Серия Appell - Appell series

В математике Appell серии набор из четырех гипергеометрический ряд F1, F2, F3, F4 из двух переменные которые были представлены Пол Аппель  (1880 ) и которые обобщают Гипергеометрический ряд Гаусса 2F1 одной переменной. Appell установил набор уравнения в частных производных из которых эти функции являются решениями, и нашли различные формулы редукции и выражения этих рядов через гипергеометрические ряды одной переменной.

Определения

Серия "Аппель" F1 определено для |Икс| < 1, |у| <1 двойным рядом

где это Символ Поххаммера. Для других значений Икс и у функция F1 можно определить как аналитическое продолжение. Это можно показать[1] это

Аналогично функция F2 определено для |Икс| + |у| <1 по серии

и это можно показать[2] это

Также функция F3 для |Икс| < 1, |у| <1 можно определить рядом

и функция F4 для |Икс|½ + |у|½ <1 по серии

Отношения рецидива

Как гипергеометрический ряд Гаусса 2F1, двойной ряд Аппеля влечет за собой повторяющиеся отношения среди смежных функций. Например, базовый набор таких отношений для F1 дан кем-то:

Любое другое отношение[3] Годен до F1 можно вывести из этих четырех.

Аналогично, все рекуррентные соотношения для F3 следуют из этого набора из пяти:

Производные и дифференциальные уравнения

Для Аппеля F1, следующее производные результат определения двойным рядом:

По определению Аппеля F1 далее найдено, что удовлетворяет следующей системе второго порядка дифференциальные уравнения:

Система уравнений в частных производных для F2 является

У системы есть решение

Аналогично для F3 следующие производные являются результатом определения:

И для F3 получается следующая система дифференциальных уравнений:

Система уравнений в частных производных для F4 является

У системы есть решение

Интегральные представления

Четыре функции, определенные двойным рядом Аппеля, могут быть представлены в терминах двойные интегралы с привлечением элементарные функции только (Градштейн и Рыжик 2015, §9.184). Однако, Эмиль Пикар  (1881 ) обнаружил, что F1 также можно записать в виде одномерного Эйлер -тип интеграл:

Это представление можно проверить с помощью Расширение Тейлора подынтегрального выражения с последующим почленным интегрированием.

Особые случаи

Из интегрального представления Пикара следует, что неполные эллиптические интегралы F и E так же хорошо как полный эллиптический интеграл Π являются частными случаями апелляционного F1:

Связанные серии

Есть семь связанных рядов двух переменных: Φ1, Φ2, Φ3, Ψ1, Ψ2, Ξ1, и Ξ2, которые обобщают Конфлюэнтная гипергеометрическая функция Куммера 1F1 одной переменной и конфлюэнтная гипергеометрическая предельная функция 0F1 одной переменной аналогичным образом. Первый из них был введен Пьер Эмбер в 1920.
Джузеппе Лауричелла  (1893 ) определил четыре функции, аналогичные серии Appell, но зависящие от многих переменных, а не только от двух переменных. Икс и у. Эти серии также были изучены Аппелем. Они удовлетворяют некоторым дифференциальным уравнениям в частных производных, а также могут быть заданы в терминах интегралов типа Эйлера и контурные интегралы.

использованная литература

  1. ^ См. Burchnall & Chaundy (1940), формула (30).
  2. ^ См. Burchnall & Chaundy (1940), формула (26) или Erdélyi (1953), формула 5.12 (9).
  3. ^ Например,

внешние ссылки