Дзета-функция высоты - Википедия - Height zeta function

В математике дзета-функция высоты из алгебраическое многообразие или, в более общем смысле, подмножество разнообразия кодирует распределение точек заданных высота.

Определение

Если S это набор с функцией высоты ЧАС, таких, что существует только конечное число элементов ограниченной высоты, определим функция подсчета

${ Displaystyle N (S, H, B) = # {x in S: H (x) Leq B }.}$

и дзета-функция

${ Displaystyle Z (S, H; s) = sum _ {x in S} H (x) ^ {- s}.}$

Характеристики

Если Z имеет абсцисса схождения β и существует постоянная c такой, что N имеет скорость роста

${ displaystyle N sim cB ^ {a} ( log B) ^ {t-1}}$

затем версия Теорема Винера – Икехары держит: Z имеет т-складной полюс на s = β с вычетом c.а.Γ (т).

Абсцисса сходимости имеет такие же формальные свойства, как и Инвариант Неванлинны и предполагается, что они по существу одинаковы. Точнее, Батырев – Манин предположил следующее.^[1] Позволять Икс - проективное многообразие над числовым полем K с обильным делителем D вызывая функцию вложения и высоты ЧАС, и разреши U обозначим открытое по Зарискому подмножествоИкс. Позволять α = α(D) - инвариант Неванлинны D и β - абсцисса сходимости Z(U, ЧАС; s). Тогда для каждого ε > 0 есть U такой, что β < α + ε: в обратном направлении, если α > 0 тогда α = β для всех достаточно больших полей K и достаточно маленькийU.

Рекомендации

• Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000). Диофантова геометрия: введение. Тексты для выпускников по математике. 201. ISBN  0-387-98981-1. Zbl  0948.11023.
• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии. Springer-Verlag. ISBN  3-540-61223-8. Zbl  0869.11051.