Гипотеза Войтаса - Википедия - Vojtas conjecture

В математика, Гипотеза Войты - гипотеза, введенная Пол Войта  (1987 ) о высоте точек на алгебраические многообразия над числовые поля. Гипотеза была мотивирована аналогией между диофантово приближение и Теория Неванлинны (теория распределения стоимости) в комплексный анализ. Отсюда следует множество других гипотез в Диофантово приближение, Диофантовы уравнения, арифметическая геометрия, и математическая логика.

Формулировка гипотезы

Позволять ${ displaystyle F}$ числовое поле, пусть ${ Displaystyle X / F}$ - неособое алгебраическое многообразие, пусть ${ displaystyle D}$ быть эффективным делитель на ${ displaystyle X}$ с в худшем случае нормальными переходами, пусть ${ displaystyle H}$ быть обильным делителем на ${ displaystyle X}$, и разреши ${ displaystyle K_ {X}}$ быть каноническим делителем на ${ displaystyle X}$. Выберите Weil функции высоты ${ displaystyle h_ {H}}$ и ${ displaystyle h_ {K_ {X}}}$ и для каждого абсолютная величина ${ displaystyle v}$ на ${ displaystyle F}$, функция локальной высоты ${ displaystyle lambda _ {D, v}}$. Зафиксируйте конечный набор абсолютных значений ${ displaystyle S}$ из ${ displaystyle F}$, и разреши ${ displaystyle epsilon> 0}$. Тогда есть постоянная ${ displaystyle C}$ и непустое открытое множество Зарисского ${ Displaystyle U substeq X}$, в зависимости от всех вышеперечисленных вариантов, так что

${ displaystyle sum _ {v in S} lambda _ {D, v} (P) + h_ {K_ {X}} (P) leq epsilon h_ {H} (P) + C quad { hbox {для всех}} P in U (F).}$

Примеры:

1. Позволять ${ Displaystyle X = mathbb {P} ^ {N}}$. потом ${ displaystyle K_ {X} sim - (N + 1) H}$, поэтому гипотеза Войты гласит ${ displaystyle sum _ {v in S} lambda _ {D, v} (P) leq (N + 1 + epsilon) h_ {H} (P) + C}$ для всех ${ Displaystyle P in U (F)}$.
2. Позволять ${ displaystyle X}$ - многообразие с тривиальным каноническим расслоением, например абелева разновидность, а K3 поверхность или Сорт Калаби-Яу. Гипотеза Войты предсказывает, что если ${ displaystyle D}$ - эффективный обильный дивизор нормальных пересечений, то ${ displaystyle S}$-интегральные точки на аффинном многообразии ${ Displaystyle X setminus D}$ не тупы по Зарисскому. Для абелевых многообразий это было предположено Lang и доказано Фальтингс (1991).
3. Позволять ${ displaystyle X}$ быть разнообразным общий тип, т.е. ${ displaystyle K_ {X}}$ обильна на некотором непустом открытом по Зарисском подмножестве ${ displaystyle X}$. Затем принимая ${ Displaystyle S = emptyset}$, Гипотеза Войты предсказывает, что ${ Displaystyle X (F)}$ не плотно Зарисского в ${ displaystyle X}$. Последнее утверждение для многообразий общего типа есть Гипотеза Бомбьери-Ланга.

Обобщения

Есть обобщения, в которых ${ displaystyle P}$ разрешено варьироваться ${ Displaystyle X ({ overline {F}})}$, а в верхней оценке есть дополнительный член, зависящий от дискриминанта расширения поля ${ Displaystyle F (P) / F}$.

Существуют обобщения, в которых неархимедовы локальные высоты ${ displaystyle lambda _ {D, v}}$ заменяются усеченными локальными высотами, которые являются локальными высотами, в которых множественности игнорируются. Эти версии гипотезы Войты обеспечивают естественные многомерные аналоги гипотезы Гипотеза ABC.

Рекомендации

• Войта, Пол (1987). Диофантовы приближения и теория распределения стоимости. Конспект лекций по математике. 1239. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007 / BFb0072989. ISBN  978-3-540-17551-3. МИСТЕР  0883451. Zbl  0609.14011.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Фальтингс, Герд (1991). «Диофантовы приближения на абелевых многообразиях». Анналы математики. 123 (3): 549–576. Дои:10.2307/2944319. МИСТЕР  1109353.CS1 maint: ref = harv (связь)