Метод Якоби для комплексных эрмитовых матриц - Jacobi method for complex Hermitian matrices

В математике Метод Якоби для комплексных Эрмитовы матрицы является обобщением Метод итераций Якоби. В Метод итераций Якоби также объясняется во «Введение в линейную алгебру» Стрэнг (1993).

Вывод

Комплекс унитарный вращение матрицы р_pq может использоваться для Итерация Якоби сложных Эрмитовы матрицы чтобы найти численную оценку их собственных векторов и собственных значений одновременно.

Подобно Матрицы вращения Гивенса, р_pq определяются как:

${ displaystyle { begin {align} (R_ {pq}) _ {m, n} & = delta _ {m, n} & qquad m, n neq p, q, [10pt] (R_ {pq}) _ {p, p} & = { frac {+1} { sqrt {2}}} e ^ {- i theta}, [10pt] (R_ {pq}) _ {q , p} & = { frac {+1} { sqrt {2}}} e ^ {- i theta}, [10pt] (R_ {pq}) _ {p, q} & = { frac {-1} { sqrt {2}}} e ^ {+ i theta}, [10pt] (R_ {pq}) _ {q, q} & = { frac {+1} { sqrt {2}}} е ^ {+ я тета} конец {выровнено}}}$

Каждая матрица вращения, р_pq, изменит только пй и q-ые строки или столбцы матрицы M если он применяется слева или справа соответственно:

${ Displaystyle { begin {выровнено} (R_ {pq} M) _ {m, n} & = { begin {case} M_ {m, n} & m neq p, q [8pt] { frac {1} { sqrt {2}}} (M_ {p, n} e ^ {- i theta} -M_ {q, n} e ^ {+ i theta}) & m = p [8pt] { frac {1} { sqrt {2}}} (M_ {p, n} e ^ {- i theta} + M_ {q, n} e ^ {+ i theta}) & m = q end {case}} [8pt] (MR_ {pq} ^ { dagger}) _ {m, n} & = { begin {cases} M_ {m, n} & n neq p, q { frac {1} { sqrt {2}}} (M_ {m, p} e ^ {+ i theta} -M_ {m, q} e ^ {- i theta}) & n = p [8pt ] { frac {1} { sqrt {2}}} (M_ {m, p} e ^ {+ i theta} + M_ {m, q} e ^ {- i theta}) & n = q конец {случаи}} конец {выровнены}}}$

А Эрмитова матрица, ЧАС определяется свойством сопряженной транспонированной симметрии:

${ displaystyle H ^ { dagger} = H Leftrightarrow H_ {i, j} = H_ {j, i} ^ {*}}$

По определению комплексное сопряжение комплекса унитарный вращение матрица р является его обратным, а также сложным унитарный вращение матрица:

${ displaystyle { begin {align} R_ {pq} ^ { dagger} & = R_ {pq} ^ {- 1} [6pt] Rightarrow R_ {pq} ^ { dagger ^ { dagger} } & = R_ {pq} ^ {- 1 ^ { dagger}} = R_ {pq} ^ {- 1 ^ {- 1}} = R_ {pq}. End {выравнивается}}}$

Следовательно, комплексный эквивалент Преобразование Гивенса ${ displaystyle T}$ из Эрмитова матрица ЧАС также Эрмитова матрица похожий на ЧАС:

${ displaystyle { begin {align} T & Equiv R_ {pq} HR_ {pq} ^ { dagger}, && [6pt] T ^ { dagger} & = (R_ {pq} HR_ {pq} ^ { dagger}) ^ { dagger} = R_ {pq} ^ { dagger ^ { dagger}} H ^ { dagger} R_ {pq} ^ { dagger} = R_ {pq} HR_ {pq} ^ { dagger} = T end {выровнено}}}$

Элементы Т можно рассчитать по приведенным выше соотношениям. Важные элементы для Итерация Якоби следующие четыре:

${ displaystyle { begin {array} {clrcl} T_ {p, p} & = && { frac {H_ {p, p} + H_ {q, q}} {2}} & - mathrm {Re} {H_ {p, q} e ^ {- 2i theta} }, [8pt] T_ {p, q} & = && { frac {H_ {p, p} -H_ {q , q}} {2}} & + i mathrm {Im} {H_ {p, q} e ^ {- 2i theta} }, [8pt] T_ {q, p} & = && { frac {H_ {p, p} -H_ {q, q}} {2}} & - i mathrm {Im} {H_ {p, q} e ^ {- 2i theta} }, [8pt] T_ {q, q} & = && { frac {H_ {p, p} + H_ {q, q}} {2}} & + mathrm {Re} { H_ {p, q} e ^ {- 2i theta} }. End {array}}}$

Каждый Итерация Якоби с участием р^J_pq генерирует преобразованную матрицу, Т^J, с участием Т^J_п,q = 0. Матрица вращения р^J_п,q определяется как произведение двух сложных унитарный вращение матрицы.

${ Displaystyle { begin {align} R_ {pq} ^ {J} & Equiv R_ {pq} ( theta _ {2}) , R_ {pq} ( theta _ {1}), { text {with}} [8pt] theta _ {1} & Equiv { frac {2 phi _ {1} - pi} {4}} { text {и}} theta _ {2} Equiv { frac { phi _ {2}} {2}}, end {align}}}$

где фазовые члены, ${ displaystyle phi _ {1}}$ и ${ displaystyle phi _ {2}}$ даны:

${ displaystyle { begin {align} tan phi _ {1} & = { frac { mathrm {Im} {H_ {p, q} }} { mathrm {Re} {H_ {p , q} }}}, [8pt] tan phi _ {2} & = { frac {2 | H_ {p, q} |} {H_ {p, p} -H_ {q, q }}}. end {выравнивается}}}$

Наконец, важно отметить, что произведение двух комплексных матриц вращения для заданных углов θ₁ и θ₂ не может быть преобразован в единую комплексную унитарную матрицу вращения р_pq(θ). Произведение двух комплексных матриц вращения определяется выражением:

${ Displaystyle { begin {align} left [R_ {pq} ( theta _ {2}) , R_ {pq} ( theta _ {1}) right] _ {m, n} = { begin {case} delta _ {m, n} & m, n neq p, q, [8pt] -ie ^ {- i theta _ {1}} , sin { theta _ {2}} & m = p { text {and}} n = p, [8pt] -e ^ {+ i theta _ {1}} , cos { theta _ {2}} & m = p { text {and}} n = q, [8pt] e ^ {- i theta _ {1}} , cos { theta _ {2}} & m = q { text {and}} n = p, [8pt] + ie ^ {+ i theta _ {1}} , sin { theta _ {2}} & m = q { text {and}} n = q. end {case}} end {align}}}$

использованная литература

• Стрэнг, Г. (1993), Введение в линейную алгебру, Массачусетс: Wellesley Cambridge Press.