Гипотеза Манина - Manin conjecture

Рациональные точки ограниченной высоты за пределами 27 линий на Клебша диагональ кубическая поверхность.

В математика, то Гипотеза Манина описывает предположительное распределение рациональных точек на алгебраическое многообразие относительно подходящего функция высоты. Это было предложено Юрий Иванович Манин и его сотрудники^[1] в 1989 г., когда они инициировали программу с целью описания распределения рациональных точек на подходящих алгебраических многообразиях.

Гипотеза

Их основная гипотеза состоит в следующем. ${ displaystyle V}$ быть Сорт Фано определяется над числовое поле ${ displaystyle K}$,позволять ${ displaystyle H}$- функция высоты, относящаяся к антиканонический делитель и предположим, что ${ Displaystyle V (K)}$является Зариски плотный в ${ displaystyle V}$. Тогда существует непустой Открытое подмножество Зарисского ${ Displaystyle U подмножество V}$такая, что счетная функция ${ displaystyle K}$-рациональные точки ограниченной высоты, определяемые

${ Displaystyle N_ {U, H} (B) = # {x in U (K): H (x) Leq B }}$

за ${ displaystyle B geq 1}$, удовлетворяет

${ Displaystyle N_ {U, H} (B) sim cB ( log B) ^ { rho -1},}$

в качестве ${ displaystyle B to infty.}$Здесь${ displaystyle rho}$ранг Группа Пикард из ${ displaystyle V}$и ${ displaystyle c}$- положительная постоянная, получившая позднее гипотетическую интерпретацию Пейром.^[2]

Гипотеза Манина решена для особых семейств разновидностей,^[3] но все еще открыт в целом.

Рекомендации