Последний уменьшитель - Last diminisher

В последний уменьшитель процедура - это процедура для ярмарка разрезания торта. Он включает в себя некий разнородный и делимый ресурс, такой как праздничный торт, и п партнеры с разными предпочтениями по разным частям торта. Это позволяет п люди для достижения пропорциональное деление, то есть разделить торт между ними так, чтобы каждый получил кусок стоимостью не менее 1 /п от общей стоимости согласно его собственной субъективной оценке. Например, если Алиса оценивает весь торт как 100 долларов и есть 5 партнеров, то Алиса может получить кусок, который она оценивает как минимум как 20 долларов, независимо от того, что думают или делают другие партнеры.

История

В течение Вторая Мировая Война, польско-еврейский математик Хьюго Штайнхаус, скрывавшийся от нацистов, занялся вопросом, как справедливо разделить ресурсы. Вдохновленный Разделяй и выбирай он спросил своих учеников, как разделить торт между двумя братьями, Стефан Банах и Бронислав Кнастер, чтобы найти процедуру, которая может работать для любого количества людей, и опубликовала свое решение.^[1]

Эта публикация положила начало новой исследовательской теме, которую сейчас изучают многие исследователи в различных дисциплинах; видеть справедливое разделение.

Описание

Это описание протокола деления словами автора:

"Партнеры, расположенные в диапазоне A, B, C, ... N, A, отрезают от торта произвольную часть. B теперь имеет право, но не обязан, уменьшать отрезанный кусок. Что бы он ни делал, C имеет право (без обязательства) уменьшать уже уменьшенный (или не уменьшенный) кусок, и так далее до N. Правило обязывает «последнего уменьшающего» взять в качестве своей части кусок, к которому он прикоснулся последним. утилизировано, оставшиеся п-1 человек начинают ту же игру с остатком торта. После того, как количество участников сократилось до двух, они применяют классическое правило деления остатка вдвое ».

У каждого партнера есть метод, который гарантирует, что он получит срез со значением не менее 1 /п. Метод: всегда обрезать текущий фрагмент так, чтобы остаток имел значение 1 /п для тебя. Есть два варианта: либо вы получаете отрезанный кусок, либо другой человек получает кусок меньшего размера, значение которого для вас меньше 1 /п. В последнем случае есть п−1 остается партнер, а стоимость оставшегося торта больше (п−1)/п. Следовательно, по индукции можно доказать, что полученное значение не меньше 1 /п.

Вырожденный случай общей функции предпочтения

Алгоритм упрощается в вырожденном случае, когда все партнеры имеют одинаковую функцию предпочтения, потому что партнер, который оптимально первым разрезает срез, также будет его последним уменьшающим. Эквивалентно,^{[нужна цитата ]} каждый партнер 1, 2, ..., п−1, в свою очередь, отрезает кусок от оставшегося торта. Затем в обратном порядке каждый партнер п, п−1, ..., 1, в свою очередь, выбирает срез, который еще не востребован. Первый партнер, который разрезал кусочек, отличный от 1 /п завидовали бы другому партнеру, у которого в итоге было больше, чем у них.

Анализ

Протокол последнего уменьшения является дискретным и может использоваться по очереди. В худшем случае $п \times (п - 1) / 2 = О (п 2)$ действия необходимы: одно действие на игрока за ход.

Однако большинство из них О(п²) действия не являются фактическими разрезами, т.е. Алиса может отметить желаемый фрагмент на бумаге и попросить других игроков уменьшить их на той же бумаге и т. д .; только «последний уменьшитель» должен разрезать торт. Итак, только п−1 разреза.

Процедура очень либеральная в отношении разрезов. разрезы, сделанные партнерами, могут иметь любую форму; их можно даже отключить. С другой стороны, можно ограничить разрезы, чтобы гарантировать красивую форму деталей. Особенно:

Если исходный торт соединен, то можно гарантировать, что каждый кусок соединен (смежный).
Если оригинальный торт - выпуклый набор, тогда можно гарантировать, что каждый кусок будет выпуклым.
Если оригинальный торт - прямоугольник, то можно гарантировать, что каждый кусок представляет собой прямоугольник.
Если оригинальный торт - треугольник, то можно гарантировать, что каждая фигура представляет собой треугольник.

Непрерывная версия

Версия этого протокола с непрерывным временем может быть выполнена с помощью Dubins-Spanier Процедура с подвижным ножом.^[2] Это был первый пример непрерывной процедуры справедливого разделения. Нож продеваем по пирогу с левого края на правый. Любой игрок может сказать стоп, когда думает ${ displaystyle 1 / n}$ торта находится слева от ножа, торт разрезается, и игрок, который говорил, получает этот кусок. Повторите то же самое с оставшимся тортом и игроками, последний игрок получает остаток торта. Подобно последней процедуре уменьшения размера, его можно использовать для разрезания торта на смежные части для каждого игрока.

Примерная версия без зависти

Когда есть 3 или более партнеров, разделение, полученное по протоколу последнего уменьшения, не всегда без зависти. Например, предположим, что первый партнер Алиса получает кусок (который она оценивает как 1/3 от общей суммы). Затем два других партнера Боб и Чарли делят остаток таким образом, который, по их мнению, является справедливым, но, по мнению Алисы, доля Боба стоит 2/3, а доля Чарли равна нулю. Тогда Алиса завидует Бобу.

Простое решение^[3] это позволить повторный вход. То есть партнер, выигравший фигуру последним уменьшающим, не должен выходить из игры, а может остаться и участвовать в дальнейших шагах. Если он снова выиграет, он должен освободить свой текущий кусок, и он возвращается в торт. Чтобы убедиться, что протокол завершается, выбираем некую константу ${ displaystyle epsilon}$ и добавьте правило, позволяющее каждому партнеру повторно входить не более чем ${ displaystyle 1 / epsilon}$ раз.

В реентерабельной версии у каждого партнера есть метод, который гарантирует, что он получит срез со значением не менее максимального значения минус ${ displaystyle epsilon}$ . Метод таков: всегда обрезать текущий фрагмент так, чтобы остаток имел значение ${ displaystyle epsilon}$ плюс ваше текущее значение. Это гарантирует, что ваша ценность вырастет на ${ displaystyle epsilon}$ каждый раз, когда вы выигрываете, и если вы не выигрываете - ценность победителя не более ${ displaystyle epsilon}$ больше, чем ваша собственная ценность. Таким образом, уровень зависти не превышает ${ displaystyle epsilon}$ (аддитивная постоянная).

Время выполнения не более ${ displaystyle n ^ {2} / epsilon}$ , так как есть не более ${ Displaystyle п / эпсилон}$ шагов, и на каждом шаге мы запрашиваем каждый из ${ displaystyle n}$ партнеры.

Недостатком примерного варианта без зависти является то, что части не обязательно соединяются, так как части постоянно возвращаются в торт и повторно делятся. Видеть резка торта без зависти # Соединенные кусочки для других решений этой проблемы.

Улучшения

Последняя процедура уменьшения размера позже была улучшена во многих отношениях. Подробнее см. пропорциональное деление.