Проблема раздела земель Хилла – Бека - Википедия - Hill–Beck land division problem

Следующий вариант ярмарка разрезания торта проблема была введена Тед Хилл в 1983 г.[1]

Есть территория D рядом с п страны. Каждая страна ценит разные подмножества D иначе. Страны хотели бы разделить D справедливо среди них, где "справедливый" означает пропорциональное деление. Кроме того, доля, выделенная каждой стране, должна быть связана с этой страной и находиться рядом с ней. Это географическое ограничение отличает эту проблему от классической ярмарка разрезания торта.

Формально каждая страна Cя должен получить непересекающийся кусок D, отмечен Dя, так что часть границы между Cя и D содержится в интерьере Cя ∪ Dя.

Невозможность и возможность

Есть случаи, когда проблема не решается:

  1. Если есть одна точка, которой две страны приписывают всю свою ценность (например, святое место), то, очевидно, территория не может быть разделена пропорционально. Чтобы предотвратить такие ситуации, мы предполагаем, что все страны присваивают значение 0 всем особым точкам.
  2. Если D является квадратом, есть 4 страны, прилегающие к 4 сторонам квадрата, и каждая страна присваивает все свое значение границе на противоположной стороне, тогда каждое выделение, которое соединяет, скажем, северную страну с желаемой южной границей, будет невозможно связать восточную страну с желаемой западной границей (пока мы находимся в двухмерной плоскости). Чтобы предотвратить такие ситуации, мы предполагаем, что все страны присваивают значение 0 границе D.

В 1983 году Хилл доказал, что если каждая точка в D имеет значение 0 для всех стран, а граница D имеет значение 0 для всех стран, тогда существует пропорциональное деление с ограничением смежности. Его доказательство было только экзистенциальным - алгоритм не был описан.[1]

Алгоритм

4 года спустя Анатоль Бек описал протокол для достижения такого разделения.[2] По сути, протокол является разработкой Последний уменьшитель протокол. Это позволяет странам делать ставки на части D, дает наименьшую ставку своему участнику торгов и делит остаток между оставшимися п - 1 страна. Некоторые изменения необходимы, чтобы гарантировать выполнение ограничения смежности.

Односвязная территория

Когда D является односвязный, используется следующий алгоритм.

1. Найдите Отображение Римана час что отображает D к единичный диск, так что для всех стран значение каждого круга с центром в начале координат равно 0, а значение каждого радиуса от начала координат равно 0 (наличие такого час доказывается счетным аргументом).

2. Попросите каждую страну нарисовать на карте диска единицы час(D), диск с центром в начале координат со значением 1 /п. Это возможно благодаря условию, что значение всех кругов с центром в начале координат равно 0.

3. Найдите диск D1 с наименьшим радиусом, р1.

Есть два случая.

Единственный победитель

4. Если D1 была нарисована только одной страной, скажем, Cя, затем отдайте этот диск Cя. Его значение для других стран строго меньше 1 /п, поэтому мы можем дать Cя небольшая дополнительная деталь, соединяющая его с выделенным ему диском.

Для этого нарисуйте сектор, соединяющий D1 к образу границы между Cя и D. Пусть каждая страна (кроме Cя) обрезать этот сектор так, чтобы все страны оценили объединение диска и сектора не более 1 /п. Это возможно благодаря условию, что значение всех радиусов от начала координат равно 0. Присвоить Cя союз D1 и обрезанный сектор.

Остаток односвязен и имеет значение не менее (п − 1)/п остальным п - 1 страны, поэтому деление может выполняться рекурсивно на шаге 1.

Много победителей

Если D1 был нарисован k> 1 страны, то необходимы более сложные аукционы, чтобы найти страну, которой мы можем предоставить диск и соединительный сектор.

5. Выберите произвольную страну-победительницу и назовите ее декларатор, C1. Пусть добавит сектор, соединяющий D1 на его нынешнюю территорию, и пусть другие страны урежут этот сектор таким образом, чтобы:

  • Для каждой невыигравшей страны значение D1 плюс обрезанный сектор не более 1 /п (это возможно, потому что значение D1 для них меньше 1 /п).
  • Для каждой страны-победителя значение только обрезанного сектора меньше 1 /п.

6. Пусть каждая из стран-победителей предложит новый радиус р (меньше, чем его первая ставка), так что значение обрезанного сектора плюс круг радиуса р ровно 1 /п. Выберите такой диск наименьшего размера, D2. Опять же, есть два случая:

Если C1 одна из стран, предлагающих D2, тогда просто дайте это D2 (что немного меньше оригинального D1) и соединительный сектор. C1 согласились, что значение равно 1 /п а другие страны согласились, что это не более 1 /п, поэтому мы можем перейти к шагу 1 рекурсивно.

Иначе, C1 соглашается с тем, что общая стоимость D2 плюс соединительный сектор меньше 1 /п. Все не победители также должны согласиться с этим, поскольку D2 меньше чем D1. Так C1 и все другие страны, которые согласны с этим, исключаются из списка победителей.

7. Из числа оставшихся победителей выберите нового оператора объявления. C2. Пусть добавит еще один сектор, соединяющий D2 на его текущую территорию, и позволить другим странам обрезать этот сектор, как на шаге 5.

Обратите внимание, что сейчас D2 связан с двумя разными территориями - C1 и C2. Это проблема, потому что это отключает оставшуюся территорию. Чтобы решить эту проблему, C2 разрешено занять другой сектор, на этот раз длиной меньше 1, чтобы не повредить возможности подключения.[2] Этот третий сектор снова обрезается всеми странами, как на шаге 5. В свою очередь, C2 требуется отдать часть участка соединяющего D2 к C1, значение которого равно значению полученного третьего сектора.

C2Распределение кандидатов теперь содержит следующие части: D2, одиночный сектор длиной 1, соединяющий D2 к C2, и два коротких сектора, не доходящих до границы D. Значение этой конструкции для C2 равно 1 /п, его значение для не выигравших меньше 1 /п, а его значение для остальных победителей не превосходит 1 /п.

Этот процесс продолжается с оставшимися победителями, пока не останется только один победитель.

Конечно-связная территория

Если территория D является k-связаны с конечным k, то деление можно проводить индукцией по k.

Когда k = 1, D односвязно и может быть разделено протоколом из предыдущего раздела.

Иначе (k > 1) отметьте внешнюю границу D к B1 и его внутренние границы B2, ..., Bk.

Найдите линию L соединяющая внешнюю границу B1 к внутренней границе Bk, так что все страны ценят L как 0. Это возможно с помощью следующего счетного аргумента. Существует бесчисленное множество попарно непересекающихся прямых, соединяющих B1 и Bk и содержится в D. Но мера D конечно, поэтому количество прямых с положительной мерой должно быть конечно.

Набор D \ L является (k - 1) -связано. Разделите его рекурсивно, затем назначьте L произвольно в любую прилегающую к нему страну. Это не влияет на справедливость распределения, поскольку стоимость L 0 для всех стран.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Хилл, Т. П. (1983). «Определение справедливой границы». Американский математический ежемесячник. 90 (7): 438–442. Дои:10.2307/2975720. JSTOR  2975720.
  2. ^ а б Бек, А. (1987). «Построение справедливой границы». Американский математический ежемесячник. 94 (2): 157–162. Дои:10.2307/2322417. JSTOR  2322417.
  • Дополнительное решение проблемы см .: Уэбб, В. А. (1990). «Комбинаторный алгоритм для установления справедливой границы». Европейский журнал комбинаторики. 11 (3): 301–304. Дои:10.1016 / s0195-6698 (13) 80129-1.