Модуль Хариш-Чандры - Википедия - Harish-Chandra module

В математика, особенно в теория представлений групп Ли, а Модуль Хариш-Чандры, названный в честь индийского математика и физика Хариш-Чандра, является представлением реального Группа Ли, связанный с общим представлением, с условиями регулярности и конечности. Когда ассоциированное представление является ${ displaystyle ({ mathfrak {g}}, К)}$-модуль, то его модуль Хариш-Чандры является представлением с желаемыми свойствами факторизации.

Определение

Позволять грамм группа Ли и K компактный подгруппа из грамм. Если ${ Displaystyle ( пи, В)}$ представляет собой представление грамм, то Модуль Хариш-Чандры из ${ displaystyle pi}$ подпространство Икс из V состоящий из K-конечный гладкие векторы в V. Это означает, что Икс включает именно те векторы v так что карта ${ displaystyle varphi _ {v}: G longrightarrow V}$ через

${ Displaystyle varphi _ {v} (g) = pi (g) v}$

гладко, а подпространство

${ displaystyle { text {span}} { pi (k) v: k in K }}$

конечномерна.

Примечания

В 1973 году Леповски показал, что любое неприводимое ${ displaystyle ({ mathfrak {g}}, К)}$-модуль Икс изоморфен модулю Хариш-Чандры неприводимого представления грамм на Гильбертово пространство. Такие представления допустимый, что означает, что они разлагаются аналогично факторизации целых чисел на простые множители. (Конечно, разложение может иметь бесконечно много различных факторов!) Кроме того, результат Хариш-Чандры показывает, что если грамм это редуктивный Группа Ли с максимальной компактной подгруппой K, и Икс неприводимый${ displaystyle ({ mathfrak {g}}, К)}$-модуль с положительно определенной эрмитовой формой, удовлетворяющий

${ Displaystyle langle к cdot v, w rangle = langle v, k ^ {- 1} cdot w rangle}$

и

${ Displaystyle langle Y cdot v, w rangle = - langle v, Y cdot w rangle}$

для всех ${ displaystyle Y in { mathfrak {g}}}$ и ${ displaystyle k in K}$, тогда Икс является модулем Хариш-Чандры единственного неприводимого унитарного представленияграмм.

Рекомендации

• Воган-младший, Дэвид А. (1987), Унитарные представления редуктивных групп Ли., Анналы математических исследований, 118, Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-08482-4

Смотрите также

• (g, K) -модуль
• Допустимое представительство
• Унитарное представительство