Гессенский многогранник - Hessian polyhedron

Гессенский многогранник
Сложный многогранник 3-3-3-3-3.png
Ортографическая проекция
(3-угольные треугольные края обведены черными краями)
Символ Шлефли3{3}3{3}3
Диаграмма КокстераCDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.png
Лица27 3{3}3 Сложный многоугольник 3-3-3.png
Края72 3{} Комплекс trion.png
Вершины27
Многоугольник ПетриДодекагон
многоугольник ван Осса12 3{4}2 Сложный многоугольник 3-4-2.png
Группа ШепардL3 = 3[3]3[3]3, заказ 648
Двойной многогранникСамодвойственный
ХарактеристикиОбычный

В геометрия, то Гессенский многогранник это правильный комплексный многогранник 3{3}3{3}3, CDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.png, в . У него 27 вершин, 72 3{} ребра, и 27 3{3}3 лица. Он самодвойственный.

Коксетер назвал его в честь Людвиг Отто Гессен за разделение Гессенская конфигурация или (94123), 9 точек лежат тройками на двенадцати линиях, по четыре линии через каждую точку.[1]

это комплексная группа отражений является 3[3]3[3]3 или CDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.png, заказ 648, также называемый Гессенская группа. Имеет 27 экземпляров CDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngпорядка 24 в каждой вершине. Он имеет 24 отражения порядка 3. это Число Кокстера равно 12 со степенями фундаментальных инвариантов 3, 6 и 12, что можно увидеть в проективной симметрии многогранников.

В Многогранник Виттинга, 3{3}3{3}3{3}3, CDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.png содержит многогранник Гессе в виде клетки и фигуры вершин.

Он имеет реальное представление как 221 многогранник, Узлы CDel 10r.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngв 4-мерном пространстве с одинаковыми 27 вершинами. 216 граней в 221 можно увидеть как 72 3{} ребер представлены как 3 простых ребра.

Координаты

Его 27 вершинам можно дать координаты в : для (λ, μ = 0,1,2).

(0, ωλ, −ωμ)
(−ωμ, 0, ωλ)
λ, −ωμ,0)

где .

Как конфигурация

Сложный многогранник 3-3-3-3-3-one-blue-face.png
Многогранник Гессе с треугольными 3-гранями, очерченными черными краями, с одной гранью, обозначенной синим.
Сложный многогранник 3-3-3-3-3-one-blue-van oss polygon.png
Один из 12 полигонов Ван осса, 3{4}2, в многограннике Гессе

Его симметрия определяется выражением 3[3]3[3]3 или CDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.png, заказ 648.[2]

В матрица конфигурации за 3{3}3{3}3 является:[3]

Количество элементов k-граней (f-векторы ) можно прочитать по диагонали. Количество элементов каждой k-грани указано в строках ниже диагонали. Количество элементов каждой k-фигуры указано в строках над диагональю.

L3CDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngk-лицожkж0ж1ж2k-РисПримечания
L2CDel node x.pngCDel 2.pngCDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.png( )ж027883{3}3L3/ Л2 = 27*4!/4! = 27
L1L1CDel 3node 1.pngCDel 2.pngCDel node x.pngCDel 2.pngCDel 3node.png3{ }ж137233{ }L3/ Л1L1 = 27*4!/9 = 72
L2CDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngCDel 2.pngCDel node x.png3{3}3ж28827( )L3/ Л2 = 27*4!/4! = 27

Изображений

Это 8 симметричных ортогональных проекций, некоторые из которых имеют перекрывающиеся вершины, показанные цветами. Здесь 72 треугольных ребра нарисованы как 3 отдельных ребра.

Самолет Кокстера орфографические проекции
E6
[12]
Авто (E6)
[18/2]
D5
[8]
D4 / A2
[6]
Вверх 2 21 t0 E6.svg
(1 = красный, 3 = оранжевый)
Сложный многогранник 3-3-3-3-3.png
(1)
Вверх 2 21 t0 D5.svg
(1,3)
Вверх 2 21 t0 D4.svg
(3,9)
B6
[12/2]
A5
[6]
A4
[5]
A3 / D3
[4]
Вверх 2 21 т0 B6.svg
(1,3)
Вверх 2 21 t0 A5.svg
(1,3)
Вверх 2 21 t0 A4.svg
(1,2)
Вверх 2 21 t0 D3.svg
(1,4,7)

Связанные сложные многогранники

Двойной гессенский многогранник
Символ Шлефли2{4}3{3}3
Диаграмма КокстераCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.png
Лица72 2{4}3 3-обобщенный-2-ортоплекс skew.svg
Края216 {} Комплекс dion.png
Вершины54
Многоугольник ПетриВосьмиугольник
многоугольник ван Осса{6} Правильный многоугольник 6.svg
Группа ШепардM3 = 3[3]3[4]2, заказ 1296
Двойной многогранникВыпрямленный многогранник Гессе, 3{3}3{4}2
ХарактеристикиОбычный

В Гессенский многогранник можно рассматривать как чередование CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.png, CDel узел h.pngCDel 4.pngCDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.png = CDel label-33.pngCDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel label3.png. Этот двойной гессенский многогранник имеет 54 вершины, 216 простых ребер и 72 CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel 3node.png лица. Его вершины представляют собой объединение вершин CDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.png и его двойная CDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node 1.png.

это комплексная группа отражений является 3[3]3[4]2, или же CDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngCDel 4.pngCDel node.png, заказ 1296. Имеется 54 экз. CDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngпорядка 24 в каждой вершине. Он имеет 24 отражения порядка 3 и 9 отражений второго порядка. это число Кокстера равно 18, со степенями фундаментальных инвариантов 6, 12 и 18, что видно из проективной симметрии многогранников.

Коксетер заметил, что три сложных многогранника CDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.png, CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.png, CDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngCDel 4.pngCDel node.png похожи на настоящие тетраэдр (CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png), куб (CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png), и октаэдр (CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png). Гессиан аналогичен тетраэдру, как куб - двойной тетраэдр, а октаэдр - выпрямленный тетраэдр. В обоих наборах вершины первого принадлежат двум двойственным парам второго, а вершины третьего находятся в центре ребер второго.[4]

Его реальное представление 54 вершины содержатся в двух 221 многогранники в симметричных конфигурациях: Узлы CDel 10r.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png и Узлы CDel 01r.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. Его вершины также можно увидеть в двойственном многограннике к 122.

строительство

Элементы можно увидеть в матрица конфигурации:

M3CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngk-лицожkж0ж1ж2k-РисПримечания
L2CDel node x.pngCDel 2.pngCDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.png( )ж054883{3}3M3/ Л2 = 1296/24 = 54
L1А1CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node x.pngCDel 2.pngCDel 3node.png{ }ж1221633{ }M3/ Л1А1 = 1296/6 = 216
M2CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel 3node.pngCDel 2.pngCDel node x.png2{4}3ж26972( )M3/ М2 = 1296/18 = 72

Изображений

Ортографические проекции
Сложный многогранник 2-4-3-3-3.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.png многогранник
Сложный многогранник 2-4-3-3-3 blue-edge.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.png многогранник с одной гранью, 2{4}3 выделен синим
Сложный многогранник 2-4-3-3-3-bivertexcolor.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.png многогранник с 54 вершинами, в двух 2 чередующихся цветах
Сложный многогранник 3-3-3-4-2-alternated.png
CDel label-33.pngCDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel label3.png и CDel label-33.pngУзлы CDel 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel label3.png, показанные здесь с красными и синими вершинами, образуют регулярное соединение CDel узел h3.pngCDel 4.pngCDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.png

Выпрямленный многогранник Гессе

Выпрямленный многогранник Гессе
Символ Шлефли3{3}3{4}2
Диаграммы КокстераCDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.png или CDel label3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel label-33.png.
Лица54 3{3}3 Сложный многоугольник 3-3-3.png
Края216 3{} Комплекс trion.png
Вершины72
Многоугольник ПетриВосьмиугольник
многоугольник ван Осса9 3{4}3 Сложный многоугольник 3-4-3.png
Группа ШепардM3 = 3[3]3[4]2, заказ 1296
3[3]3[3]3, заказ 648
Двойной многогранникДвойной гессенский многогранник
2{4}3{3}3
ХарактеристикиОбычный

В исправление, CDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.png удваивается по симметрии как правильный комплексный многогранник CDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngCDel 4.pngCDel node.png с 72 вершинами, 216 3{} ребра, 54 3{3}3 лица. Его вершина фигура 3{4}2, и многоугольник Ван осса 3{4}3. Он двойственен двойной гессенский многогранник.[5]

Он имеет реальное представление как 122 многогранник CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png, разделяя 72 вершины. Его 216 3-ребер можно нарисовать как 648 простых ребер, что на 72 меньше 1.22720 граней.

Сложный многогранник 3-3-3-4-2.png
CDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngCDel 4.pngCDel node.png или CDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.png имеет 72 вершины, 216 3-ребер и 54 3{3}3 лица
Сложный многогранник 3-3-3-4-2-one-blue-face.png
CDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngCDel 4.pngCDel node.png с одним синим лицом, 3{3}3 выделил
Сложный многогранник 3-3-3-4-2-one-blue van oss polygon.png
CDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngCDel 4.pngCDel node.png с одним из 9 полигонов ван осса, 3{4}3, выделил

строительство

Элементы можно увидеть в двух матрицы конфигурации, регулярная и квазирегулярная форма.

M3 = 3[3]3[4]2 симметрия
M3CDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngCDel 4.pngCDel node.pngk-лицожkж0ж1ж2k-РисПримечания
CDel node x.pngCDel 2.pngCDel 3node.pngCDel 4.pngCDel node.png( )ж072963{4}2M3/ М2 = 1296/18 = 72
L1А1CDel 3node 1.pngCDel 2.pngCDel node x.pngCDel 2.pngCDel node.png3{ }ж132162{ }M3/ Л1А1 = 1296/3/2 = 216
L2CDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngCDel 2.pngCDel node x.png3{3}3ж28854( )M3/ Л2 = 1296/24 = 54
L3 = 3[3]3[3]3 симметрия
L3CDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngk-лицожkж0ж1ж2k-РисПримечания
L1L1CDel 3node.pngCDel 2.pngCDel node x.pngCDel 2.pngCDel 3node.png( )ж0729333{ }×3{ }L3/ Л1L1 = 648/9 = 72
L1CDel node x.pngCDel 2.pngCDel 3node 1.pngCDel 2.pngCDel node x.png3{ }ж1321611{ }L3/ Л1 = 648/3 = 216
L2CDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node 1.pngCDel 2.pngCDel node x.png3{3}3ж28827*( )L3/ Л2 = 648/24 = 27
CDel node x.pngCDel 2.pngCDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.png88*27

Рекомендации

  1. ^ Кокстер, Комплексные правильные многогранники, стр.123
  2. ^ Правильные выпуклые многогранники Кокстера, 12.5 Многогранник Уиттинга
  3. ^ Кокстер, Комплексные правильные многогранники, с.132
  4. ^ Кокстер, Сложные регулярные многогранники, стр.127.
  5. ^ Кокстер, Х. С. М., Регулярные сложные многогранники, второе издание, Cambridge University Press, (1991). стр.30 и стр.47
  • Кокстер, Х. С. М. и Moser, W.O.J .; Генераторы и соотношения для дискретных групп (1965), особенно стр 67–80.
  • Кокстер, Х. С. М.; Регулярные сложные многогранники, Cambridge University Press, (1974).
  • Кокстер, Х. С. М. и Shephard, G.C .; Портреты семейства сложных многогранников, Леонардо Том 25, № 3/4, (1992), стр. 239–244,