Гиперсеквентный - Hypersequent

В математическая логика, то непоследовательный фреймворк является расширением теоретико-доказательной основы последовательные исчисления используется в теория структурных доказательств предоставлять аналитические исчисления для логики, не отраженной в последовательной структуре. Под гиперсеквенцией обычно понимается конечная мультимножество обычных секвенты, написано

{ displaystyle Gamma _ {1} Rightarrow Delta _ {1} mid cdots mid Gamma _ {n} Rightarrow Delta _ {n}}

Секвенции, составляющие гиперсеквенцию, называются компонентами. Дополнительная выразительность гиперсеквенциальной структуры обеспечивается правилами, управляющими различными компонентами, такими как правило коммуникации для промежуточная логика LC (внизу слева) или правило модального разделения для модальная логика S5 (внизу справа):^[1]

{ displaystyle { frac { Gamma _ {1} Rightarrow Delta _ {1} mid dots mid Gamma _ {n} Rightarrow Delta _ {n} mid Sigma Rightarrow A qquad Omega _ {1} Rightarrow Theta _ {1} mid dots mid Omega _ {m} Rightarrow Theta _ {m} mid Pi Rightarrow B} { Gamma _ {1} Rightarrow Delta _ {1} mid dots mid Gamma _ {n} Rightarrow Delta _ {n} mid Omega _ {1} Rightarrow Theta _ {1} mid dots mid Омега _ {m} Rightarrow Theta _ {m} mid Sigma Rightarrow B mid Pi Rightarrow A}}}

{ displaystyle { frac { Gamma _ {1} Rightarrow Delta _ {1} mid dots mid Gamma _ {n} Rightarrow Delta _ {n} mid Box Sigma, Theta Rightarrow Box Pi, Omega} { Gamma _ {1} Rightarrow Delta _ {1} mid dots mid Gamma _ {n} Rightarrow Delta _ {n} mid Box Сигма Rightarrow Box Pi mid Theta Rightarrow Omega}}}

Гиперпоследовательные камни использовались для лечения модальная логика, промежуточная логика, и субструктурная логика. Гиперсеквенты обычно имеют формульную интерпретацию, то есть интерпретируются формулой на объектном языке, почти всегда как своего рода дизъюнкция. Точная интерпретация формулы зависит от рассматриваемой логики.

Формальные определения и пропозициональные правила

Формально гиперсеквенцией обычно считается конечная мультимножество обычных секвенты, написано

{ displaystyle Gamma _ {1} Rightarrow Delta _ {1} mid dots mid Gamma _ {n} Rightarrow Delta _ {n}}

Секвенции, составляющие гиперсеквенцию, состоят из кортежей мультимножеств формул и называются компонентами гиперсеквенции. Также рассматриваются варианты, определяющие гиперсеквенты и секвенции в терминах множеств или списков вместо мультимножеств, и в зависимости от рассматриваемой логики секвенции могут быть классическими или интуиционистскими. Правила для пропозициональных связок обычно являются адаптациями соответствующих стандартных правил секвенции с дополнительной побочной гиперсеквенцией, также называемой гиперсеквенцией. Например, общий набор правил для функционально полный набор связок ${ displaystyle { bot, to }}$ за классическая логика высказываний дается следующими четырьмя правилами:

{ displaystyle { frac {} {{ mathcal {G}} mid Gamma, p Rightarrow p, Delta}}}

{ displaystyle { frac {} {{ mathcal {G}} mid Gamma, bot Rightarrow Delta}}}

{ displaystyle { frac {{ mathcal {G}} mid Gamma, B Rightarrow Delta qquad { mathcal {G}} mid Gamma Rightarrow A, Delta} {{ mathcal {G) }} mid Gamma, от A до B Rightarrow Delta}}}

${ displaystyle { frac {{ mathcal {G}} mid Gamma, A Rightarrow B, Delta} {{ mathcal {G}} mid Gamma Rightarrow A to B, Delta}} }$

Из-за дополнительной структуры в настройке гиперпоследовательности структурные правила рассматриваются в их внутреннем и внешнем вариантах. Внутренние правила ослабления и внутреннего сокращения являются адаптациями соответствующих правил секвенции с добавленным гиперсеквентальным контекстом:

{ displaystyle { frac {{ mathcal {G}} mid Gamma Rightarrow Delta} {{ mathcal {G}} mid Gamma, Sigma Rightarrow Delta, Pi}}}

${ displaystyle { frac {{ mathcal {G}} mid Gamma, A, A Rightarrow Delta} {{ mathcal {G}} mid Gamma, A Rightarrow Delta}}}$

${ displaystyle { frac {{ mathcal {G}} mid Gamma Rightarrow A, A, Delta} {{ mathcal {G}} mid Gamma Rightarrow A, Delta}}}$

Правила внешнего ослабления и внешнего сжатия - это соответствующие правила на уровне гиперсеквентарных компонентов вместо формул:

${ displaystyle { frac { mathcal {G}} {{ mathcal {G}} mid Gamma Rightarrow Delta}}}$

${ displaystyle { frac {{ mathcal {G}} mid Gamma Rightarrow Delta mid Gamma Rightarrow Delta} {{ mathcal {G}} mid Gamma Rightarrow Delta}}}$

Обоснованность этих правил тесно связана с формулой интерпретации гиперсеквентной структуры, почти всегда как некоторой формы дизъюнкция. Точная интерпретация формулы зависит от рассматриваемой логики, см. Ниже некоторые примеры.

Основные примеры

Модальная логика

Гиперсеквенты использовались для получения аналитических вычислений для модальная логика, для которых аналитические последовательные исчисления оказался неуловимым. В контексте модальных логик стандартная формульная интерпретация гиперсеквенции

{ displaystyle Gamma _ {1} Rightarrow Delta _ {1} mid dots mid Gamma _ {n} Rightarrow Delta _ {n}}

формула

{ displaystyle Box ( bigwedge Gamma _ {1} to bigvee Delta _ {1}) lor dots lor Box ( bigwedge Gamma _ {n} to bigvee Delta _ { n})}

Здесь если ${ displaystyle Gamma}$ это мультимножество ${ displaystyle A_ {1}, dots, A_ {n}}$ мы пишем ${ Displaystyle Box Gamma}$ для результата префикса каждой формулы в ${ displaystyle Gamma}$ с ${ displaystyle Box}$ , т.е. мультимножество ${ displaystyle Box A_ {1}, dots, Box A_ {n}}$ . Обратите внимание, что отдельные компоненты интерпретируются с использованием стандартной интерпретации формулы для секвентов, а гиперпоследовательная полоса ${ displaystyle mid}$ интерпретируется как дизъюнкция ящиков. Ярким примером модальной логики, для которой гиперсеквенты обеспечивают аналитическое исчисление, является логика S5. В стандартном гиперсеквентальном исчислении для этой логики^[1] Интерпретация формулы такая же, как и выше, а пропозициональные и структурные правила - те же, что и в предыдущем разделе. Дополнительно исчисление содержит модальные правила

{ displaystyle { frac {{ mathcal {G}} mid Box Gamma Rightarrow A} {{ mathcal {G}} mid Box Gamma Rightarrow Box A}}}

${ displaystyle { frac {{ mathcal {G}} mid Gamma, A Rightarrow Delta} {{ mathcal {G}} mid Gamma, Box A Rightarrow Delta}}}$

${ displaystyle { frac {{ mathcal {G}} mid Box Gamma, Sigma Rightarrow Box Delta, Pi} {{ mathcal {G}} mid Box Gamma Rightarrow Box Delta mid Sigma Rightarrow Pi}}}$

Допустимость подходящей версии вырезать правило может быть показан синтаксическим аргументом в отношении структуры производных или показом полнота исчисления без правила отсечения напрямую с использованием семантики S5. В соответствии с важностью модальной логики S5 был сформулирован ряд альтернативных исчислений.^[2]^[3]^[1]^[4]^[5]^[6]^[7] Гиперпоследовательные исчисления также были предложены для многих других модальных логик.^[6]^[7]^[8]^[9]

Промежуточная логика

Гиперпоследовательные исчисления, основанные на интуиционистских или последовательные последовательности были успешно использованы для захвата большого класса промежуточная логика, т.е. расширения интуиционистская логика высказываний. Поскольку гиперсеквенты в этой настройке основаны на одинарных последовательностях, они имеют следующую форму:

{ displaystyle Gamma _ {1} Rightarrow A_ {1} mid dots mid Gamma _ {n} Rightarrow A_ {n}}

Стандартная интерпретация формулы для такой гиперсеквенции:

{ Displaystyle ( bigwedge Gamma _ {1} к A_ {1}) lor dots lor ( bigwedge Gamma _ {n} to A_ {n})}

Большинство гиперпоследовательных исчислений для промежуточных логик включают в себя однократно последовательные версии пропозициональных правил, приведенных выше, - набор структурных правил. Характеристики конкретной промежуточной логики в основном фиксируются с помощью ряда дополнительных структурные правила. Например, стандартное исчисление для промежуточной логики LC, иногда также называемая логикой Гёделя – Даммета, дополнительно содержит так называемое правило связи:^[1]

{ displaystyle { frac { Gamma _ {1} Rightarrow Delta _ {1} mid dots mid Gamma _ {n} Rightarrow Delta _ {n} mid Sigma Rightarrow A qquad Omega _ {1} Rightarrow Theta _ {1} mid dots mid Omega _ {m} Rightarrow Theta _ {m} mid Pi Rightarrow B} { Gamma _ {1} Rightarrow Delta _ {1} mid dots mid Gamma _ {n} Rightarrow Delta _ {n} mid Omega _ {1} Rightarrow Theta _ {1} mid dots mid Омега _ {m} Rightarrow Theta _ {m} mid Sigma Rightarrow B mid Pi Rightarrow A}}}

Были введены гиперпоследовательные исчисления для многих других промежуточных логик,^[1]^[10]^[11]^[12] и есть очень общие результаты о вырезать устранение в таких исчислениях.^[13]

Субструктурная логика

Что касается промежуточных логик, гиперсеквенты использовались для получения аналитических исчислений для многих субструктурная логика и нечеткая логика.^[1]^[13]^[14]

История

Гиперпоследовательная структура, кажется, впервые появилась в^[2] под названием кортеж, чтобы получить исчисление модальной логики S5. Кажется, он был разработан независимо в^[3] также для обработки модальной логики, а во влиятельных,^[1] где рассматриваются исчисления для модальных, промежуточных и субструктурных логик, и вводится термин гиперсеквенция.

Рекомендации

^ ^а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм Аврон, Арнон (1996). Метод гиперсеквенций в теории доказательств пропозициональных неклассических логик. Логика: от основ до приложений. С. 1–32. ISBN 978-0-19-853862-2.
^ ^а ^б Минц, Григорий (1971). «О некоторых исчислениях модальной логики». Proc. Стеклова Математики. 98: 97–122.
^ ^а ^б Поттинджер, Гаррелл (1983). «Однородные составы без разрезов T, S4 и S5 (аннотация)». J. Symb. Бревно. 48 (3): 900.
^ Поджиолези, Франческа (2008). "Простое последовательное исчисление для модальной логики S5" (PDF). Rev. Symb. Бревно. 1: 3–15. Дои:10.1017 / S1755020308080040.
^ Рестолл, Грег (2007). Димитракопулос, Костас; Невельски, Людомир; Норманн, Даг; Сталь, Джон Р. (ред.). "Proofnets для S5: Секвенты и схемы для модальной логики". Коллоквиум по логике 2005. Конспект лекций по логике. 28: 151–172. Дои:10.1017 / CBO9780511546464.012. HDL:11343/31712. ISBN 9780511546464.
^ ^а ^б Курокава, Хиденори (2014). «Гиперпоследовательные исчисления для модальных логик, расширяющих S4». Новые рубежи в искусственном интеллекте. Конспект лекций по информатике. 8417. С. 51–68. Дои:10.1007/978-3-319-10061-6_4. ISBN 978-3-319-10060-9.
^ ^а ^б Лахав, Ори (2013). «От свойств фрейма к непоследовательным правилам в модальной логике». 2013 28-й ежегодный симпозиум ACM / IEEE по логике в компьютерных науках. С. 408–417. Дои:10.1109 / LICS.2013.47. ISBN 978-1-4799-0413-6. S2CID 221813.
^ Инджейчак, Анджей (2015). «Устранимость разреза в гиперпоследовательных исчислениях для некоторых модальных логик линейных шкал». Письма об обработке информации. 115 (2): 75–81. Дои:10.1016 / j.ipl.2014.07.002.
^ Лельманн, Бьёрн (2016). «Гиперсеквентные правила с ограниченными контекстами для пропозициональной модальной логики». Теор. Comput. Наука. 656: 76–105. Дои:10.1016 / j.tcs.2016.10.004.
^ Чиабаттони, Агата; Феррари, Мауро (2001). «Гиперпоследовательные исчисления для некоторых промежуточных логик с ограниченными моделями Крипке». J. Log. Вычислить. 11 (2): 283–294. Дои:10.1093 / logcom / 11.2.283.
^ Чиабаттони, Агата; Маффезиоли, Паоло; Спендье, Лара (2013). Гальмиче, Дидье; Ларчи-Вендлинг, Доминик (ред.). «Гиперпоследовательные и помеченные исчисления для промежуточной логики». Таблица 2013: 81–96.
^ Бааз, Матиас; Чиабаттони, Агата; Фермюллер, Кристиан Г. (2003). «Гиперпоследовательные исчисления для логик Гёделя - обзор». J. Log. Вычислить. 13 (6): 835–861. Дои:10.1093 / logcom / 13.6.835.
^ ^а ^б Чиабаттони, Агата; Галатос, Николаос; Теруи, Казушигэ (2008). «От аксиом к аналитическим правилам в неклассической логике». 2008 23-й ежегодный симпозиум IEEE по логике в компьютерных науках. С. 229–240. CiteSeerX 10.1.1.405.8176. Дои:10.1109 / LICS.2008.39. ISBN 978-0-7695-3183-0. S2CID 7456109.
^ Меткалф, Джордж; Оливетти, Никола; Габбай, Дов (2008). Теория доказательства нечеткой логики. Спрингер, Берлин.

[:0-1] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм Аврон, Арнон (1996). Метод гиперсеквенций в теории доказательств пропозициональных неклассических логик. Логика: от основ до приложений. С. 1–32. ISBN 978-0-19-853862-2.

[:4-2] а ^б Минц, Григорий (1971). «О некоторых исчислениях модальной логики». Proc. Стеклова Математики. 98: 97–122.

[:5-3] а ^б Поттинджер, Гаррелл (1983). «Однородные составы без разрезов T, S4 и S5 (аннотация)». J. Symb. Бревно. 48 (3): 900.

[4] Поджиолези, Франческа (2008). "Простое последовательное исчисление для модальной логики S5" (PDF). Rev. Symb. Бревно. 1: 3–15. Дои:10.1017 / S1755020308080040.

[5] Рестолл, Грег (2007). Димитракопулос, Костас; Невельски, Людомир; Норманн, Даг; Сталь, Джон Р. (ред.). "Proofnets для S5: Секвенты и схемы для модальной логики". Коллоквиум по логике 2005. Конспект лекций по логике. 28: 151–172. Дои:10.1017 / CBO9780511546464.012. HDL:11343/31712. ISBN 9780511546464.

[:1-6] а ^б Курокава, Хиденори (2014). «Гиперпоследовательные исчисления для модальных логик, расширяющих S4». Новые рубежи в искусственном интеллекте. Конспект лекций по информатике. 8417. С. 51–68. Дои:10.1007/978-3-319-10061-6_4. ISBN 978-3-319-10060-9.

[:2-7] а ^б Лахав, Ори (2013). «От свойств фрейма к непоследовательным правилам в модальной логике». 2013 28-й ежегодный симпозиум ACM / IEEE по логике в компьютерных науках. С. 408–417. Дои:10.1109 / LICS.2013.47. ISBN 978-1-4799-0413-6. S2CID 221813.

[8] Инджейчак, Анджей (2015). «Устранимость разреза в гиперпоследовательных исчислениях для некоторых модальных логик линейных шкал». Письма об обработке информации. 115 (2): 75–81. Дои:10.1016 / j.ipl.2014.07.002.

[9] Лельманн, Бьёрн (2016). «Гиперсеквентные правила с ограниченными контекстами для пропозициональной модальной логики». Теор. Comput. Наука. 656: 76–105. Дои:10.1016 / j.tcs.2016.10.004.

[10] Чиабаттони, Агата; Феррари, Мауро (2001). «Гиперпоследовательные исчисления для некоторых промежуточных логик с ограниченными моделями Крипке». J. Log. Вычислить. 11 (2): 283–294. Дои:10.1093 / logcom / 11.2.283.

[11] Чиабаттони, Агата; Маффезиоли, Паоло; Спендье, Лара (2013). Гальмиче, Дидье; Ларчи-Вендлинг, Доминик (ред.). «Гиперпоследовательные и помеченные исчисления для промежуточной логики». Таблица 2013: 81–96.

[12] Бааз, Матиас; Чиабаттони, Агата; Фермюллер, Кристиан Г. (2003). «Гиперпоследовательные исчисления для логик Гёделя - обзор». J. Log. Вычислить. 13 (6): 835–861. Дои:10.1093 / logcom / 13.6.835.

[:3-13] а ^б Чиабаттони, Агата; Галатос, Николаос; Теруи, Казушигэ (2008). «От аксиом к аналитическим правилам в неклассической логике». 2008 23-й ежегодный симпозиум IEEE по логике в компьютерных науках. С. 229–240. CiteSeerX 10.1.1.405.8176. Дои:10.1109 / LICS.2008.39. ISBN 978-0-7695-3183-0. S2CID 7456109.

[14] Меткалф, Джордж; Оливетти, Никола; Габбай, Дов (2008). Теория доказательства нечеткой логики. Спрингер, Берлин.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]