPhA ... 48j5501B. Дои:10.1088/1751-8113/48/10/105501.CS1 maint: ref = harv (связь)