Теорема Кенигса (комплексный анализ) - Википедия - Königs theorem (complex analysis)

В комплексный анализ и числовой анализ, Теорема Кенига,^[1] назван в честь венгерского математика Дьюла Кёниг, дает возможность оценить простые полюсы или простые корни функции. В частности, он имеет множество приложений в алгоритмы поиска корня подобно Метод Ньютона и его обобщение Метод Хаусхолдера.

Заявление

Учитывая мероморфная функция определено на ${ Displaystyle | х |$:

${ displaystyle f (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} c_ {n} x ^ {n}, qquad c_ {0} neq 0.}$

который имеет только один простой полюс ${ displaystyle x = r}$ на этом диске. потом

${ displaystyle { frac {c_ {n}} {c_ {n + 1}}} = r + o ( sigma ^ {n + 1}),}$

куда ${ Displaystyle 0 < sigma <1}$ такой, что ${ Displaystyle | г | < сигма R}$. В частности, у нас есть

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} { frac {c_ {n}} {c_ {n + 1}}} = r.}$

Интуиция

Напомним, что

${ displaystyle { frac {C} {xr}} = - { frac {C} {r}} , { frac {1} {1-x / r}} = - { frac {C} { r}} sum _ {n = 0} ^ { infty} left [{ frac {x} {r}} right] ^ {n},}$

который имеет коэффициент, равный ${ displaystyle { frac {1 / r ^ {n}} {1 / r ^ {n + 1}}} = r.}$

Вокруг его простого полюса функция ${ displaystyle f (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} c_ {n} x ^ {n}}$ будет меняться аналогично геометрическому ряду, и это также будет проявляться в коэффициентах ${ displaystyle f}$.

Другими словами, рядом х = г мы ожидаем, что функция будет определяться полюсом, т.е.

${ displaystyle f (x) приблизительно { frac {C} {x-r}},}$

так что ${ displaystyle { frac {c_ {n}} {c_ {n + 1}}} приблизительно r}$.

Рекомендации