В математике Appell серии набор из четырех гипергеометрический ряд F 1 , F 2 , F 3 , F 4 из двух переменные которые были представлены Пол Аппель (1880 ) и которые обобщают Гипергеометрический ряд Гаусса 2 F 1 одной переменной. Appell установил набор уравнения в частных производных из которых эти функции являются решениями, и нашли различные формулы редукции и выражения этих рядов через гипергеометрические ряды одной переменной.
Определения
Серия "Аппель" F 1 определено для |Икс | < 1, |у | <1 двойным рядом
F 1 ( а , б 1 , б 2 ; c ; Икс , у ) = ∑ м , п = 0 ∞ ( а ) м + п ( б 1 ) м ( б 2 ) п ( c ) м + п м ! п ! Икс м у п , {displaystyle F_ {1} (a, b_ {1}, b_ {2}; c; x, y) = sum _ {m, n = 0} ^ {infty} {frac {(a) _ {m + n } (b_ {1}) _ {m} (b_ {2}) _ {n}} {(c) _ {m + n}, m!, n!}}, x ^ {m} y ^ {n } ~,} где ( q ) п {displaystyle (q) _ {n}} это Символ Поххаммера . Для других значений Икс и у функция F 1 можно определить как аналитическое продолжение . Это можно показать[1] это
F 1 ( а , б 1 , б 2 ; c ; Икс , у ) = ∑ р = 0 ∞ ( а ) р ( б 1 ) р ( б 2 ) р ( c − а ) р ( c + р − 1 ) р ( c ) 2 р р ! Икс р у р 2 F 1 ( а + р , б 1 + р ; c + 2 р ; Икс ) 2 F 1 ( а + р , б 2 + р ; c + 2 р ; у ) . {displaystyle F_ {1} (a, b_ {1}, b_ {2}; c; x, y) = sum _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(a) _ {r} (b_ { 1}) _ {r} (b_ {2}) _ {r} (ca) _ {r}} {(c + r-1) _ {r} (c) _ {2r} r!}}, X ^ {r} y ^ {r} {} _ {2} F_ {1} влево (a + r, b_ {1} + r; c + 2r; xight) {} _ {2} F_ {1} влево ( a + r, b_ {2} + r; c + 2r; yight) ~.} Аналогично функция F 2 определено для |Икс | + |у | <1 по серии
F 2 ( а , б 1 , б 2 ; c 1 , c 2 ; Икс , у ) = ∑ м , п = 0 ∞ ( а ) м + п ( б 1 ) м ( б 2 ) п ( c 1 ) м ( c 2 ) п м ! п ! Икс м у п {displaystyle F_ {2} (a, b_ {1}, b_ {2}; c_ {1}, c_ {2}; x, y) = sum _ {m, n = 0} ^ {infty} {frac { (a) _ {m + n} (b_ {1}) _ {m} (b_ {2}) _ {n}} {(c_ {1}) _ {m} (c_ {2}) _ {n }, m!, n!}}, x ^ {m} y ^ {n}} и это можно показать[2] это
F 2 ( а , б 1 , б 2 ; c 1 , c 2 ; Икс , у ) = ∑ р = 0 ∞ ( а ) р ( б 1 ) р ( б 2 ) р ( c 1 ) р ( c 2 ) р р ! Икс р у р 2 F 1 ( а + р , б 1 + р ; c 1 + р ; Икс ) 2 F 1 ( а + р , б 2 + р ; c 2 + р ; у ) . {displaystyle F_ {2} (a, b_ {1}, b_ {2}; c_ {1}, c_ {2}; x, y) = sum _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(a ) _ {r} (b_ {1}) _ {r} (b_ {2}) _ {r}} {(c_ {1}) _ {r} (c_ {2}) _ {r} r!} }, x ^ {r} y ^ {r} {} _ {2} F_ {1} влево (a + r, b_ {1} + r; c_ {1} + r; xight) {} _ {2} F_ {1} влево (a + r, b_ {2} + r; c_ {2} + r; yight) ~.} Также функция F 3 для |Икс | < 1, |у | <1 можно определить рядом
F 3 ( а 1 , а 2 , б 1 , б 2 ; c ; Икс , у ) = ∑ м , п = 0 ∞ ( а 1 ) м ( а 2 ) п ( б 1 ) м ( б 2 ) п ( c ) м + п м ! п ! Икс м у п , {displaystyle F_ {3} (a_ {1}, a_ {2}, b_ {1}, b_ {2}; c; x, y) = sum _ {m, n = 0} ^ {infty} {frac { (a_ {1}) _ {m} (a_ {2}) _ {n} (b_ {1}) _ {m} (b_ {2}) _ {n}} {(c) _ {m + n }, m!, n!}}, x ^ {m} y ^ {n} ~,} и функция F 4 для |Икс |½ + |у |½ <1 по серии
F 4 ( а , б ; c 1 , c 2 ; Икс , у ) = ∑ м , п = 0 ∞ ( а ) м + п ( б ) м + п ( c 1 ) м ( c 2 ) п м ! п ! Икс м у п . {displaystyle F_ {4} (a, b; c_ {1}, c_ {2}; x, y) = sum _ {m, n = 0} ^ {infty} {frac {(a) _ {m + n } (b) _ {m + n}} {(c_ {1}) _ {m} (c_ {2}) _ {n}, m!, n!}}, x ^ {m} y ^ {n } ~.} Отношения рецидива
Как гипергеометрический ряд Гаусса 2 F 1 , двойной ряд Аппеля влечет за собой повторяющиеся отношения среди смежных функций. Например, базовый набор таких отношений для F 1 дан кем-то:
( а − б 1 − б 2 ) F 1 ( а , б 1 , б 2 , c ; Икс , у ) − а F 1 ( а + 1 , б 1 , б 2 , c ; Икс , у ) + б 1 F 1 ( а , б 1 + 1 , б 2 , c ; Икс , у ) + б 2 F 1 ( а , б 1 , б 2 + 1 , c ; Икс , у ) = 0 , {displaystyle (a-b_ {1} -b_ {2}) F_ {1} (a, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) -a, F_ {1} (a + 1, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) + b_ {1} F_ {1} (a, b_ {1} + 1, b_ {2}, c; x, y) + b_ {2 } F_ {1} (a, b_ {1}, b_ {2} + 1, c; x, y) = 0 ~,} c F 1 ( а , б 1 , б 2 , c ; Икс , у ) − ( c − а ) F 1 ( а , б 1 , б 2 , c + 1 ; Икс , у ) − а F 1 ( а + 1 , б 1 , б 2 , c + 1 ; Икс , у ) = 0 , {displaystyle c, F_ {1} (a, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) - (ca) F_ {1} (a, b_ {1}, b_ {2}, c + 1; x, y) -a, F_ {1} (a + 1, b_ {1}, b_ {2}, c + 1; x, y) = 0 ~,} c F 1 ( а , б 1 , б 2 , c ; Икс , у ) + c ( Икс − 1 ) F 1 ( а , б 1 + 1 , б 2 , c ; Икс , у ) − ( c − а ) Икс F 1 ( а , б 1 + 1 , б 2 , c + 1 ; Икс , у ) = 0 , {displaystyle c, F_ {1} (a, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) + c (x-1) F_ {1} (a, b_ {1} + 1, b_ { 2}, c; x, y) - (ca) x, F_ {1} (a, b_ {1} + 1, b_ {2}, c + 1; x, y) = 0 ~,} c F 1 ( а , б 1 , б 2 , c ; Икс , у ) + c ( у − 1 ) F 1 ( а , б 1 , б 2 + 1 , c ; Икс , у ) − ( c − а ) у F 1 ( а , б 1 , б 2 + 1 , c + 1 ; Икс , у ) = 0 . {displaystyle c, F_ {1} (a, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) + c (y-1) F_ {1} (a, b_ {1}, b_ {2} + 1, c; x, y) - (ca) y, F_ {1} (a, b_ {1}, b_ {2} + 1, c + 1; x, y) = 0 ~.} Любое другое отношение[3] Годен до F 1 можно вывести из этих четырех.
Аналогично, все рекуррентные соотношения для F 3 следуют из этого набора из пяти:
c F 3 ( а 1 , а 2 , б 1 , б 2 , c ; Икс , у ) + ( а 1 + а 2 − c ) F 3 ( а 1 , а 2 , б 1 , б 2 , c + 1 ; Икс , у ) − а 1 F 3 ( а 1 + 1 , а 2 , б 1 , б 2 , c + 1 ; Икс , у ) − а 2 F 3 ( а 1 , а 2 + 1 , б 1 , б 2 , c + 1 ; Икс , у ) = 0 , {displaystyle c, F_ {3} (a_ {1}, a_ {2}, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) + (a_ {1} + a_ {2} -c) F_ {3} (a_ {1}, a_ {2}, b_ {1}, b_ {2}, c + 1; x, y) -a_ {1} F_ {3} (a_ {1} + 1, a_ {2}, b_ {1}, b_ {2}, c + 1; x, y) -a_ {2} F_ {3} (a_ {1}, a_ {2} + 1, b_ {1}, b_ {2}, c + 1; x, y) = 0 ~,} c F 3 ( а 1 , а 2 , б 1 , б 2 , c ; Икс , у ) − c F 3 ( а 1 + 1 , а 2 , б 1 , б 2 , c ; Икс , у ) + б 1 Икс F 3 ( а 1 + 1 , а 2 , б 1 + 1 , б 2 , c + 1 ; Икс , у ) = 0 , {displaystyle c, F_ {3} (a_ {1}, a_ {2}, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) -c, F_ {3} (a_ {1} +1, a_ {2}, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) + b_ {1} x, F_ {3} (a_ {1} + 1, a_ {2}, b_ {1} + 1, b_ {2}, c + 1; x, y) = 0 ~,} c F 3 ( а 1 , а 2 , б 1 , б 2 , c ; Икс , у ) − c F 3 ( а 1 , а 2 + 1 , б 1 , б 2 , c ; Икс , у ) + б 2 у F 3 ( а 1 , а 2 + 1 , б 1 , б 2 + 1 , c + 1 ; Икс , у ) = 0 , {displaystyle c, F_ {3} (a_ {1}, a_ {2}, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) -c, F_ {3} (a_ {1}, a_ { 2} + 1, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) + b_ {2} y, F_ {3} (a_ {1}, a_ {2} + 1, b_ {1}, b_ {2} + 1, c + 1; x, y) = 0 ~,} c F 3 ( а 1 , а 2 , б 1 , б 2 , c ; Икс , у ) − c F 3 ( а 1 , а 2 , б 1 + 1 , б 2 , c ; Икс , у ) + а 1 Икс F 3 ( а 1 + 1 , а 2 , б 1 + 1 , б 2 , c + 1 ; Икс , у ) = 0 , {displaystyle c, F_ {3} (a_ {1}, a_ {2}, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) -c, F_ {3} (a_ {1}, a_ { 2}, b_ {1} + 1, b_ {2}, c; x, y) + a_ {1} x, F_ {3} (a_ {1} + 1, a_ {2}, b_ {1} + 1, b_ {2}, c + 1; x, y) = 0 ~,} c F 3 ( а 1 , а 2 , б 1 , б 2 , c ; Икс , у ) − c F 3 ( а 1 , а 2 , б 1 , б 2 + 1 , c ; Икс , у ) + а 2 у F 3 ( а 1 , а 2 + 1 , б 1 , б 2 + 1 , c + 1 ; Икс , у ) = 0 . {displaystyle c, F_ {3} (a_ {1}, a_ {2}, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) -c, F_ {3} (a_ {1}, a_ { 2}, b_ {1}, b_ {2} + 1, c; x, y) + a_ {2} y, F_ {3} (a_ {1}, a_ {2} + 1, b_ {1}, b_ {2} + 1, c + 1; x, y) = 0 ~.} Производные и дифференциальные уравнения
Для Аппеля F 1 , следующее производные результат определения двойным рядом:
∂ п ∂ Икс п F 1 ( а , б 1 , б 2 , c ; Икс , у ) = ( а ) п ( б 1 ) п ( c ) п F 1 ( а + п , б 1 + п , б 2 , c + п ; Икс , у ) {displaystyle {frac {partial ^ {n}} {partial x ^ {n}}} F_ {1} (a, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) = {frac {left (aight ) _ {n} влево (b_ {1} ight) _ {n}} {left (cight) _ {n}}} F_ {1} (a + n, b_ {1} + n, b_ {2}, c + n; x, y)} ∂ п ∂ у п F 1 ( а , б 1 , б 2 , c ; Икс , у ) = ( а ) п ( б 2 ) п ( c ) п F 1 ( а + п , б 1 , б 2 + п , c + п ; Икс , у ) {displaystyle {frac {partial ^ {n}} {partial y ^ {n}}} F_ {1} (a, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) = {frac {left (aight ) _ {n} влево (b_ {2} ight) _ {n}} {left (cight) _ {n}}} F_ {1} (a + n, b_ {1}, b_ {2} + n, c + n; x, y)} По определению Аппеля F 1 далее найдено, что удовлетворяет следующей системе второго порядка дифференциальные уравнения :
Икс ( 1 − Икс ) ∂ 2 F 1 ( Икс , у ) ∂ Икс 2 + у ( 1 − Икс ) ∂ 2 F 1 ( Икс , у ) ∂ Икс ∂ у + [ c − ( а + б 1 + 1 ) Икс ] ∂ F 1 ( Икс , у ) ∂ Икс − б 1 у ∂ F 1 ( Икс , у ) ∂ у − а б 1 F 1 ( Икс , у ) = 0 {displaystyle x (1-x) {frac {partial ^ {2} F_ {1} (x, y)} {partial x ^ {2}}} + y (1-x) {frac {partial ^ {2} F_ {1} (x, y)} {частичный xpartial y}} + [c- (a + b_ {1} +1) x] {frac {частичный F_ {1} (x, y)} {частичный x} } -b_ {1} y {frac {partial F_ {1} (x, y)} {partial y}} - ab_ {1} F_ {1} (x, y) = 0} у ( 1 − у ) ∂ 2 F 1 ( Икс , у ) ∂ у 2 + Икс ( 1 − у ) ∂ 2 F 1 ( Икс , у ) ∂ Икс ∂ у + [ c − ( а + б 2 + 1 ) у ] ∂ F 1 ( Икс , у ) ∂ у − б 2 Икс ∂ F 1 ( Икс , у ) ∂ Икс − а б 2 F 1 ( Икс , у ) = 0 {displaystyle y (1-y) {frac {partial ^ {2} F_ {1} (x, y)} {partial y ^ {2}}} + x (1-y) {frac {partial ^ {2} F_ {1} (x, y)} {частичный xpartial y}} + [c- (a + b_ {2} +1) y] {frac {частичный F_ {1} (x, y)} {частичный y} } -b_ {2} x {frac {partial F_ {1} (x, y)} {partial x}} - ab_ {2} F_ {1} (x, y) = 0} Система уравнений в частных производных для F 2 является
Икс ( 1 − Икс ) ∂ 2 F 2 ( Икс , у ) ∂ Икс 2 − Икс у ∂ 2 F 2 ( Икс , у ) ∂ Икс ∂ у + [ c 1 − ( а + б 1 + 1 ) Икс ] ∂ F 2 ( Икс , у ) ∂ Икс − б 1 у ∂ F 2 ( Икс , у ) ∂ у − а б 1 F 2 ( Икс , у ) = 0 {displaystyle x (1-x) {frac {partial ^ {2} F_ {2} (x, y)} {partial x ^ {2}}} - xy {frac {partial ^ {2} F_ {2} ( x, y)} {частичный xpartial y}} + [c_ {1} - (a + b_ {1} +1) x] {frac {частичный F_ {2} (x, y)} {частичный x}} - b_ {1} y {frac {partial F_ {2} (x, y)} {partial y}} - ab_ {1} F_ {2} (x, y) = 0} у ( 1 − у ) ∂ 2 F 2 ( Икс , у ) ∂ у 2 − Икс у ∂ 2 F 2 ( Икс , у ) ∂ Икс ∂ у + [ c 2 − ( а + б 2 + 1 ) Икс ] ∂ F 2 ( Икс , у ) ∂ у − б 2 Икс ∂ F 2 ( Икс , у ) ∂ Икс − а б 2 F 2 ( Икс , у ) = 0 {displaystyle y (1-y) {frac {partial ^ {2} F_ {2} (x, y)} {partial y ^ {2}}} - xy {frac {partial ^ {2} F_ {2} ( x, y)} {частичный xpartial y}} + [c_ {2} - (a + b_ {2} +1) x] {frac {частичный F_ {2} (x, y)} {частичный y}} - b_ {2} x {frac {partial F_ {2} (x, y)} {partial x}} - ab_ {2} F_ {2} (x, y) = 0} У системы есть решение
F 2 ( Икс , у ) = C 1 F 2 ( а , б 1 , б 2 , c 1 , c 2 ; Икс , у ) + C 2 Икс 1 − c 1 F 2 ( а − c 1 + 1 , б 1 − c 1 + 1 , б 2 , 2 − c 1 , c 2 ; Икс , у ) + C 3 у 1 − c 2 F 2 ( а − c 2 + 1 , б 1 , б 2 − c 2 + 1 , c 1 , 2 − c 2 ; Икс , у ) + C 4 Икс 1 − c 1 у 1 − c 2 F 2 ( а − c 1 − c 2 + 2 , б 1 − c 1 + 1 , б 2 − c 2 + 1 , 2 − c 1 , 2 − c 2 ; Икс , у ) {displaystyle F_ {2} (x, y) = C_ {1} F_ {2} (a, b_ {1}, b_ {2}, c_ {1}, c_ {2}; x, y) + C_ { 2} x ^ {1-c_ {1}} F_ {2} (a-c_ {1} + 1, b_ {1} -c_ {1} + 1, b_ {2}, 2-c_ {1}, c_ {2}; x, y) + C_ {3} y ^ {1-c_ {2}} F_ {2} (a-c_ {2} + 1, b_ {1}, b_ {2} -c_ { 2} + 1, c_ {1}, 2-c_ {2}; x, y) + C_ {4} x ^ {1-c_ {1}} y ^ {1-c_ {2}} F_ {2} (a-c_ {1} -c_ {2} + 2, b_ {1} -c_ {1} + 1, b_ {2} -c_ {2} + 1,2-c_ {1}, 2-c_ { 2}; x, y)} Аналогично для F 3 следующие производные являются результатом определения:
∂ ∂ Икс F 3 ( а 1 , а 2 , б 1 , б 2 , c ; Икс , у ) = а 1 б 1 c F 3 ( а 1 + 1 , а 2 , б 1 + 1 , б 2 , c + 1 ; Икс , у ) {displaystyle {frac {partial} {partial x}} F_ {3} (a_ {1}, a_ {2}, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) = {frac {a_ {1 } b_ {1}} {c}} F_ {3} (a_ {1} + 1, a_ {2}, b_ {1} + 1, b_ {2}, c + 1; x, y)} ∂ ∂ у F 3 ( а 1 , а 2 , б 1 , б 2 , c ; Икс , у ) = а 2 б 2 c F 3 ( а 1 , а 2 + 1 , б 1 , б 2 + 1 , c + 1 ; Икс , у ) {displaystyle {frac {partial} {partial y}} F_ {3} (a_ {1}, a_ {2}, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) = {frac {a_ {2 } b_ {2}} {c}} F_ {3} (a_ {1}, a_ {2} + 1, b_ {1}, b_ {2} + 1, c + 1; x, y)} И для F 3 получается следующая система дифференциальных уравнений:
Икс ( 1 − Икс ) ∂ 2 F 3 ( Икс , у ) ∂ Икс 2 + у ∂ 2 F 3 ( Икс , у ) ∂ Икс ∂ у + [ c − ( а 1 + б 1 + 1 ) Икс ] ∂ F 3 ( Икс , у ) ∂ Икс − а 1 б 1 F 3 ( Икс , у ) = 0 {displaystyle x (1-x) {frac {partial ^ {2} F_ {3} (x, y)} {partial x ^ {2}}} + y {frac {partial ^ {2} F_ {3} ( x, y)} {частичный xpartial y}} + [c- (a_ {1} + b_ {1} +1) x] {frac {частичный F_ {3} (x, y)} {частичный x}} - a_ {1} b_ {1} F_ {3} (x, y) = 0} у ( 1 − у ) ∂ 2 F 3 ( Икс , у ) ∂ у 2 + Икс ∂ 2 F 3 ( Икс , у ) ∂ Икс ∂ у + [ c − ( а 2 + б 2 + 1 ) у ] ∂ F 3 ( Икс , у ) ∂ у − а 2 б 2 F 3 ( Икс , у ) = 0 {displaystyle y (1-y) {frac {partial ^ {2} F_ {3} (x, y)} {partial y ^ {2}}} + x {frac {partial ^ {2} F_ {3} ( x, y)} {частичный xpartial y}} + [c- (a_ {2} + b_ {2} +1) y] {frac {частичный F_ {3} (x, y)} {частичный y}} - a_ {2} b_ {2} F_ {3} (x, y) = 0} Система уравнений в частных производных для F 4 является
Икс ( 1 − Икс ) ∂ 2 F 4 ( Икс , у ) ∂ Икс 2 − у 2 ∂ 2 F 4 ( Икс , у ) ∂ у 2 − 2 Икс у ∂ 2 F 4 ( Икс , у ) ∂ Икс ∂ у + [ c 1 − ( а + б + 1 ) Икс ] ∂ F 4 ( Икс , у ) ∂ Икс − ( а + б + 1 ) у ∂ F 4 ( Икс , у ) ∂ у − а б F 4 ( Икс , у ) = 0 {displaystyle x (1-x) {frac {partial ^ {2} F_ {4} (x, y)} {partial x ^ {2}}} - y ^ {2} {frac {partial ^ {2} F_ {4} (x, y)} {частичный y ^ {2}}} - 2xy {frac {partial ^ {2} F_ {4} (x, y)} {частичный xpartial y}} + [c_ {1} - (a + b + 1) x] {frac {partial F_ {4} (x, y)} {partial x}} - (a + b + 1) y {frac {partial F_ {4} (x, y )} {частичный y}} - abF_ {4} (x, y) = 0} у ( 1 − у ) ∂ 2 F 4 ( Икс , у ) ∂ у 2 − Икс 2 ∂ 2 F 4 ( Икс , у ) ∂ Икс 2 − 2 Икс у ∂ 2 F 4 ( Икс , у ) ∂ Икс ∂ у + [ c 2 − ( а + б + 1 ) у ] ∂ F 4 ( Икс , у ) ∂ у − ( а + б + 1 ) Икс ∂ F 4 ( Икс , у ) ∂ Икс − а б F 4 ( Икс , у ) = 0 {displaystyle y (1-y) {frac {partial ^ {2} F_ {4} (x, y)} {partial y ^ {2}}} - x ^ {2} {frac {partial ^ {2} F_ {4} (x, y)} {частичный x ^ {2}}} - 2xy {frac {partial ^ {2} F_ {4} (x, y)} {частичный xpartial y}} + [c_ {2} - (a + b + 1) y] {frac {partial F_ {4} (x, y)} {partial y}} - (a + b + 1) x {frac {partial F_ {4} (x, y )} {частичный x}} - abF_ {4} (x, y) = 0} У системы есть решение
F 4 ( Икс , у ) = C 1 F 4 ( а , б , c 1 , c 2 ; Икс , у ) + C 2 Икс 1 − c 1 F 4 ( а − c 1 + 1 , б − c 1 + 1 , 2 − c 1 , c 2 ; Икс , у ) + C 3 у 1 − c 2 F 4 ( а − c 2 + 1 , б − c 2 + 1 , c 1 , 2 − c 2 ; Икс , у ) + C 4 Икс 1 − c 1 у 1 − c 2 F 4 ( 2 + а − c 1 − c 2 , 2 + б − c 1 − c 2 , 2 − c 1 , 2 − c 2 ; Икс , у ) {displaystyle F_ {4} (x, y) = C_ {1} F_ {4} (a, b, c_ {1}, c_ {2}; x, y) + C_ {2} x ^ {1-c_ {1}} F_ {4} (a-c_ {1} + 1, b-c_ {1} + 1,2-c_ {1}, c_ {2}; x, y) + C_ {3} y ^ {1-c_ {2}} F_ {4} (a-c_ {2} + 1, b-c_ {2} + 1, c_ {1}, 2-c_ {2}; x, y) + C_ { 4} x ^ {1-c_ {1}} y ^ {1-c_ {2}} F_ {4} (2 + a-c_ {1} -c_ {2}, 2 + b-c_ {1} - c_ {2}, 2-c_ {1}, 2-c_ {2}; x, y)} Интегральные представления
Четыре функции, определенные двойным рядом Аппеля, могут быть представлены в терминах двойные интегралы с привлечением элементарные функции только (Градштейн и Рыжик 2015 , §9.184) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFGradshteynRyzhik2015 (Помогите) . Однако, Эмиль Пикар (1881 ) обнаружил, что F 1 также можно записать в виде одномерного Эйлер -тип интеграл :
F 1 ( а , б 1 , б 2 , c ; Икс , у ) = Γ ( c ) Γ ( а ) Γ ( c − а ) ∫ 0 1 т а − 1 ( 1 − т ) c − а − 1 ( 1 − Икс т ) − б 1 ( 1 − у т ) − б 2 d т , ℜ c > ℜ а > 0 . {displaystyle F_ {1} (a, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) = {frac {Gamma (c)} {Gamma (a) Gamma (ca)}} int _ {0} ^ {1} t ^ {a-1} (1-t) ^ {ca-1} (1-xt) ^ {- b_ {1}} (1-yt) ^ {- b_ {2}}, mathrm {d} t, quad Re, c> Re, a> 0 ~.} Это представление можно проверить с помощью Расширение Тейлора подынтегрального выражения с последующим почленным интегрированием.
Особые случаи
Из интегрального представления Пикара следует, что неполные эллиптические интегралы F и E так же хорошо как полный эллиптический интеграл Π являются частными случаями апелляционного F 1 :
F ( ϕ , k ) = ∫ 0 ϕ d θ 1 − k 2 грех 2 θ = грех ( ϕ ) F 1 ( 1 2 , 1 2 , 1 2 , 3 2 ; грех 2 ϕ , k 2 грех 2 ϕ ) , | ℜ ϕ | < π 2 , {displaystyle F (phi, k) = int _ {0} ^ {phi} {frac {mathrm {d} heta} {sqrt {1-k ^ {2} sin ^ {2} heta}}} = sin (phi ), F_ {1} ({frac {1} {2}}, {frac {1} {2}}, {frac {1} {2}}, {frac {3} {2}}; sin ^ { 2} phi, k ^ {2} sin ^ {2} phi), quad | Re, phi | <{frac {pi} {2}} ~,} E ( ϕ , k ) = ∫ 0 ϕ 1 − k 2 грех 2 θ d θ = грех ( ϕ ) F 1 ( 1 2 , 1 2 , − 1 2 , 3 2 ; грех 2 ϕ , k 2 грех 2 ϕ ) , | ℜ ϕ | < π 2 , {displaystyle E (phi, k) = int _ {0} ^ {phi} {sqrt {1-k ^ {2} sin ^ {2} heta}}, mathrm {d} heta = sin (phi), F_ { 1} ({frac {1} {2}}, {frac {1} {2}}, - {frac {1} {2}}, {frac {3} {2}}; sin ^ {2} phi , k ^ {2} sin ^ {2} phi), quad | Re, phi | <{frac {pi} {2}} ~,} Π ( п , k ) = ∫ 0 π / 2 d θ ( 1 − п грех 2 θ ) 1 − k 2 грех 2 θ = π 2 F 1 ( 1 2 , 1 , 1 2 , 1 ; п , k 2 ) . {displaystyle Pi (n, k) = int _ {0} ^ {pi / 2} {frac {mathrm {d} heta} {(1-nsin ^ {2} heta) {sqrt {1-k ^ {2} sin ^ {2} heta}}}} = {frac {pi} {2}}, F_ {1} ({frac {1} {2}}, 1, {frac {1} {2}}, 1; п, к ^ {2}) ~.} Связанные серии
Есть семь связанных рядов двух переменных: Φ1 , Φ2 , Φ3 , Ψ1 , Ψ2 , Ξ1 , и Ξ2 , которые обобщают Конфлюэнтная гипергеометрическая функция Куммера 1 F 1 одной переменной и конфлюэнтная гипергеометрическая предельная функция 0 F 1 одной переменной аналогичным образом. Первый из них был введен Пьер Эмбер в 1920 . Джузеппе Лауричелла (1893 ) определил четыре функции, аналогичные серии Appell, но зависящие от многих переменных, а не только от двух переменных. Икс и у . Эти серии также были изучены Аппелем. Они удовлетворяют некоторым дифференциальным уравнениям в частных производных, а также могут быть заданы в терминах интегралов типа Эйлера и контурные интегралы .использованная литература
^ См. Burchnall & Chaundy (1940), формула (30). ^ См. Burchnall & Chaundy (1940), формула (26) или Erdélyi (1953), формула 5.12 (9). ^ Например, ( у − Икс ) F 1 ( а , б 1 + 1 , б 2 + 1 , c , Икс , у ) = у F 1 ( а , б 1 , б 2 + 1 , c , Икс , у ) − Икс F 1 ( а , б 1 + 1 , б 2 , c , Икс , у ) {displaystyle (yx) F_ {1} (a, b_ {1} + 1, b_ {2} + 1, c, x, y) = y, F_ {1} (a, b_ {1}, b_ {2 } + 1, c, x, y) -x, F_ {1} (a, b_ {1} + 1, b_ {2}, c, x, y)} Аппель, Пол (1880). "Sur les séries hypergéométriques de deux variables et sur des équations différentielles linéaires aux dérivées partielles". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (На французском). 90 : 296–298 и 731–735. JFM 12.0296.01 .CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт) (см. также «Sur la série F3 (α, α ', β, β', γ; x, y) "в C. R. Acad. Sci. 90 , стр. 977–980).Аппель, Пол (1882). "Sur les fonctions hypergéométriques de deux variables" . Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . (3ème série) (на французском языке). 8 : 173–216. CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт) [постоянная мертвая ссылка ] Аппель, Пол; Кампе де Фериет, Жозеф (1926). Fonctions hypergéométriques et hypersphériques; Polynômes d'Hermite (На французском). Париж: Готье-Виллар. JFM 52.0361.13 . CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт) (см. стр.14)Askey, R.A .; Олде Даалхуис, А. Б. (2010), "Аппель серия" , в Олвер, Фрэнк В. Дж. ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5 , Г-Н 2723248 Burchnall, J. L .; Чаунди, Т. В. (1940). «Разложения двойных гипергеометрических функций Аппеля». Кварта. J. Math., Oxford Ser. . 11 : 249–270. Дои :10.1093 / qmath / os-11.1.249 . CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт) Эрдейи, А. (1953). Высшие трансцендентные функции, Vol. я (PDF) . Нью-Йорк: Макгроу – Хилл.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт) (см. стр. 224)Градштейн Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Геронимус Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. «9.18.». В Цвиллингере, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5 . LCCN 2014010276 .CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт) Гумберт, Пьер (1920). "Sur les fonctions hypercylindriques". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (На французском). 171 : 490–492. JFM 47.0348.01 .CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт) Лауричелла, Джузеппе (1893). "Sulle funzioni ipergeometriche a pi variabili". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (на итальянском). 7 : 111–158. Дои :10.1007 / BF03012437 . JFM 25.0756.01 . S2CID 122316343 .CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт) Пикард, Эмиль (1881). "Sur une extension aux fonctions de deux variables du problème de Riemann relativ aux fonctions hypergéométriques" . Научные Анналы Высшей Нормальной Школы (Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure) . Серия 2 (на французском языке). 10 : 305–322. Дои :10.24033 / asens.203 . JFM 13.0389.01 .CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт) (смотрите также C. R. Acad. Sci. 90 (1880), стр. 1119–1121 и 1267–1269)Слейтер, Люси Джоан (1966). Обобщенные гипергеометрические функции . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-06483-X . Г-Н 0201688 .CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт) (есть мягкая обложка 2008 года с ISBN 978-0-521-09061-2)внешние ссылки