Промежуточная логика - Intermediate logic

В математическая логика, а суперинтуиционистская логика это логика высказываний расширение интуиционистская логика. Классическая логика является сильнейшей последовательной суперинтуиционистской логикой; таким образом, непротиворечивые суперинтуиционистские логики называются промежуточная логика (логика занимает промежуточное положение между интуиционистской логикой и классической логикой).^[1]

Определение

Суперинтуиционистская логика - это набор L пропозициональных формул в счетном множестве переменных п_я удовлетворяющие следующим свойствам:

1. все аксиомы интуиционистской логики принадлежать L;

2. если F и грамм формулы такие, что F и F → грамм оба принадлежат L, тогда грамм также принадлежит L (закрытие под modus ponens );

3. если F(п₁, п₂, ..., п_п) является формулой L, и грамм₁, грамм₂, ..., грамм_п любые формулы, то F(грамм₁, грамм₂, ..., грамм_п) принадлежит L (закрытие при замене).

Такая логика является промежуточной, если к тому же

4. L не является набором всех формул.

Свойства и примеры

Существует континуум различных промежуточных логик. Конкретные промежуточные логики часто создаются путем добавления одной или нескольких аксиом к интуиционистской логике или посредством семантического описания. Примеры промежуточной логики включают:

интуиционистская логика (МПК, Int, IL, ЧАС)
классическая логика (Цена за клик, Cl, CL): МПК + п ∨ ¬п = МПК + ¬¬п → п = МПК + ((п → q) → п) → п
логика слабых исключенный средний (KC, Янков логика, Де Морган логика^[2]): МПК + ¬¬п ∨ ¬п
Гёдель –Dummett логика (LC, грамм): МПК + (п → q) ∨ (q → п)
Kreisel –Putnam логика (КП): МПК + (¬п → (q ∨ р)) → ((¬п → q) ∨ (¬п → р))
Медведев логика конечных проблем (LM, ML): семантически определяется как логика всех кадры формы ${ Displaystyle langle { mathcal {P}} (X) setminus {X }, substeq rangle}$ за конечные множества Икс («Булевы гиперкубы без вершины»), по состоянию на 2015 г.^{[Обновить]} не известно, чтобы быть рекурсивно аксиоматизируемым
осуществимость логика
Скотт логика (SL): МПК + ((¬¬п → п) → (п ∨ ¬п)) → (¬¬п ∨ ¬п)
Логика Сметанича (SmL): МПК + (¬q → п) → (((п → q) → п) → п)
логики ограниченной мощности (до н.э_п): ${ displaystyle textstyle mathbf {IPC} + bigvee _ {я = 0} ^ {n} { bigl (} bigwedge _ {j$
логика ограниченной ширины, также известная как логика ограниченных антицепей (BW_п, BA_п): ${ displaystyle textstyle mathbf {IPC} + bigvee _ {я = 0} ^ {n} { bigl (} bigwedge _ {j neq i} p_ {j} to p_ {i} { bigr )}}$
логики ограниченной глубины (BD_п): МПК + п_п ∨ (п_п → (п_п−1 ∨ (п_п−1 → ... → (п₂ ∨ (п₂ → (п₁ ∨ ¬п₁)))...)))
логика ограниченной ширины верха (Кстати_п): ${ displaystyle textstyle mathbf {IPC} + bigvee _ {я = 0} ^ {n} { bigl (} bigwedge _ {j$
логика ограниченного ветвления (Т_п, BB_п): ${ displaystyle textstyle mathbf {IPC} + bigwedge _ {i = 0} ^ {n} { bigl (} { bigl (} p_ {i} to bigvee _ {j neq i} p_ { j} { bigr)} to bigvee _ {j neq i} p_ {j} { bigr)} to bigvee _ {i = 0} ^ {n} p_ {i}}$
Гёдель п-значная логика (грамм_п): LC + до н.э_п−1 = LC + BD_п−1

Суперинтуиционистские или промежуточные логики образуют полная решетка с интуиционистской логикой как Нижний и непоследовательная логика (в случае суперинтуиционистской логики) или классическая логика (в случае промежуточных логик) в качестве вершины. Классическая логика - единственная Коатом в решетке суперинтуиционистских логик; решетка промежуточных логик также имеет уникальный коатом, а именно SmL.

Инструменты для изучения промежуточной логики аналогичны инструментам, используемым для интуиционистской логики, например: Семантика Крипке. Например, логика Гёделя – Даммета имеет простую семантическую характеристику в терминах общее количество заказов.

Семантика

Учитывая Алгебра Гейтинга ЧАС, набор пропозициональные формулы которые действительны в ЧАС это промежуточная логика. И наоборот, имея промежуточную логику, можно построить ее Алгебра Линденбаума – Тарского, которая в таком случае является алгеброй Гейтинга.

Интуиционистский Рамка Крипке F это частично заказанный набор, и модель Крипке M фрейм Крипке с оценкой такой, что ${ Displaystyle {х середина М, х Vdash p }}$ является верхнее подмножество из F. Набор пропозициональных формул, справедливых в F это промежуточная логика. Учитывая промежуточную логику L можно построить модель Крипке M так что логика M является L (эта конструкция называется каноническая модель). Фрейм Крипке с этим свойством может не существовать, но общая рамка всегда делает.

Отношение к модальной логике

Позволять А быть пропозициональной формулой. В Перевод Гёделя – Тарского из А рекурсивно определяется следующим образом:

${ Displaystyle T (p_ {n}) = Box p_ {n}}$
${ Displaystyle T ( neg A) = Box neg T (A)}$
${ Displaystyle Т (А земля В) = Т (А) земля Т (В)}$
${ Displaystyle Т (А Ви В) = Т (А) Ви Т (В)}$
${ Displaystyle Т (А к В) = Коробка (Т (А) к Т (В))}$

Если M это модальная логика расширение S4 тогда ρM = {А | Т(А) ∈ M} является суперинтуиционистской логикой, и M называется модальный компаньон из ρM. Особенно:

МПК = ρS4
KC = ρS4.2
LC = ρS4.3
Цена за клик = ρS5

Для каждой промежуточной логики L есть много модальных логик M такой, что L = ρM.

Смотрите также

Список логических систем