Функция высоты - Height function

Эта статья о математических функциях, которые определяют сложность. Чтобы узнать о других значениях высоты, см. Высота (значения).

А функция высоты это функция который количественно определяет сложность математических объектов. В Диофантова геометрия, функции высоты количественно определяют размер решений для Диофантовы уравнения и обычно являются функциями из набора точек на алгебраические многообразия (или набор алгебраических многообразий) к действительные числа.[1]

Например, классический или же наивная высота над рациональное число обычно определяется как максимум числителей и знаменателей координат (например, 3 для координат (3/9, 1/2)), но в логарифмическая шкала.

Значимость

Функции высоты позволяют математикам считать объекты, например рациональные точки, которые в противном случае были бы бесконечными по количеству. Например, набор рациональных чисел наивной высоты (максимум числителя и знаменателя при выраженный в самых низких терминах ) ниже любая заданная константа конечна, несмотря на бесконечность множества рациональных чисел.[2] В этом смысле функции высоты можно использовать для доказательства асимптотические результаты Такие как Теорема Бейкера в трансцендентная теория чисел что было доказано Алан Бейкер  (1966, 1967a, 1967b ).

В других случаях функции высоты могут различать некоторые объекты в зависимости от их сложности. Например, теорема о подпространстве доказано Вольфганг М. Шмидт  (1972 ) демонстрирует, что точки небольшой высоты (т.е. малой сложности) в проективное пространство лежат в конечном числе гиперплоскости и обобщает Теорема Зигеля о целых точках и решение Уравнение S-единицы.[3]

Функции высоты имели решающее значение для доказательства Теорема Морделла – Вейля. и Теорема Фальтингса к Weil  (1929 ) и Опалубки  (1983 ) соответственно. Несколько выдающихся нерешенных проблем о высоте рациональных точек на алгебраических многообразиях, таких как Гипотеза Манина и Гипотеза Войты, имеют далеко идущие последствия для проблем в Диофантово приближение, Диофантовы уравнения, арифметическая геометрия, и математическая логика.[4][5]

Функции высоты в диофантовой геометрии

История

Высоты в диофантовой геометрии были первоначально разработаны Андре Вайль и Дуглас Норткотт начиная с 1920-х гг.[6] Инновации 1960-х были Высота Нерона – Тейта и осознание того, что высота связана с проективными репрезентациями во многом так же, как обильные линейные пакеты находятся в других частях алгебраическая геометрия. В 1970-е годы Сурен Аракелов развил Аракеловские высоты в Теория аракелова.[7] В 1983 году Фалтингс разработал свою теорию высот Фальтингса в доказательстве теоремы Фалтингса.[8]

Наивная высота

Классический или же наивная высота определяется в терминах обычного абсолютного значения на однородные координаты. Обычно это логарифмическая шкала, и поэтому ее можно рассматривать как пропорциональную «алгебраической сложности» или количеству биты необходимо сохранить точку.[9] Обычно это определяется как логарифм максимального модуля вектора взаимно простых целых чисел, полученного умножением на наименьший общий знаменатель. Это может быть использовано для определения высоты точки в проективном пространстве над Q, или многочлена, рассматриваемого как вектор коэффициентов, или алгебраического числа, от высоты его минимального многочлена.[10]

Наивная высота Рациональное число Икс = п/q (в самых низких сроках)

  • мультипликативная высота [11]
  • логарифмическая высота: [12]

Следовательно, наивные мультипликативные и логарифмические высоты 4/10 находятся 5 и журнал (5), Например.

Наивная высота ЧАС из эллиптическая кривая E данный у2 = х3 + Ax + B определяется как ОН) = макс. журнал (4 |А|3, 27|B|2).[13]

Высота Нерона – Тейта

Основная статья: Высота Нерона – Тейта

В Высота Нерона – Тейта, или же каноническая высота, это квадратичная форма на Группа Морделла – Вейля из рациональные точки абелевого многообразия, определенного над глобальное поле. Он назван в честь Андре Нерон, который первым определил его как сумму локальных высот,[14] и Джон Тейт, который определил его глобально в неопубликованной работе.[15]

Высота Вейля

В Высота Вейля определяется на проективное разнообразие Икс над числовым полем K оснащен линейным комплектом L на Икс. Учитывая очень обширный линейный комплект L0 на Икс, можно определить функцию высоты, используя наивную функцию высоты час. С L0' очень обширен, его полная линейная система дает отображение ϕ из Икс в проективное пространство. Тогда по всем точкам п на Икс, определять[16][17]

Можно написать произвольный линейный пучок L на Икс как разница двух очень широких линейных связок L1 и L2 на Икс, вплоть до Скручивающаяся связка Серра О (1), поэтому можно определить высоту Вейля часL на Икс относительно L через(вплоть до О (1)).[16][17]

Высота Аракелова

В Высота Аракелова на проективном пространстве над полем алгебраических чисел является глобальной функцией высоты с локальными вкладами, исходящими от Fubini – Study metrics на Архимедовы поля и обычная метрика на неархимедовы поля.[18][19] Это обычная высота Вейля с другой метрикой.[20]

Высота опалубки

В Высота опалубки из абелева разновидность определяется над числовое поле является мерой его арифметической сложности. Он определяется высотой метризованный линейный пакет. Он был представлен Опалубки  (1983 ) в его доказательстве Гипотеза Морделла.

Функции высоты в алгебре

Смотрите также: Высота (абелева группа) и Высота (теория колец)

Высота многочлена

Для многочлен п степени п данный

то высота ЧАС(п) определяется как максимум значений его коэффициентов:[21]

Аналогичным образом можно определить длина L(п) как сумму величин коэффициентов:

Связь с мерой Малера

В Мера Малера M(п) из п также является мерой сложности п.[22] Три функции ЧАС(п), L(п) и M(п) связаны неравенство

куда это биномиальный коэффициент.

Функции высоты в автоморфных формах

Одно из условий в определении автоморфная форма на общая линейная группа из адельная алгебраическая группа является умеренный рост, которое является асимптотическим условием роста функции высоты на общей линейной группе, рассматриваемой как аффинное разнообразие.[23]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Lang  (1997, стр. 43–67).
  2. ^ Bombieri и Гублер (2006, стр. 15–21).
  3. ^ Bombieri и Гублер (2006, стр. 176–230).
  4. ^ Войта  (1987 )
  5. ^ Опалубки  (1991 )
  6. ^ Weil  (1929 )
  7. ^ Lang  (1988 )
  8. ^ Опалубки  (1983 )
  9. ^ Bombieri и Гублер (2006, стр. 15–21).
  10. ^ Бейкер и Wüstholz  (2007, п. 3)
  11. ^ planetmath: функция высоты
  12. ^ mathoverflow question: средняя высота рациональных точек на кривой
  13. ^ Каноническая высота на эллиптической кривой в PlanetMath.
  14. ^ Нерон  (1965 )
  15. ^ Lang  (1997 )
  16. ^ а б Сильверман  (1994, III.10)
  17. ^ а б Bombieri и Гублер (2006, Разделы 2.2–2.4)
  18. ^ Bombieri и Гублер (2006, стр. 66–67).
  19. ^ Lang  (1988, стр. 156–157).
  20. ^ Фили, Петше и Прицкер (2017, п. 441)
  21. ^ Borwein  (2002 )
  22. ^ Малер  (1963 )
  23. ^ Ударяться  (1998 )

Источники

внешняя ссылка