Серия Гумберта - Humbert series

В математике Серия Гумберта набор из семи гипергеометрический ряд Φ₁, Φ₂, Φ₃, Ψ₁, Ψ₂, Ξ₁, Ξ₂ из двух переменные которые обобщают Конфлюэнтный гипергеометрический ряд Куммера ₁F₁ одной переменной и конфлюэнтная гипергеометрическая предельная функция ₀F₁ одной переменной. Первая из этих двойных серий была представлена Пьер Эмбер (1920 ).

Определения

Ряд Гумберта Φ₁ определено для |Икс| <1 двойной серией:

{ Displaystyle Phi _ {1} (a, b, c; x, y) = F_ {1} (a, b, -, c; x, y) = sum _ {m, n = 0} ^ { infty} { frac {(a) _ {m + n} (b) _ {m}} {(c) _ {m + n} , m! , n!}} , x ^ { m} y ^ {n} ~,}

где Символ Поххаммера (q)_п представляет возрастающий факториал:

{ displaystyle (q) _ {n} = q , (q + 1) cdots (q + n-1) = { frac { Gamma (q + n)} { Gamma (q)}} ~ ,}

где второе равенство верно для всех сложных ${ displaystyle q}$ Кроме ${ Displaystyle д = 0, -1, -2, ldots}$ .

Для других значений Икс функция Φ₁ можно определить как аналитическое продолжение.

Ряд Гумберта Φ₁ также можно записать в виде одномерного Эйлер -тип интеграл:

{ Displaystyle Phi _ {1} (a, b, c; x, y) = { frac { Gamma (c)} { Gamma (a) Gamma (ca)}} int _ {0} ^ {1} t ^ {a-1} (1-t) ^ {ca-1} (1-xt) ^ {- b} e ^ {yt} , mathrm {d} t, quad Re , c> Re , a> 0 ~.}

Это представление можно проверить с помощью Расширение Тейлора подынтегрального выражения с последующим почленным интегрированием.

Аналогично функция Φ₂ определено для всех Икс, у по сериалу:

{ Displaystyle Phi _ {2} (b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) = F_ {1} (-, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) = sum _ {m, n = 0} ^ { infty} { frac {(b_ {1}) _ {m} (b_ {2}) _ {n}} {(c) _ {m + n } , m! , n!}} , x ^ {m} y ^ {n} ~,}

функция Φ₃ для всех Икс, у по сериалу:

{ Displaystyle Phi _ {3} (b, c; x, y) = Phi _ {2} (b, -, c; x, y) = F_ {1} (-, b, -, c; x, y) = sum _ {m, n = 0} ^ { infty} { frac {(b) _ {m}} {(c) _ {m + n} , m! , n! }} , x ^ {m} y ^ {n} ~,}

функция Ψ₁ для |Икс| <1 по серии:

{ displaystyle Psi _ {1} (a, b, c_ {1}, c_ {2}; x, y) = F_ {2} (a, b, -, c_ {1}, c_ {2}; x, y) = sum _ {m, n = 0} ^ { infty} { frac {(a) _ {m + n} (b) _ {m}} {(c_ {1}) _ { m} (c_ {2}) _ {n} , m! , n!}} , x ^ {m} y ^ {n} ~,}

функция Ψ₂ для всех Икс, у по сериалу:

{ displaystyle Psi _ {2} (a, c_ {1}, c_ {2}; x, y) = Psi _ {1} (a, -, c_ {1}, c_ {2}; x, y) = F_ {2} (a, -, -, c_ {1}, c_ {2}; x, y) = F_ {4} (a, -, c_ {1}, c_ {2}; x, y) = sum _ {m, n = 0} ^ { infty} { frac {(a) _ {m + n}} {(c_ {1}) _ {m} (c_ {2}) _ {n} , m! , n!}} , x ^ {m} y ^ {n} ~,}

функция Ξ₁ для |Икс| <1 по серии:

{ displaystyle Xi _ {1} (a_ {1}, a_ {2}, b, c; x, y) = F_ {3} (a_ {1}, a_ {2}, b, -, c; x, y) = sum _ {m, n = 0} ^ { infty} { frac {(a_ {1}) _ {m} (a_ {2}) _ {n} (b) _ {m }} {(c) _ {m + n} , m! , n!}} , x ^ {m} y ^ {n} ~,}

а функция Ξ₂ для |Икс| <1 по серии:

{ Displaystyle Xi _ {2} (a, b, c; x, y) = Xi _ {1} (a, -, b, c; x, y) = F_ {3} (a, -, b, -, c; x, y) = sum _ {m, n = 0} ^ { infty} { frac {(a) _ {m} (b) _ {m}} {(c) _ {m + n} , m! , n!}} , x ^ {m} y ^ {n} ~.}

Связанные серии

Есть четыре связанных ряда двух переменных, F₁, F₂, F₃, и F₄, которые обобщают Гипергеометрический ряд Гаусса ₂F₁ одной переменной аналогичным образом и которые были введены Поль Эмиль Аппель в 1880 г.

Серия Гумберта - Humbert series

Определения

Связанные серии

Рекомендации