Гессенский многогранник - Hessian polyhedron
Гессенский многогранник | |
---|---|
Ортографическая проекция (3-угольные треугольные края обведены черными краями) | |
Символ Шлефли | 3{3}3{3}3 |
Диаграмма Кокстера | |
Лица | 27 3{3}3 |
Края | 72 3{} |
Вершины | 27 |
Многоугольник Петри | Додекагон |
многоугольник ван Осса | 12 3{4}2 |
Группа Шепард | L3 = 3[3]3[3]3, заказ 648 |
Двойной многогранник | Самодвойственный |
Характеристики | Обычный |
В геометрия, то Гессенский многогранник это правильный комплексный многогранник 3{3}3{3}3, , в . У него 27 вершин, 72 3{} ребра, и 27 3{3}3 лица. Он самодвойственный.
Коксетер назвал его в честь Людвиг Отто Гессен за разделение Гессенская конфигурация или (94123), 9 точек лежат тройками на двенадцати линиях, по четыре линии через каждую точку.[1]
это комплексная группа отражений является 3[3]3[3]3 или , заказ 648, также называемый Гессенская группа. Имеет 27 экземпляров порядка 24 в каждой вершине. Он имеет 24 отражения порядка 3. это Число Кокстера равно 12 со степенями фундаментальных инвариантов 3, 6 и 12, что можно увидеть в проективной симметрии многогранников.
В Многогранник Виттинга, 3{3}3{3}3{3}3, содержит многогранник Гессе в виде клетки и фигуры вершин.
Он имеет реальное представление как 221 многогранник, в 4-мерном пространстве с одинаковыми 27 вершинами. 216 граней в 221 можно увидеть как 72 3{} ребер представлены как 3 простых ребра.
Координаты
Его 27 вершинам можно дать координаты в : для (λ, μ = 0,1,2).
- (0, ωλ, −ωμ)
- (−ωμ, 0, ωλ)
- (ωλ, −ωμ,0)
где .
Как конфигурация
Многогранник Гессе с треугольными 3-гранями, очерченными черными краями, с одной гранью, обозначенной синим. | Один из 12 полигонов Ван осса, 3{4}2, в многограннике Гессе |
Его симметрия определяется выражением 3[3]3[3]3 или , заказ 648.[2]
В матрица конфигурации за 3{3}3{3}3 является:[3]
Количество элементов k-граней (f-векторы ) можно прочитать по диагонали. Количество элементов каждой k-грани указано в строках ниже диагонали. Количество элементов каждой k-фигуры указано в строках над диагональю.
L3 | k-лицо | жk | ж0 | ж1 | ж2 | k-Рис | Примечания | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
L2 | ( ) | ж0 | 27 | 8 | 8 | 3{3}3 | L3/ Л2 = 27*4!/4! = 27 | |
L1L1 | 3{ } | ж1 | 3 | 72 | 3 | 3{ } | L3/ Л1L1 = 27*4!/9 = 72 | |
L2 | 3{3}3 | ж2 | 8 | 8 | 27 | ( ) | L3/ Л2 = 27*4!/4! = 27 |
Изображений
Это 8 симметричных ортогональных проекций, некоторые из которых имеют перекрывающиеся вершины, показанные цветами. Здесь 72 треугольных ребра нарисованы как 3 отдельных ребра.
E6 [12] | Авто (E6) [18/2] | D5 [8] | D4 / A2 [6] |
---|---|---|---|
(1 = красный, 3 = оранжевый) | (1) | (1,3) | (3,9) |
B6 [12/2] | A5 [6] | A4 [5] | A3 / D3 [4] |
(1,3) | (1,3) | (1,2) | (1,4,7) |
Связанные сложные многогранники
Двойной гессенский многогранник | |
---|---|
Символ Шлефли | 2{4}3{3}3 |
Диаграмма Кокстера | |
Лица | 72 2{4}3 |
Края | 216 {} |
Вершины | 54 |
Многоугольник Петри | Восьмиугольник |
многоугольник ван Осса | {6} |
Группа Шепард | M3 = 3[3]3[4]2, заказ 1296 |
Двойной многогранник | Выпрямленный многогранник Гессе, 3{3}3{4}2 |
Характеристики | Обычный |
В Гессенский многогранник можно рассматривать как чередование , = . Этот двойной гессенский многогранник имеет 54 вершины, 216 простых ребер и 72 лица. Его вершины представляют собой объединение вершин и его двойная .
это комплексная группа отражений является 3[3]3[4]2, или же , заказ 1296. Имеется 54 экз. порядка 24 в каждой вершине. Он имеет 24 отражения порядка 3 и 9 отражений второго порядка. это число Кокстера равно 18, со степенями фундаментальных инвариантов 6, 12 и 18, что видно из проективной симметрии многогранников.
Коксетер заметил, что три сложных многогранника , , похожи на настоящие тетраэдр (), куб (), и октаэдр (). Гессиан аналогичен тетраэдру, как куб - двойной тетраэдр, а октаэдр - выпрямленный тетраэдр. В обоих наборах вершины первого принадлежат двум двойственным парам второго, а вершины третьего находятся в центре ребер второго.[4]
Его реальное представление 54 вершины содержатся в двух 221 многогранники в симметричных конфигурациях: и . Его вершины также можно увидеть в двойственном многограннике к 122.
строительство
Элементы можно увидеть в матрица конфигурации:
M3 | k-лицо | жk | ж0 | ж1 | ж2 | k-Рис | Примечания | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
L2 | ( ) | ж0 | 54 | 8 | 8 | 3{3}3 | M3/ Л2 = 1296/24 = 54 | |
L1А1 | { } | ж1 | 2 | 216 | 3 | 3{ } | M3/ Л1А1 = 1296/6 = 216 | |
M2 | 2{4}3 | ж2 | 6 | 9 | 72 | ( ) | M3/ М2 = 1296/18 = 72 |
Изображений
многогранник | многогранник с одной гранью, 2{4}3 выделен синим | многогранник с 54 вершинами, в двух 2 чередующихся цветах | и , показанные здесь с красными и синими вершинами, образуют регулярное соединение |
Выпрямленный многогранник Гессе
Выпрямленный многогранник Гессе | |
---|---|
Символ Шлефли | 3{3}3{4}2 |
Диаграммы Кокстера | или . |
Лица | 54 3{3}3 |
Края | 216 3{} |
Вершины | 72 |
Многоугольник Петри | Восьмиугольник |
многоугольник ван Осса | 9 3{4}3 |
Группа Шепард | M3 = 3[3]3[4]2, заказ 1296 3[3]3[3]3, заказ 648 |
Двойной многогранник | Двойной гессенский многогранник 2{4}3{3}3 |
Характеристики | Обычный |
В исправление, удваивается по симметрии как правильный комплексный многогранник с 72 вершинами, 216 3{} ребра, 54 3{3}3 лица. Его вершина фигура 3{4}2, и многоугольник Ван осса 3{4}3. Он двойственен двойной гессенский многогранник.[5]
Он имеет реальное представление как 122 многогранник , разделяя 72 вершины. Его 216 3-ребер можно нарисовать как 648 простых ребер, что на 72 меньше 1.22720 граней.
или имеет 72 вершины, 216 3-ребер и 54 3{3}3 лица | с одним синим лицом, 3{3}3 выделил | с одним из 9 полигонов ван осса, 3{4}3, выделил |
строительство
Элементы можно увидеть в двух матрицы конфигурации, регулярная и квазирегулярная форма.
M3 | k-лицо | жk | ж0 | ж1 | ж2 | k-Рис | Примечания | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
( ) | ж0 | 72 | 9 | 6 | 3{4}2 | M3/ М2 = 1296/18 = 72 | ||
L1А1 | 3{ } | ж1 | 3 | 216 | 2 | { } | M3/ Л1А1 = 1296/3/2 = 216 | |
L2 | 3{3}3 | ж2 | 8 | 8 | 54 | ( ) | M3/ Л2 = 1296/24 = 54 |
L3 | k-лицо | жk | ж0 | ж1 | ж2 | k-Рис | Примечания | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
L1L1 | ( ) | ж0 | 72 | 9 | 3 | 3 | 3{ }×3{ } | L3/ Л1L1 = 648/9 = 72 | |
L1 | 3{ } | ж1 | 3 | 216 | 1 | 1 | { } | L3/ Л1 = 648/3 = 216 | |
L2 | 3{3}3 | ж2 | 8 | 8 | 27 | * | ( ) | L3/ Л2 = 648/24 = 27 | |
8 | 8 | * | 27 |
Рекомендации
- ^ Кокстер, Комплексные правильные многогранники, стр.123
- ^ Правильные выпуклые многогранники Кокстера, 12.5 Многогранник Уиттинга
- ^ Кокстер, Комплексные правильные многогранники, с.132
- ^ Кокстер, Сложные регулярные многогранники, стр.127.
- ^ Кокстер, Х. С. М., Регулярные сложные многогранники, второе издание, Cambridge University Press, (1991). стр.30 и стр.47
- Кокстер, Х. С. М. и Moser, W.O.J .; Генераторы и соотношения для дискретных групп (1965), особенно стр 67–80.
- Кокстер, Х. С. М.; Регулярные сложные многогранники, Cambridge University Press, (1974).
- Кокстер, Х. С. М. и Shephard, G.C .; Портреты семейства сложных многогранников, Леонардо Том 25, № 3/4, (1992), стр. 239–244,