Стабильность от входа к состоянию - Input-to-state stability

Стабильность от входа к состоянию (ISS)^[1]^[2]^[3]^[4] - понятие устойчивости, широко используемое для изучения устойчивости нелинейных Системы управления с внешними входами. Грубо говоря, система управления является ISS, если она глобально асимптотически устойчива при отсутствии внешних входов и если ее траектории ограничены функцией размера входа для всех достаточно больших времен. Важность ISS обусловлена тем, что что эта концепция ликвидировала разрыв между ввод, вывод и методы в пространстве состояний, широко используемый в сообществе систем управления. Понятие ISS было введено Эдуардо Зонтаг в 1989 г.^[5]

Определение

Рассмотрим инвариантную во времени систему обыкновенные дифференциальные уравнения формы

{ Displaystyle { точка {х}} = е (х, и), х (т) в mathbb {R} ^ {n},}

(1)

куда ${ displaystyle u: mathbb {R} _ {+} to mathbb {R} ^ {m}}$ это Измеримый по Лебегу существенно ограниченный внешний вход и ${ displaystyle f}$ это Липшицева непрерывная функция w.r.t. первый аргумент равномерно относительно второй. Это гарантирует, что существует уникальный абсолютно непрерывный решение системы (1).

Для определения ISS и связанных свойств мы используем следующие классы функции сравнения. Обозначим через ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ набор непрерывно возрастающих функций ${ displaystyle gamma: mathbb {R} _ {+} to mathbb {R} _ {+}}$ с ${ displaystyle gamma (0) = 0}$ . Множество неограниченных функций ${ displaystyle gamma in { mathcal {K}}}$ мы обозначим через ${ Displaystyle { mathcal {K}} _ { infty}}$ . Также обозначим ${ displaystyle beta in { mathcal {K}} { mathcal {L}}}$ если ${ Displaystyle бета ( cdot, т) в { mathcal {K}}}$ для всех ${ Displaystyle т geq 0}$ и ${ Displaystyle бета (г, cdot)}$ непрерывна и строго убывает к нулю при всех ${ displaystyle r> 0}$ .

Система (1) называется глобально асимптотически устойчивый в нуле (0-GAS) если соответствующая система с нулевым входом

{ Displaystyle { точка {х}} = е (х, 0), х (т) в mathbb {R} ^ {n},}

(Без входов)

глобально асимптотически устойчивый, то есть существуют ${ displaystyle beta in { mathcal {K}} { mathcal {L}}}$ так что для всех начальных значений ${ displaystyle x_ {0}}$ и все время ${ Displaystyle т geq 0}$ следующая оценка справедлива для решений (Без входов)

{ displaystyle | x (t) | leq beta (| x_ {0} |, t).}

(ГАЗ-Оценка)

Система (1) называется стабильный вход в состояние (ISS) если есть функции ${ displaystyle gamma in { mathcal {K}}}$ и ${ displaystyle beta in { mathcal {K}} { mathcal {L}}}$ так что для всех начальных значений ${ displaystyle x_ {0}}$ , все допустимые входы ${ displaystyle u}$ и все время ${ Displaystyle т geq 0}$ выполняется следующее неравенство

{ displaystyle | x (t) | leq beta (| x_ {0} |, t) + gamma ( | u | _ { infty}).}

(2)

Функция ${ displaystyle gamma}$ в приведенном выше неравенстве называется прирост.

Ясно, что система МКС - это 0-ГАЗ, а также BIBO стабильный (если поставить выход равным состоянию системы). Обратное утверждение в общем неверно.

Также можно доказать, что если ${ Displaystyle | и (т) | к 0}$ , так как ${ Displaystyle т к infty}$ , тогда ${ Displaystyle | х (т) | к 0}$ , ${ Displaystyle т к infty}$ .

Характеристики свойства устойчивости от входа к состоянию

Для понимания ISS очень важны его переформулировки с точки зрения других свойств устойчивости.

Система (1) называется глобально стабильный (GS) если есть ${ displaystyle gamma, sigma in { mathcal {K}}}$ такой, что ${ displaystyle forall x_ {0}}$ , ${ displaystyle forall u}$ и ${ Displaystyle forall т geq 0}$ он считает, что

{ displaystyle | x (t) | leq sigma (| x_ {0} |) + gamma ( | u | _ { infty}).}

(GS)

Система (1) удовлетворяет свойство асимптотического прироста (AG) если существует ${ displaystyle gamma in { mathcal {K}}}$ : ${ displaystyle forall x_ {0}}$ , ${ displaystyle forall u}$ он считает, что

{ displaystyle limsup _ {t to infty} | x (t) | leq gamma ( | u | _ { infty}).}

(AG)

Следующие утверждения эквивалентны

^[6]

1. (1) является МКС

2. (1) является GS и обладает свойством AG

3. (1) является 0-ГАЗ и обладает свойством AG

Доказательство этого результата, а также многих других характеристик МКС можно найти в статьях^[6] и ^[7]

Функции ИСС-Ляпунова

Важным инструментом проверки МКС являются Функции ИСС-Ляпунова.

Гладкая функция ${ Displaystyle V: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} _ {+}}$ называется функцией МСС-Ляпунова для (1), если ${ displaystyle exists psi _ {1}, psi _ {2} in { mathcal {K}} _ { infty}}$ , ${ displaystyle chi in { mathcal {K}}}$ и положительно определенная функция ${ displaystyle alpha}$ , такое, что:

{ Displaystyle psi _ {1} (| x |) leq V (x) leq psi _ {2} (| x |), quad forall x in mathbb {R} ^ {n} }

и ${ displaystyle forall x in mathbb {R} ^ {n}, ; forall u in mathbb {R} ^ {m}}$ он содержит:

{ Displaystyle | х | geq чи (| u |) Rightarrow nabla V cdot f (x, u) leq - альфа (| x |),}

Функция ${ displaystyle chi}$ называется Ляпунов усиление.

Если система (1) без входов (т.е. ${ Displaystyle и эквив 0}$ ), то последняя импликация сводится к условию

{ Displaystyle набла В CDOT F (х, и) Leq - альфа (| х |), forall х neq 0,}

что говорит нам, что ${ displaystyle V}$ это "классика" Функция Ляпунова.

Важный результат Э. Зонтага и Я. Ванга состоит в том, что система (1) является ISS тогда и только тогда, когда для него существует гладкая функция ISS-Ляпунова.^[7]

Примеры

Рассмотрим систему

{ displaystyle { dot {x}} = - x ^ {3} + ux ^ {2}.}

Определите кандидата функцию ISS-Ляпунова ${ Displaystyle V: mathbb {R} to mathbb {R} _ {+}}$ к ${ Displaystyle V (x) = { frac {1} {2}} x ^ {2}, quad forall x in mathbb {R}.}$

${ displaystyle { dot {V}} (x) = nabla V cdot (-x ^ {3} + ux ^ {2}) = - x ^ {4} + ux ^ {3}.}$

Выберите усиление Ляпунова ${ displaystyle chi}$ к

{ displaystyle chi (r): = { frac {1} {1- epsilon}} r}

.

Тогда получаем, что для ${ Displaystyle х, и: | х | geq чи (| и |)}$ он держит

{ displaystyle { dot {V}} (x) leq - | x | ^ {4} + (1- epsilon) | x | ^ {4} = - epsilon | x | ^ {4}.}

Это показывает, что ${ displaystyle V}$ является функцией МСС-Ляпунова для рассматриваемой системы с коэффициентом усиления Ляпунова ${ displaystyle chi}$ .

Взаимосвязь систем МКС

Одной из основных особенностей структуры ISS является возможность изучения свойств устойчивости взаимосвязей устойчивых систем, находящихся между входом и состоянием.

Рассмотрим систему, данную

{ displaystyle left {{ begin {array} {l} { dot {x}} _ {i} = f_ {i} (x_ {1}, ldots, x_ {n}, u), i = 1, ldots, n. end {array}} right.}

(WholeSys)

Здесь ${ Displaystyle и в L _ { infty} ( mathbb {R} _ {+}, mathbb {R} ^ {m})}$ , ${ Displaystyle х_ {я} (т) в mathbb {R} ^ {р_ {я}}}$ и ${ displaystyle f_ {i}}$ липшицевы в ${ displaystyle x_ {i}}$ равномерно относительно входов от ${ displaystyle i}$ -я подсистема.

Для ${ displaystyle i}$ -я подсистема (WholeSys) определение функции ИСС-Ляпунова можно записать следующим образом.

Гладкая функция ${ displaystyle V_ {i}: mathbb {R} ^ {p_ {i}} to mathbb {R} _ {+}}$ является функцией МСС-Ляпунова (ISS-LF) для ${ displaystyle i}$ -я подсистема (WholeSys), если существуют функции ${ displaystyle psi _ {i1}, psi _ {i2} in { mathcal {K}} _ { infty}}$ , ${ displaystyle chi _ {ij}, chi _ {i} in { mathcal {K}}}$ , ${ displaystyle j = 1, ldots, n}$ , ${ displaystyle j neq i}$ , ${ displaystyle chi _ {ii}: = 0}$ и положительно определенная функция ${ displaystyle alpha _ {я}}$ , такое, что:

{ Displaystyle psi _ {i1} (| x_ {i} |) leq V_ {i} (x_ {i}) leq psi _ {i2} (| x_ {i} |), quad forall x_ {i} in mathbb {R} ^ {p_ {i}}}

и ${ displaystyle forall x_ {i} in mathbb {R} ^ {p_ {i}}, ; forall u in mathbb {R} ^ {m}}$ он держит

{ displaystyle V_ {i} (x_ {i}) geq max { max _ {j = 1} ^ {n} chi _ {ij} (V_ {j} (x_ {j})), chi _ {i} (| u |) } Rightarrow nabla V_ {i} (x_ {i}) cdot f_ {i} (x_ {1}, ldots, x_ {n}, u ) leq - alpha _ {i} (V_ {i} (x_ {i})).}

Каскадные соединения

Каскадные межсоединения - это особый тип межсоединений, при котором динамика ${ displaystyle i}$ -я подсистема не зависит от состояний подсистем ${ Displaystyle 1, ldots, я-1}$ . Формально каскадное соединение можно записать как

{ displaystyle left {{ begin {array} {l} { dot {x}} _ {i} = f_ {i} (x_ {i}, ldots, x_ {n}, u), i = 1, ldots, n. end {array}} right.}

Если все подсистемы вышеупомянутой системы являются ISS, то все каскадное соединение также является ISS.^[5]^[4]

В отличие от каскадов систем ISS, каскадное соединение систем 0-GAS, как правило, не является 0-GAS. Следующий пример иллюстрирует этот факт. Рассмотрим систему, заданную

{ displaystyle left {{ begin {array} {l} { dot {x}} = - x + yx ^ {2}, { dot {y}} = - y. end {array }}верно.}

(Ex_GAS)

Обе подсистемы этой системы являются 0-ГАЗ, но для достаточно больших начальных состояний ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ и в течение некоторого конечного времени ${ Displaystyle т ^ {*}}$ он держит ${ Displaystyle х (т) к infty}$ за ${ Displaystyle т к т ^ {*}}$ , т.е. система (Ex_GAS) экспонаты конечное время ухода, и, следовательно, не является 0-ГАЗ.

Обратная связь

Структура взаимосвязи подсистем характеризуется внутренними ляпуновскими выигрышами. ${ displaystyle chi _ {ij}}$ . Вопрос, есть ли межсоединение (WholeSys) является МКС, зависит от свойств оператор усиления ${ displaystyle Gamma: mathbb {R} _ {+} ^ {n} rightarrow mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ определяется

{ Displaystyle Gamma (s): = left ( max _ {j = 1} ^ {n} chi _ {1j} (s_ {j}), ldots, max _ {j = 1} ^ {n} chi _ {nj} (s_ {j}) right), s in mathbb {R} _ {+} ^ {n}.}

Следующее теорема о малом выигрыше устанавливает достаточное условие для ISS взаимосвязи систем ISS. Позволять ${ displaystyle V_ {i}}$ - функция МСС-Ляпунова для ${ displaystyle i}$ -я подсистема (WholeSys) с соответствующими выигрышами ${ displaystyle chi _ {ij}}$ , ${ Displaystyle я = 1, ldots, п}$ . Если нелинейный условие малого усиления

{ displaystyle Gamma (s) not geq s, forall s in mathbb {R} _ {+} ^ {n} backslash left {0 right }}

(SGC)

держится, тогда все межсоединение - это ISS.^[8]^[9]

Условие малого усиления (SGC) выполняется тогда и только тогда, когда для каждого цикла в ${ displaystyle Gamma}$ (это для всех ${ displaystyle (k_ {1}, ..., k_ {p}) in {1, ..., n } ^ {p}}$ , куда ${ displaystyle k_ {1} = k_ {p}}$ ) и для всех ${ displaystyle s> 0}$ он держит

{ displaystyle gamma _ {k_ {1} k_ {2}} circ gamma _ {k_ {2} k_ {3}} circ ldots circ gamma _ {k_ {p-1} k_ {p }} (s)

Условие малого усиления в этой форме называется также циклическим условием малого усиления.

Связанные концепции стабильности

Интегральная МКС (ИИСС)

Система (1) называется интегральной стабильностью от входа к состоянию (ISS), если существуют функции ${ displaystyle alpha, gamma in { mathcal {K}}}$ и ${ displaystyle beta in { mathcal {K}} { mathcal {L}}}$ так что для всех начальных значений ${ displaystyle x_ {0}}$ , все допустимые входы ${ displaystyle u}$ и все время ${ Displaystyle т geq 0}$ выполняется следующее неравенство

{ Displaystyle альфа (| х (т) |) Leq бета (| х_ {0} |, т) + int _ {0} ^ {т} гамма (| и (s) |) DS. }

(3)

В отличие от систем МКС, если система является интегральной МКС, ее траектории могут быть неограниченными даже для ограниченных входов. Чтобы увидеть это, положите ${ Displaystyle альфа (г) = гамма (г) = г}$ для всех ${ displaystyle r geq 0}$ и возьми ${ Displaystyle и эквив с = константа}$ . Тогда оценка (3) принимает вид

{ displaystyle | x (t) | leq beta (| x_ {0} |, t) + int _ {0} ^ {t} cds = beta (| x_ {0} |, t) + ct ,}

а правая часть растет до бесконечности при ${ Displaystyle т к infty}$ .

Как и в рамках ISS, методы Ляпунова играют центральную роль в теории iISS.

Гладкая функция ${ Displaystyle V: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} _ {+}}$ называется функцией ИИСС-Ляпунова для (1), если ${ displaystyle exists psi _ {1}, psi _ {2} in { mathcal {K}} _ { infty}}$ , ${ displaystyle chi in { mathcal {K}}}$ и положительно определенная функция ${ displaystyle alpha}$ , такое, что:

{ Displaystyle psi _ {1} (| x |) leq V (x) leq psi _ {2} (| x |), quad forall x in mathbb {R} ^ {n} }

и ${ displaystyle forall x in mathbb {R} ^ {n}, ; forall u in mathbb {R} ^ {m}}$ он содержит:

{ displaystyle { dot {V}} = nabla V cdot f (x, u) leq - alpha (| x |) + gamma (| u |).}

Важным результатом Д. Анджели, Э. Зонтага и Ю. Ванга является то, что система (1) является интегральным МСС тогда и только тогда, когда для него существует функция ИИСС-Ляпунова.

Обратите внимание, что в приведенной выше формуле ${ displaystyle alpha}$ предполагается только положительно определенный. Это легко доказать,^[10] что если ${ displaystyle V}$ является функцией ИИСС-Ляпунова с ${ displaystyle alpha in { mathcal {K}} _ { infty}}$ , тогда ${ displaystyle V}$ фактически является функцией МКС-Ляпунова для системы (1).

Это, в частности, показывает, что каждая система ISS является интегральной ISS. Обратное утверждение неверно, как показывает следующий пример. Рассмотрим систему

{ displaystyle { dot {x}} = - arctan {x} + u.}

Эта система не является МКС, поскольку для достаточно больших входов траектории неограниченны. Однако это интегральная МКС с функцией ИССИ-Ляпунова. ${ displaystyle V}$ определяется

{ Displaystyle V (х) = х arctan {х}.}

Местная МКС (LISS)

Немаловажную роль также играют локальные версии объекта ISS. Система (1) называется локально МКС (LISS) если существует постоянная ${ displaystyle rho> 0}$ и функции

${ displaystyle gamma in { mathcal {K}}}$ и ${ displaystyle beta in { mathcal {K}} { mathcal {L}}}$ так что для всех ${ displaystyle x_ {0} in mathbb {R} ^ {n}: ; | x_ {0} | leq rho}$ , все допустимые входы ${ Displaystyle и: | и | _ { infty} leq rho}$ и все время ${ Displaystyle т geq 0}$ он считает, что

{ displaystyle | x (t) | leq beta (| x_ {0} |, t) + gamma ( | u | _ { infty}).}

(4)

Интересное наблюдение заключается в том, что 0-GAS подразумевает LISS.^[11]

Другие понятия стабильности

Было введено множество других понятий, связанных с устойчивостью МКС: инкрементная МКС, динамическая устойчивость от входа к состоянию (ISDS),^[12] практическая стабильность от входа к состоянию (ISpS), стабильность ввода-вывода (IOS)^[13] и Т. Д.

ИСС систем запаздывания

Рассмотрим инвариантный во времени система задержки времени

{ displaystyle { dot {x}} (t) = f (x ^ {t}, u (t)), quad t> 0.}

(TDS)

Здесь ${ Displaystyle х ^ {т} в С ([- theta, 0]; mathbb {R} ^ {N})}$ состояние системы (TDS) вовремя ${ displaystyle t}$ , ${ Displaystyle х ^ {T} ( тау) = х (т + тау), тау в [- тета, 0]}$ и ${ displaystyle f: C ([- theta, 0]; mathbb {R} ^ {N}) times mathbb {R} ^ {m}}$ удовлетворяет определенным предположениям, гарантирующим существование и единственность решений системы (TDS).

Система (TDS) является ISS тогда и только тогда, когда существуют функции ${ displaystyle beta in { mathcal {KL}}}$ и ${ displaystyle gamma in { mathcal {K}}}$ так что для каждого ${ Displaystyle хи в С ( влево [- тета, 0 вправо], mathbb {R} ^ {N})}$ , каждый допустимый ввод ${ displaystyle u}$ и для всех ${ Displaystyle т ин mathbb {R} _ {+}}$ , считается, что

{ Displaystyle влево | Икс (т) вправо | Leq бета ( влево | хи вправо | _ { влево [- тета, 0 вправо]}, т) + гамма ( left | u right | _ { infty}).}

(ISS-TDS)

В теории МКС для систем с запаздыванием были предложены два различных достаточных условия типа Ляпунова: через МКС функции Ляпунова-Разумихина^[14] и функционалами ИСС Ляпунова-Красовского.^[15] По поводу обратных теорем Ляпунова для систем с запаздыванием см.^[16]

ИСС других классов систем

Относительная устойчивость систем, основанная на инвариантных во времени обыкновенных дифференциальных уравнениях, является достаточно развитой теорией. Однако исследуется теория МКС для других классов систем: вариативные во времени системы ODE,^[17] гибридные системы.^[18]^[19] В последнее время также были предложены некоторые обобщения концепций МКС на бесконечномерные системы.^[20]^[21]^[3]^[22]

Рекомендации

^ Эдуардо Д. Зонтаг. Математическая теория управления: конечномерные системы. Springer-Verlag, Лондон, 1998 г.
^ Хасан К. Халил. Нелинейные системы. Прентис Холл, 2002.
^ ^а ^б Яссон Карафиллис и Чжун-Пин Цзян. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем. Серия «Техника связи и управления». Springer-Verlag London Ltd., Лондон, 2011 г.
^ ^а ^б Эдуардо Д. Зонтаг. Вклад в стабильность состояния: основные понятия и результаты. В теории нелинейного и оптимального управления, том 1932, конспект лекций по математике, страницы 163–220, Берлин, 2008. Springer
^ ^а ^б Эдуардо Д. Зонтаг. Плавная стабилизация подразумевает факторизацию взаимных простых чисел. IEEE Trans. Автомат. Контроль, 34 (4): 435–443, 1989.
^ ^а ^б Эдуардо Д. Зонтаг и Юань Ван. Новые характеристики стабильности между входом и состоянием. IEEE Trans. Автомат. Контроль, 41 (9): 1283–1294, 1996.
^ ^а ^б Эдуардо Д. Зонтаг и Юань Ван. О характеристиках свойства устойчивости входа в состояние В архиве 2013-07-03 в Wayback Machine. Письма о контроле систем, 24 (5): 351–359, 1995.
^ Чжун-Пин Цзян, Ивен М. Ю. Марилс и Юань Ван. Формулировка Ляпунова нелинейной теоремы о малом усилении для взаимосвязанных систем МКС. Automatica J. IFAC, 32 (8): 1211–1215, 1996.
^ Сергей Дашковский, Бьорн С. Рюффер и Фабиан Р. Вирт. Функция Ляпунова МКС для сетей систем МКС. В материалах 17-го Международного симпозиума по математической теории сетей и систем (MTNS), Киото, Япония, 24-28 июля 2006 г., страницы 77–82, 2006 г.
^ См. Замечание 2.4. в Эдуардо Д. Зонтаг и Юань Ван. О характеристиках свойства устойчивости входа в состояние. Systems Control Lett., 24 (5): 351–359, 1995 г.
^ Лемма I.1, с.1285 в Эдуардо Д. Зонтаг и Юань Ван. Новые характеристики стабильности между входом и состоянием. IEEE Trans. Автомат. Контроль, 41 (9): 1283–1294, 1996.
^ Ларс Грюне. Динамическая устойчивость от входа к состоянию и ее характеристика функции Ляпунова. IEEE Trans. Автомат. Контроль, 47 (9): 1499–1504, 2002.
^ З.-П. Цзян, А. Р. Тил и Л. Прали. Теорема о малом усилении для систем и приложений МКС. Математика. Системы управляющих сигналов, 7 (2): 95–120, 1994.
^ Эндрю Р. Тил. Связь между теоремами типа Разумихина и теоремой о нелинейном малом усилении МКС. IEEE Trans. Автомат. Контроль, 43 (7): 960–964, 1998.
^ П. Пепе, З.-П. Цзян. Методология Ляпунова-Красовского для МКС и ИСС систем с запаздыванием. Письма о контроле систем, 55 (12): 1006–1014, 2006.
^ Яссон Карафиллис. Теоремы Ляпунова для систем, описываемых запаздывающими функционально-дифференциальными уравнениями. Нелинейный анализ: теория, методы и приложения, 64 (3): 590 - 617, 2006.
^ Юаньдань Линь, Юанг Ван и Дайчжань Чэн. О неоднородной и полуоднородной устойчивости входа в состояние для нестационарных систем. На Всемирном конгрессе МФБ, Прага, 2005 г.
^ Чаохонг Кай и Эндрю Р. Тил. Характеристики устойчивости от входа к состоянию для гибридных систем. Письма о системах и управлении, 58 (1): 47–53, 2009.
^ Д. Несич, А.Р. Teel. Теорема Ляпунова о малом усилении для гибридных систем МКС.В материалах 47-й конференции IEEE по решениям и контролю, Канкун, Мексика, 9-11 декабря 2008 г., страницы 3380–3385, 2008 г.
^ Байю Джаявардхана, Хартмут Логеманн и Юджин П. Райан. Бесконечномерные системы обратной связи: критерий круга и устойчивость от входа к состоянию. Commun. Инф. Систем., 8 (4): 413–414, 2008.
^ Дашковский С., Миронченко А. Устойчивость бесконечномерных систем управления между входами и состояниями.^{[мертвая ссылка ]} По математике управления, сигналов и систем (MCSS), 2013 г.
^ Ф. Мазенк и К. Приер. Строгие функции Ляпунова для полулинейных параболических уравнений в частных производных. Математический контроль и связанные с ним области, 1: 231–250, июнь 2011 г.

[MCT-1] Эдуардо Д. Зонтаг. Математическая теория управления: конечномерные системы. Springer-Verlag, Лондон, 1998 г.

[Khalil-2] Хасан К. Халил. Нелинейные системы. Прентис Холл, 2002.

[KaJ11-3] а ^б Яссон Карафиллис и Чжун-Пин Цзян. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем. Серия «Техника связи и управления». Springer-Verlag London Ltd., Лондон, 2011 г.

[Son08-4] а ^б Эдуардо Д. Зонтаг. Вклад в стабильность состояния: основные понятия и результаты. В теории нелинейного и оптимального управления, том 1932, конспект лекций по математике, страницы 163–220, Берлин, 2008. Springer

[Coprime1989-5] а ^б Эдуардо Д. Зонтаг. Плавная стабилизация подразумевает факторизацию взаимных простых чисел. IEEE Trans. Автомат. Контроль, 34 (4): 435–443, 1989.

[NewCharacterisations-6] а ^б Эдуардо Д. Зонтаг и Юань Ван. Новые характеристики стабильности между входом и состоянием. IEEE Trans. Автомат. Контроль, 41 (9): 1283–1294, 1996.

[Characterisations-7] а ^б Эдуардо Д. Зонтаг и Юань Ван. О характеристиках свойства устойчивости входа в состояние В архиве 2013-07-03 в Wayback Machine. Письма о контроле систем, 24 (5): 351–359, 1995.

[8] Чжун-Пин Цзян, Ивен М. Ю. Марилс и Юань Ван. Формулировка Ляпунова нелинейной теоремы о малом усилении для взаимосвязанных систем МКС. Automatica J. IFAC, 32 (8): 1211–1215, 1996.

[9] Сергей Дашковский, Бьорн С. Рюффер и Фабиан Р. Вирт. Функция Ляпунова МКС для сетей систем МКС. В материалах 17-го Международного симпозиума по математической теории сетей и систем (MTNS), Киото, Япония, 24-28 июля 2006 г., страницы 77–82, 2006 г.

[10] См. Замечание 2.4. в Эдуардо Д. Зонтаг и Юань Ван. О характеристиках свойства устойчивости входа в состояние. Systems Control Lett., 24 (5): 351–359, 1995 г.

[11] Лемма I.1, с.1285 в Эдуардо Д. Зонтаг и Юань Ван. Новые характеристики стабильности между входом и состоянием. IEEE Trans. Автомат. Контроль, 41 (9): 1283–1294, 1996.

[12] Ларс Грюне. Динамическая устойчивость от входа к состоянию и ее характеристика функции Ляпунова. IEEE Trans. Автомат. Контроль, 47 (9): 1499–1504, 2002.

[13] З.-П. Цзян, А. Р. Тил и Л. Прали. Теорема о малом усилении для систем и приложений МКС. Математика. Системы управляющих сигналов, 7 (2): 95–120, 1994.

[14] Эндрю Р. Тил. Связь между теоремами типа Разумихина и теоремой о нелинейном малом усилении МКС. IEEE Trans. Автомат. Контроль, 43 (7): 960–964, 1998.

[15] П. Пепе, З.-П. Цзян. Методология Ляпунова-Красовского для МКС и ИСС систем с запаздыванием. Письма о контроле систем, 55 (12): 1006–1014, 2006.

[16] Яссон Карафиллис. Теоремы Ляпунова для систем, описываемых запаздывающими функционально-дифференциальными уравнениями. Нелинейный анализ: теория, методы и приложения, 64 (3): 590 - 617, 2006.

[17] Юаньдань Линь, Юанг Ван и Дайчжань Чэн. О неоднородной и полуоднородной устойчивости входа в состояние для нестационарных систем. На Всемирном конгрессе МФБ, Прага, 2005 г.

[18] Чаохонг Кай и Эндрю Р. Тил. Характеристики устойчивости от входа к состоянию для гибридных систем. Письма о системах и управлении, 58 (1): 47–53, 2009.

[19] Д. Несич, А.Р. Teel. Теорема Ляпунова о малом усилении для гибридных систем МКС.В материалах 47-й конференции IEEE по решениям и контролю, Канкун, Мексика, 9-11 декабря 2008 г., страницы 3380–3385, 2008 г.

[20] Байю Джаявардхана, Хартмут Логеманн и Юджин П. Райан. Бесконечномерные системы обратной связи: критерий круга и устойчивость от входа к состоянию. Commun. Инф. Систем., 8 (4): 413–414, 2008.

[21] Дашковский С., Миронченко А. Устойчивость бесконечномерных систем управления между входами и состояниями.^{[мертвая ссылка ]} По математике управления, сигналов и систем (MCSS), 2013 г.

[22] Ф. Мазенк и К. Приер. Строгие функции Ляпунова для полулинейных параболических уравнений в частных производных. Математический контроль и связанные с ним области, 1: 231–250, июнь 2011 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]