Теорема Кельвина о минимальной энергии - Википедия - Kelvins minimum energy theorem

В механика жидкости, Теорема Кельвина о минимальной энергии (названный в честь Уильям Томсон, первый барон Кельвин кто опубликовал его в 1849 г.^[1]) утверждает, что устойчивое безвихревое движение несжимаемая жидкость занимая односвязный регион имеет меньшую кинетическую энергию, чем любое другое движение с той же нормальной составляющей скорости на границе (и, если область простирается до бесконечности, с нулевыми значениями там).^[2][3][4][5]

Математическое доказательство

Позволять ${ displaystyle mathbf {u}}$ - поле скоростей несжимаемой безвихревой жидкости и ${ Displaystyle mathbf {и_ {1}}}$ быть движением любой другой несжимаемой жидкости с такой же нормальной составляющей скорости ${ Displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {n} = mathbf {u_ {1}} cdot mathbf {n}}$ на границе области, где ${ Displaystyle mathbf {п}}$ - единичный вектор ограничивающей поверхности (и, если область простирается до бесконечности, ${ Displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {n} = mathbf {u_ {1}} cdot mathbf {n} = 0}$ там). Тогда разница между кинетической энергией определяется выражением

${ Displaystyle T_ {1} -T = { frac {1} {2}} rho int ( mathbf {u} _ {1} ^ {2} - mathbf {u} ^ {2}) dV}$

можно переставить, чтобы дать

${ Displaystyle T_ {1} -T = { frac {1} {2}} rho int ( mathbf {u} _ {1} - mathbf {u}) ^ {2} dV + rho int ( mathbf {u} _ {1} - mathbf {u}) cdot mathbf {u} dV.}$

С ${ displaystyle mathbf {u}}$ является безвихревым, а область односвязной, однозначной потенциал скорости существует, т.е. ${ Displaystyle mathbf {и} = набла фи}$. Используя это, второй интеграл в приведенном выше уравнении можно записать как

${ displaystyle int ( mathbf {u} _ {1} - mathbf {u}) cdot nabla phi dV = int nabla cdot [( mathbf {u} _ {1} - mathbf {u}) phi] dV- int phi nabla cdot ( mathbf {u} _ {1} - mathbf {u}) dV.}$

Второй интеграл тождественно равен нулю для установившейся несжимаемой жидкости, т. Е. ${ displaystyle nabla cdot mathbf {u} = nabla cdot mathbf {u} _ {1} = 0}$. Применяя Теорема Гаусса для первого интеграла находим

${ displaystyle int ( mathbf {u} _ {1} - mathbf {u}) cdot nabla phi dV = int phi ( mathbf {u} _ {1} - mathbf {u }) cdot mathbf {n} dA}$

где поверхностный интеграл равен нулю, поскольку нормальные составляющие скоростей там равны. Таким образом, можно сделать вывод

${ displaystyle T_ {1} -T = { frac {1} {2}} rho int ( mathbf {u} _ {1} - mathbf {u}) ^ {2} dV geq 0 }$

или другими словами, ${ Displaystyle T_ {1} geq T}$, где равенство выполняется, только если ${ displaystyle mathbf {u} _ {1} = mathbf {u}}$, тем самым доказывая теорему.

Рекомендации