Субаддитивная эргодическая теорема Кингмана - Википедия - Kingmans subadditive ergodic theorem

В математике Субаддитивная эргодическая теорема Кингмана один из нескольких эргодические теоремы. Это можно рассматривать как обобщение Эргодическая теорема Биркгофа.^[1]Интуитивно субаддитивная эргодическая теорема представляет собой разновидность случайной переменной версии Лемма Фекете (отсюда и название эргодический).^[2] В результате его можно перефразировать на языке вероятностей, например используя последовательность случайных величин и ожидаемые значения. Теорема названа в честь Джон Кингман.

Формулировка теоремы

Позволять ${ displaystyle T}$ быть сохраняющее меру преобразование на вероятностное пространство ${ Displaystyle ( Omega, Sigma, mu)}$, и разреши ${ displaystyle {g_ {n} } _ {n in mathbb {N}}}$ быть последовательностью ${ Displaystyle L ^ {1}}$ функции такие, что ${ Displaystyle g_ {n + m} (x) leq g_ {n} (x) + g_ {m} (T ^ {n} x)}$ (отношение субаддитивности). потом

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {g_ {n} (x)} {n}} =: g (x) geq - infty}$

за ${ displaystyle mu}$-a.e. Икс, куда грамм(Икс) является Т-инвариантный. Если Т является эргодический, тогда грамм(Икс) - постоянная.

Приложения

Если мы возьмем ${ displaystyle g_ {n} (x): = sum _ {j = 0} ^ {n-1} f (T ^ {j} x)}$, то имеем аддитивность и получаем поточечно эргодическую теорему Биркгофа.

Субаддитивная эргодическая теорема Кингмана может использоваться для доказательства утверждений о Показатели Ляпунова. Он также имеет приложения для просачивание и вероятность /случайные переменные.^[3]

Рекомендации

внешняя ссылка

• Доказательство теоремы (Стил)