Межуниверсальная теория Тейхмюллера - Inter-universal Teichmüller theory

Межуниверсальная теория Тейхмюллера (сокращенно IUT или же IUTT) - это имя, данное математиком Шиничи Мотидзуки теории, которую он разработал в 2000-х годах после его более ранних работ в арифметическая геометрия. Согласно Мотидзуки, это «арифметическая версия Теория Тейхмюллера для числовых полей, снабженных эллиптической кривой ». Теория была обнародована в серии из четырех препринты размещено в 2012 году на своем сайте. Наиболее ярким заявленным применением теории является доказательство различных выдающихся гипотез в теория чисел, в частности гипотеза abc. Мотидзуки и несколько других математиков утверждают, что теория действительно дает такое доказательство, но это до сих пор не было принято математическим сообществом.

История

Теория была полностью разработана Мотидзуки до 2012 года, а последние части были написаны в виде серии из четырех препринтов.[1] Затем Мотидзуки довольно необычным образом обнародовал свою работу в 2012 году, сделав доступными только статьи на своем сайте. ДИСКИ веб-странице и избегайте объявлений или публикации на сервере предварительной публикации. Вскоре после этого бумаги забрал Иван Фесенко и математическое сообщество в целом стало известно о заявлениях о доказательстве гипотезы abc.[нужна цитата ]

Поначалу это утверждение было воспринято с энтузиазмом, хотя теоретики чисел были сбиты с толку языком оригинала, представленным и используемым Мотидзуки.[2][3]Национальные семинары по IUT были проведены в RIMS в марте 2015 г. и в Пекине в июле 2015 г.[4]Международные семинары по IUT были проведены в Оксфорде в декабре 2015 года и в RIMS в июле 2016 года. Международные семинары собрали более 100 участников. Презентации этих семинаров доступны в Интернете.[5][6]Однако это не привело к более широкому пониманию идей Мотидзуки, и статус заявленного им доказательства этими событиями не изменился.[7]

В 2017 году ряд математиков, которые подробно исследовали аргумент Мотидзуки, указали на конкретный момент, который они не могли понять ближе к концу доказательства следствия 3.12 в статье 3 из 4.[8][9]

В марте 2018 г. Питер Шольце и Якоб Стикс посетил Киотский университет за пять дней обсуждений с Мотидзуки и Юичиро Хоши; хотя это не устранило разногласия, но позволило выявить, в чем заключаются трудности.[8][10]В результате обе стороны опубликовали отчеты о дискуссии:

  • В мае 2018 года Шольце и Стикс написали 10-страничный отчет, обновленный в сентябре 2018 года, в котором подробно описывается (ранее выявленный) пробел в следствии 3.12 в доказательстве, описывая его как «настолько серьезный, что, по [их] мнению, небольшие изменения не спасут стратегия доказательства », и что препринт Мотидзуки не может требовать доказательства abc.[11] Они делают ряд упрощений IUTT, некоторые радикальные, но не все из которых Мотидзуки считает допустимыми, и настаивают на том, что он не делает различия между «абстрактными и конкретными« пилотными объектами »».
  • В сентябре 2018 года Мотидзуки написал 41-страничное резюме своего взгляда на дискуссии и свои выводы о том, какие аспекты своей теории он считает неправильно понятыми.[12] В частности он называет:
    • «переинициализация» (математических) объектов, делая их предыдущую «историю» недоступной;
    • «ярлыки» для разных «вариантов» объектов;
    • акцент на типах («разновидностях») предметов.
  • В июле и октябре 2018 года Мотидзуки написал 8- и 5-страничные реакции на майскую и сентябрьскую версии отчета Шольце и Якоба Стикса, утверждая, что этот пробел является результатом их упрощений и что в его теории нет пробелов.[13][14]

Комментарии 2017 г. и обсуждения 2018 г. описаны в статье в Журнал Quanta в сентябре 2018 г.[8]

Математическое значение

Объем теории

Межуниверсальная теория Тейхмюллера является продолжением предыдущей работы Мочизуки по арифметической геометрии. Эта работа, прошедшая экспертную оценку и хорошо принятая математическим сообществом, включает значительный вклад в анабелева геометрия, и развитие p-адическая теория Тейхмюллера, Теория Ходжа – Аракелова и Фробениоид категории. Он был разработан с явными ссылками на цель получения более глубокого понимания abc и связанных с ними предположений. С геометрической точки зрения аналоги некоторых идей IUT появляются в доказательстве Богомолов геометрического неравенства Шпиро.[15]

Ключевым условием для IUT является моноанабелева геометрия Мочизуки и ее мощные результаты реконструкции, которые позволяют извлекать различные теоретико-схемные объекты, связанные с гиперболической кривой над числовым полем, на основе знания ее фундаментальной группы или определенных групп Галуа. IUT применяет алгоритмические результаты моноанабелевой геометрии для восстановления соответствующих схем после применения к ним арифметических деформаций; ключевую роль играют три жесткости, установленные в теории этальной тэты Мотидзуки. Грубо говоря, арифметические деформации изменяют умножение данного кольца, и задача состоит в том, чтобы измерить, насколько изменилось сложение.[16] Инфраструктура для процедур деформации декодируется определенными связями между так называемыми театрами Ходжа, такими как тета-ссылка и лог-ссылка.[17]

Эти театры Ходжа используют две основные симметрии IUT: мультипликативную арифметику и аддитивную геометрическую. С одной стороны, театры Ходжа обобщают такие классические объекты теории чисел, как адели и иделы, по отношению к их глобальным элементам. С другой стороны, они обобщают определенные структуры, появившиеся в предыдущей теории Ходжа-Аракелова Мотидзуки. Связи между кинотеатрами несовместимы с кольцевыми или схемными структурами и выполняются вне традиционной арифметической геометрии. Однако они совместимы с определенными групповыми структурами, и абсолютные группы Галуа, а также определенные типы топологических групп играют фундаментальную роль в IUT. Из соображений мультирадиальности, обобщения функториальности, следует ввести три умеренных неопределенности.[17]

Последствия в теории чисел

Основное заявленное применение IUT - это различные гипотезы теории чисел, в том числе abc, а также более геометрические гипотезы, такие какГипотеза Спиро на эллиптических кривых и Гипотеза Войты для кривых.

Первый шаг - перевести арифметическую информацию об этих объектах.[требуется дальнейшее объяснение ] к настройке категорий Frobenioid. Утверждается, что дополнительная структура на этой стороне позволяет выводить утверждения, которые переводятся обратно в заявленные результаты.[18]

Одна проблема с аргументами Мотидзуки, которую он признает, заключается в том, что не представляется возможным получить промежуточные результаты в его доказательстве abc с использованием IUT. Другими словами, не существует меньшего подмножества его аргументов, более легко поддающегося анализу со стороны внешних экспертов, который дал бы новый результат в диофантовых геометриях.[18]

Веселин Димитров извлек из аргументов Мочизуки доказательство количественного результата по abc, которое в принципе могло бы опровергнуть это доказательство.[19]

Рекомендации

  1. ^ Мотидзуки, Шиничи (2012a), Межуниверсальная теория Тейхмюллера I: строительство театров Ходжа (PDF)
    Мотидзуки, Шиничи (2012b), Межуниверсальная теория Тейхмюллера II: оценка Ходжа – Аракелова (PDF)
    Мотидзуки, Шиничи (2012c), Межуниверсальная теория Тейхмюллера III: канонические расщепления лог-тета-решетки (PDF)
    Мотидзуки, Шиничи (2012d), Межуниверсальная теория Тейхмюллера IV: лог-объемные вычисления и теоретико-множественные основы (PDF), заархивировано из оригинал (PDF) на 2016-12-28, получено 2012-09-09
  2. ^ Болл, Питер (10 сентября 2012 г.). «Доказательство глубокой связи между простыми числами». Природа. Дои:10.1038 / природа.2012.11378. Получено 19 марта 2018.
  3. ^ Парадокс доказательства Кэролайн Чен, по состоянию на 11 мая 2013 г.
  4. ^ Будущие и прошедшие семинары по теории ИТ Шиничи Мотидзуки
  5. ^ "Оксфордский семинар по теории IUT Шиничи Мотидзуки, 7–11 декабря 2015 г.". Ноттингемский университет. Получено 2018-03-19.
  6. ^ «Межуниверсальный теоретический саммит Тейхмюллера 2016 (семинар RIMS, 18-27 июля 2016 г.)». Ноттингемский университет. Получено 2018-03-19.
  7. ^ Ревелл, Тимоти (18 декабря 2017 г.). «Математик собирается опубликовать ABC-доказательство, которого почти никто не понимает». Новый ученый. Получено 14 апреля, 2018.
  8. ^ а б c Кларрайх, Эрика (20 сентября 2018 г.). «Битва титанов математики за эпическое доказательство гипотезы ABC». Журнал Quanta.
  9. ^ «Гипотеза ABC до сих пор не доказана». 17 декабря 2017 г.. Получено 17 марта, 2018. Для каждого из этих людей доказательство, которое поставило их в тупик, касалось [следствия] 3.12 из IUT3. Поразительно, что за считанные дни было получено три независимых незапрошенных электронных письма, которые все сводились к одному и тому же доказательству, ставшему причиной путаницы.
  10. ^ Мотидзуки, Шиничи. «Март 2018 г. Обсуждения на IUTeich». Получено Второе октября, 2018. Веб-страница Мотидзуки с описанием дискуссий и ссылками на последующие публикации (следующие ссылки), статьи Иван Фесенко и видео от Фумихару Като из Токийский технологический институт
  11. ^ Шольце, Питер; Стикс, Якоб. "Почему abc до сих пор остается домыслом" (PDF). Получено 23 сентября, 2018. (обновленная версия их Может сообщить )
  12. ^ Мотидзуки, Шиничи. «Отчет о дискуссиях, состоявшихся в период с 15 по 20 марта 2018 г., относительно межуниверсальной теории Тейхмюллера» (PDF). Получено Второе октября, 2018. … обсуждения… представляют собой первые подробные,… предметные обсуждения негативных позиций… IUTch.
  13. ^ Мотидзуки, Шиничи. «Комментарии к рукописи Шольце-Стикса, касающейся Межуниверсальной теории Тейхмюллера» (PDF). Получено Второе октября, 2018.
  14. ^ Мотидзуки, Шиничи. «Комментарии к рукописи (версия 2018-08) Scholze-Stix, касающейся Межуниверсальной теории Тейхмюллера» (PDF). Получено Второе октября, 2018. Большинство комментариев (его предыдущая реакция) не были адресованы в (их сентябрьское обновление) и, следовательно ... остаются в силе Дополнение к его предыдущей реакции
  15. ^ Мотидзуки, Шиничи (2016), Доказательство Богомоловым геометрической версии гипотезы Шпиро с точки зрения интеруниверсальной теории Тейхмюллера, Res. Математика. Sci. 3 (2016), 3: 6
  16. ^ Фесенко, Иван (2016), Фукуген, Заключение: Международный обзор науки, 2016 г.
  17. ^ а б Мотидзуки, Шиничи (2016), Математика взаимно чуждых копий: от гауссовских интегралов до межуниверсальной теории Тейхмюллера (PDF)
  18. ^ а б Конрад, Брайан (15 декабря 2015 г.). «Заметки Брайана Конрада о семинаре Oxford IUT». 3. Что такое интеруниверсальная теория Тейхмюллера (IUT)?. Получено 18 марта, 2018.CS1 maint: location (связь)
  19. ^ Веселин, Димитров (14 января 2016 г.). «Эффективность в работе Мотидзуки над abc-гипотезой». arXiv:1601.03572.

внешняя ссылка