Теорема Кренерса - Википедия - Kreners theorem

В математике Теорема Кренера результат приписывается Артур Дж. Кренер в геометрической теория управления о топологических свойствах достижимые наборы конечномерных систем управления. Он утверждает, что любой достижимый набор скобочный система имеет непустую внутренность или, что то же самое, любое достижимое множество имеет непустую внутренность в топологии соответствующего орбита. Эвристически теорема Кренера запрещает множествам достижимости быть волосатый.

Теорема

Позволять ${ Displaystyle {} { точка {q}} = е (д, и)}$ быть плавной системой управления, где ${ displaystyle { q}}$ принадлежит конечномерному многообразию ${ Displaystyle M}$ и ${ displaystyle u}$ принадлежит к контрольной группе ${ displaystyle U}$. Рассмотрим семейство векторных полей ${ Displaystyle { mathcal {F}} = {е ( cdot, u) mid u in U }}$.

Позволять ${ Displaystyle mathrm {Ли} , { mathcal {F}}}$ быть Алгебра Ли создано ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ с уважением к Скобка Ли векторных полей. Данный ${ displaystyle q in M}$, если векторное пространство ${ Displaystyle mathrm {Lie} _ {q} , { mathcal {F}} = {g (q) mid g in mathrm {Lie} , { mathcal {F}} } }$ равно ${ displaystyle T_ {q} M}$,тогда ${ displaystyle q}$ принадлежит закрытию внутренней части достижимого множества от ${ displaystyle q}$.

Замечания и последствия

Даже если ${ displaystyle mathrm {Lie} _ {q} , { mathcal {F}}}$ отличается от ${ displaystyle T_ {q} M}$, достижимый набор из ${ displaystyle q}$ имеет непустую внутренность в топологии орбиты, как это следует из теоремы Кренера, примененной к системе управления, ограниченной на орбиту через ${ displaystyle q}$.

Когда все векторные поля в ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ аналитичны, ${ displaystyle mathrm {Lie} _ {q} , { mathcal {F}} = T_ {q} M}$ если и только если ${ displaystyle q}$ принадлежит закрытию внутренней части достижимого множества от ${ displaystyle q}$. Это следствие теоремы Кренера и теорема об орбите.

В качестве следствия теоремы Кренера можно доказать, что если система порождающая скобки и если множество достижимости из ${ displaystyle q in M}$ плотно в ${ Displaystyle M}$, то достижимый набор из ${ displaystyle q}$фактически равно ${ Displaystyle M}$.

Рекомендации

• Аграчев, Андрей А .; Сачков, Юрий Л. (2004). Теория управления с геометрической точки зрения. Springer-Verlag. С. xiv + 412. ISBN  3-540-21019-9.
• Юрджевич, Велимир (1997). Геометрическая теория управления. Издательство Кембриджского университета. С. xviii + 492. ISBN  0-521-49502-4.^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Sussmann, Héctor J .; Юрджевич, Велимир (1972). «Управляемость нелинейных систем». J. Дифференциальные уравнения. 12 (1): 95–116. Дои:10.1016/0022-0396(72)90007-1.
• Кренер, Артур Дж. (1974). «Обобщение теоремы Чоу и теоремы взрыва к нелинейным задачам управления». SIAM J. Control Optim. 12: 43–52. Дои:10.1137/0312005.