S5 (модальная логика) - S5 (modal logic)

В логика и философия, S5 одна из пяти систем модальная логика предложено Кларенс Ирвинг Льюис и Купер Гарольд Лэнгфорд в их книге 1932 года Символическая логика. Это нормальная модальная логика, и одна из старейших систем модальной логики любого рода. Он сформирован с пропозициональное исчисление формулы и тавтологии, и аппарат логического вывода с замена и modus ponens, но расширяя синтаксис модальным оператором обязательно ${ displaystyle Box}$ и его двойная возможно ${ displaystyle Diamond}$ .^[1]^[2]

Аксиомы S5

Следующее использует модальные операторы ${ displaystyle Box}$ («обязательно») и ${ displaystyle Diamond}$ ("возможно").

S5 характеризуется аксиомами:

K: ${ Displaystyle Box (от A до B) до ( Box A до Box B)}$ ;
Т: ${ displaystyle Box A to A}$ ,

и либо:

5: ${ Displaystyle Diamond A to Box Diamond A}$ ;
или оба из следующих:

4: ${ displaystyle Box A to Box Box A}$ , и
B: ${ Displaystyle A to Box Diamond A}$ .

Аксиома (5) ограничивает отношение доступности ${ displaystyle R}$ из Рамка Крипке быть евклидовым, т.е. ${ displaystyle (wRv land wRu) подразумевает vRu}$ .

Семантика Крипке

С точки зрения Семантика Крипке, S5 характеризуется моделями, в которых отношение доступности является отношение эквивалентности: это рефлексивный, переходный, и симметричный.

Определение выполнимости S5 формула НП-полный проблема. Доказательство твердости тривиально, так как S5 включает логика высказываний. Принадлежность доказывается, показывая, что любая выполнимая формула имеет модель Крипке, в которой количество миров максимально линейно по размеру формулы.

Приложения

S5 полезен, так как позволяет избежать лишних повторений квалификаторов разных типов. Например, под S5, если Икс обязательно, возможно, обязательно, возможно правда, тогда Икс возможно правда. Отборочные, не выделенные жирным шрифтом, перед финальным словом "возможно" удаляются. S5. Хотя это полезно для того, чтобы предложения были достаточно короткими, это также может показаться нелогичным в том смысле, что S5, если что-то возможно нужно, значит нужно.

Элвин Плантинга утверждал, что эта особенность S5 на самом деле не противоречит интуиции. Чтобы оправдать, он считает, что если Икс является возможно необходимо, необходимо хотя бы в одном возможный мир; следовательно, это необходимо в все возможных миров и, следовательно, истинно во всех возможных мирах. Такие рассуждения лежат в основе 'модальные' формулировки из онтологический аргумент.

Смотрите также

внешняя ссылка

http://home.utah.edu/~nahaj/logic/structures/systems/s5.html
Модальная логика в Стэнфордской энциклопедии философии

[1] Челлас, Б. Ф. (1980) Модальная логика: введение. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-22476-4

[2] Хьюз, Г. Э., и Крессуэлл, М. Дж. (1996) Новое введение в модальную логику. Рутледж. ISBN 0-415-12599-5

[1]

[2]