Неравенство Корнса - Википедия - Korns inequality

В математический анализ, Неравенство Корна является неравенством относительно градиент из векторное поле которая обобщает следующую классическую теорему: если градиент векторного поля равен кососимметричный в каждой точке градиент должен быть равен постоянной кососимметричной матрице. Теорема Корна является количественной версией этого утверждения, которое интуитивно гласит, что если градиент векторного поля в среднем находится недалеко от пространства кососимметричных матриц, то градиент не должен быть далеко от частности кососимметричная матрица. Утверждение, что неравенство Корна обобщает, таким образом, возникает как частный случай жесткость.

В (линейный) теория упругости, симметричная часть градиента является мерой напряжение что упругое тело испытывает, когда оно деформируется заданной векторной функцией. Таким образом, неравенство является важным инструментом как априорная оценка в линейной теории упругости.

Формулировка неравенства

Позволять Ω быть открыто, связаны домен в п-размерный Евклидово пространство рп, п ≥ 2. Позволять ЧАС1(Ом) быть Соболевское пространство из всех векторные поля v = (v1, ..., vп) на Ω которые вместе со своими (первыми) слабыми производными лежат в Пространство Лебега L2(Ом). Обозначая частная производная с уважением к яth компонент по я, то норма в ЧАС1(Ом) дан кем-то

Тогда есть постоянная C ≥ 0, известный как Константа Корна из Ω, так что для всех v ∈ ЧАС1(Ом),

 

 

 

 

(1)

куда е обозначает симметризованный градиент, задаваемый

Неравенство (1) известен как Неравенство Корна.

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка