Лемма о подкове - Википедия - Horseshoe lemma

В гомологическая алгебра, то лемма о подкове, также называемый теорема одновременного разрешения, это заявление, касающееся резолюции двух объектов ${ displaystyle A '}$ и ${ displaystyle A ''}$ к резолюциям расширений ${ displaystyle A '}$ к ${ displaystyle A ''}$. Он говорит, что если объект ${ displaystyle A}$ является продолжением ${ displaystyle A '}$ к ${ displaystyle A ''}$, то разрешение ${ displaystyle A}$ можно построить индуктивно с пй пункт в разрешении, равном сопродукт из пth пунктов в постановлениях ${ displaystyle A '}$ и ${ displaystyle A ''}$. Название леммы происходит от формы диаграммы, иллюстрирующей предположение леммы.

Официальное заявление

Позволять ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ быть абелева категория с достаточно прогнозов. Если

это диаграмма в ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ такой, что столбец точный а строки - проективные резольвенты ${ displaystyle A '}$ и ${ displaystyle A ''}$ соответственно, то его можно дополнить до коммутативной диаграммы

где все столбцы точны, средняя строка является проективным разрешением ${ displaystyle A}$, и ${ displaystyle P_ {n} = P '_ {n} oplus P' '_ {n}}$ для всех п. Если ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ анабелева категория с достаточно инъекций, то двойной утверждение также верно.

Лемму можно доказать индуктивно. На каждом этапе индукции свойства проективных объектов используются для определения отображений в проективном разрешении ${ displaystyle A}$. Тогда лемма о змеях вызывается, чтобы показать, что построенное на данный момент одновременное разрешение имеет точные строки.

Смотрите также

• Девять лемм

Рекомендации

• Анри Картан и Сэмюэл Эйленберг Гомологическая алгебра, Princeton University Press, 1956.
• М. Скотт Осборн, Базовая гомологическая алгебра, Springer-Verlag, 2000.

В статье использован материал из леммы о подкове PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.