Теорема Кренерса - Википедия - Kreners theorem

В математике Теорема Кренера результат приписывается Артур Дж. Кренер в геометрической теория управления о топологических свойствах достижимые наборы конечномерных систем управления. Он утверждает, что любой достижимый набор скобочный система имеет непустую внутренность или, что то же самое, любое достижимое множество имеет непустую внутренность в топологии соответствующего орбита. Эвристически теорема Кренера запрещает множествам достижимости быть волосатый.

Теорема

Позволять быть плавной системой управления, где принадлежит конечномерному многообразию и принадлежит к контрольной группе . Рассмотрим семейство векторных полей .

Позволять быть Алгебра Ли создано с уважением к Скобка Ли векторных полей. Данный , если векторное пространство равно ,тогда принадлежит закрытию внутренней части достижимого множества от .

Замечания и последствия

Даже если отличается от , достижимый набор из имеет непустую внутренность в топологии орбиты, как это следует из теоремы Кренера, примененной к системе управления, ограниченной на орбиту через .

Когда все векторные поля в аналитичны, если и только если принадлежит закрытию внутренней части достижимого множества от . Это следствие теоремы Кренера и теорема об орбите.

В качестве следствия теоремы Кренера можно доказать, что если система порождающая скобки и если множество достижимости из плотно в , то достижимый набор из фактически равно .

Рекомендации

  • Аграчев, Андрей А .; Сачков, Юрий Л. (2004). Теория управления с геометрической точки зрения. Springer-Verlag. С. xiv + 412. ISBN  3-540-21019-9.
  • Юрджевич, Велимир (1997). Геометрическая теория управления. Издательство Кембриджского университета. С. xviii + 492. ISBN  0-521-49502-4.[постоянная мертвая ссылка ]
  • Sussmann, Héctor J .; Юрджевич, Велимир (1972). «Управляемость нелинейных систем». J. Дифференциальные уравнения. 12 (1): 95–116. Дои:10.1016/0022-0396(72)90007-1.
  • Кренер, Артур Дж. (1974). «Обобщение теоремы Чоу и теоремы взрыва к нелинейным задачам управления». SIAM J. Control Optim. 12: 43–52. Дои:10.1137/0312005.