Неравенство Корнса - Википедия - Korns inequality

В математический анализ, Неравенство Корна является неравенством относительно градиент из векторное поле которая обобщает следующую классическую теорему: если градиент векторного поля равен кососимметричный в каждой точке градиент должен быть равен постоянной кососимметричной матрице. Теорема Корна является количественной версией этого утверждения, которое интуитивно гласит, что если градиент векторного поля в среднем находится недалеко от пространства кососимметричных матриц, то градиент не должен быть далеко от частности кососимметричная матрица. Утверждение, что неравенство Корна обобщает, таким образом, возникает как частный случай жесткость.

В (линейный) теория упругости, симметричная часть градиента является мерой напряжение что упругое тело испытывает, когда оно деформируется заданной векторной функцией. Таким образом, неравенство является важным инструментом как априорная оценка в линейной теории упругости.

Формулировка неравенства

Позволять Ω быть открыто, связаны домен в п-размерный Евклидово пространство р^п, п ≥ 2. Позволять ЧАС¹(Ом) быть Соболевское пространство из всех векторные поля v = (v¹, ..., v^п) на Ω которые вместе со своими (первыми) слабыми производными лежат в Пространство Лебега L²(Ом). Обозначая частная производная с уважением к я^th компонент по ∂_я, то норма в ЧАС¹(Ом) дан кем-то

${ Displaystyle | v | _ {H ^ {1} ( Omega)}: = left ( int _ { Omega} sum _ {i = 1} ^ {n} | v ^ {i} (x) | ^ {2} , mathrm {d} x + int _ { Omega} sum _ {i, j = 1} ^ {n} | partial _ {j} v ^ {i} ( x) | ^ {2} , mathrm {d} x right) ^ {1/2}.}$

Тогда есть постоянная C ≥ 0, известный как Константа Корна из Ω, так что для всех v ∈ ЧАС¹(Ом),

${ displaystyle | v | _ {H ^ {1} ( Omega)} ^ {2} leq C int _ { Omega} sum _ {i, j = 1} ^ {n} left (| v ^ {i} (x) | ^ {2} + | (e_ {ij} v) (x) | ^ {2} right) , mathrm {d} x}$

(1)

куда е обозначает симметризованный градиент, задаваемый

${ displaystyle e_ {ij} v = { frac {1} {2}} ( partial _ {i} v ^ {j} + partial _ {j} v ^ {i}).}$

Неравенство (1) известен как Неравенство Корна.

Смотрите также

• Линейная эластичность
• Неравенство Харди
• Неравенство Пуанкаре

Рекомендации

• Чоранеску, Дойна; Олейник Ольга Арсеньевна; Тронель, Жерар (1989), «О неравенствах Корна для каркасных конструкций и узлов», Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences, Série I: Mathématiques, 309 (9): 591–596, МИСТЕР  1053284, Zbl  0937.35502.
• Хорган, Корнелиус О. (1995), "Неравенства Корна и их приложения в механике сплошных сред", SIAM Обзор, 37 (4): 491–511, Дои:10.1137/1037123, ISSN  0036-1445, МИСТЕР  1368384, Zbl  0840.73010.
• Олейник Ольга Арсеньевна; Кондратьев, Владимир Александрович (1989), «О неравенствах Корна», Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences, Série I: Mathématiques, 308 (16): 483–487, МИСТЕР  0995908, Zbl  0698.35067.
• Олейник Ольга Александровна (1992), "Неравенства типа Корна и приложения к эластичности", в Амальди, Э.; Америо, Л.; Фичера, Г.; Грегори, Т .; Гриоли, Г.; Мартинелли, Э.; Montalenti, G .; Пиньдоли, А.; Сальвини, Джорджио; Скорца Драгони, Джузеппе (ред.), Convegno internazionale in memoria di Vito Volterra (8–11 октября 1990 г.), Atti dei Convegni Lincei (на итальянском языке), 92, Рома: Accademia Nazionale dei Lincei, стр. 183–209, ISSN  0391-805X, МИСТЕР  1783034, Zbl  0972.35013, заархивировано из оригинал на 2017-01-07, получено 2014-07-27.

внешняя ссылка

• Войцеховский М.И. (2001) [1994], «Неравенство Корна», Энциклопедия математики, EMS Press