Теорема Ходжа об индексе - Википедия - Hodge index theorem

В математика, то Теорема Ходжа об индексе для алгебраическая поверхность V определяет подпись из соединение на перекрестке на алгебраические кривые C на V. Это, грубо говоря, говорит о том, что пространство, покрытое такими кривыми (до линейная эквивалентность ) имеет одномерное подпространство, на котором положительно определенный (не определено однозначно) и распадается как прямая сумма некоторого такого одномерного подпространства и дополнительного подпространства, на котором оно отрицательно определенный.

В более формальном заявлении укажите, что V это неособый проективная поверхность, и разреши ЧАС быть класс делителя на V из сечение гиперплоскости из V в данном проективное вложение. Тогда перекресток

{ Displaystyle H cdot H = d }

куда d это степень из V (в этом вложении). Позволять D - векторное пространство классов рациональных дивизоров на V, вплоть до алгебраическая эквивалентность. Размер D конечна и обычно обозначается через ρ (V). Теорема об индексе Ходжа утверждает, что подпространство, натянутое на ЧАС в D имеет дополнительное подпространство, на котором спаривание пересечений отрицательно определено. Поэтому подпись (часто также называемая индекс) есть (1, ρ (V)-1).

Абелева группа классов дивизоров с точностью до алгебраической эквивалентности теперь называется Группа Нерон-Севери; он известен как конечно порожденная абелева группа, а результат - о его тензорное произведение с полем рациональных чисел. Следовательно, ρ (V) в равной степени является рангом группы Нерона-Севери (которая может иметь нетривиальную торсионная подгруппа, по случаю).

Этот результат был доказан в 1930-х гг. В. В. Д. Ходж, для многообразий над комплексными числами, после того, как в течение некоторого времени это было предположением Итальянская школа алгебраической геометрии (особенно, Франческо Севери, который в данном случае показал, что ρ <∞). Методы Ходжа были топологический принесенные Лефшец. Результат верен над общими (алгебраически замкнутый ) поля.

Теорема Ходжа об индексе - Википедия - Hodge index theorem

Рекомендации