Уравнение Кушнера - Kushner equation

В теория фильтрации в Уравнение Кушнера (после Гарольд Кушнер ) является уравнением для условная возможность плотность государства стохастический нелинейный динамическая система, учитывая зашумленные измерения состояния.^[1] Таким образом, он обеспечивает решение нелинейная фильтрация проблема в теория оценки. Уравнение иногда называют Стратонович – Кушнер^[2][3][4][5] (или Кушнера – Стратоновича) уравнение. Однако правильное уравнение с точки зрения It исчисление был впервые получен Кушнером, хотя более эвристическая версия Стратоновича появилась уже в Стратонович Работает в конце пятидесятых. Однако вывод в терминах исчисления Ито принадлежит Ричарду Бьюси.^{[6][требуется разъяснение ]}

Обзор

Предположим, что состояние системы изменяется согласно

${ Displaystyle dx = е (х, t) , dt + sigma dw}$

и доступно измерение состояния системы с шумом:

${ Displaystyle dz = час (х, t) , dt + eta dv}$

куда ш, v независимы Винеровские процессы. Тогда условная плотность вероятности п(Икс, т) государства во время т дается уравнением Кушнера:

${ Displaystyle dp (x, t) = L [p (x, t)] dt + p (x, t) [час (x, t) -E_ {t} h (x, t)] ^ { top } eta ^ {- top} eta ^ {- 1} [dz-E_ {t} h (x, t) dt].}$

куда ${ displaystyle Lp = - sum { frac { partial (f_ {i} p)} { partial x_ {i}}} + { frac {1} {2}} sum ( sigma sigma ^ { top}) _ {i, j} { frac { partial ^ {2} p} { partial x_ {i} partial x_ {j}}}}$ - колмогоровский прямой оператор и ${ displaystyle dp (x, t) = p (x, t + dt) -p (x, t)}$ - вариация условной вероятности.

Период, термин ${ displaystyle dz-E_ {t} h (x, t) dt}$ это инновации то есть разница между измеренным значением и его ожидаемым значением.

Фильтр Калмана – Бьюси

Можно просто использовать уравнение Кушнера, чтобы получить Фильтр Калмана – Бьюси для линейного диффузионного процесса. Предположим, у нас есть ${ displaystyle f (x, t) = ax}$ и ${ Displaystyle ч (х, т) = сх}$. Уравнение Кушнера будет иметь вид

${ displaystyle dp (x, t) = L [p (x, t)] dt + p (x, t) [cx-c mu (t)] ^ { top} eta ^ {- top} eta ^ {- 1} [dz-c mu (t) dt],}$

куда ${ Displaystyle му (т)}$ это среднее значение условной вероятности во время ${ displaystyle t}$. Умножение на ${ displaystyle x}$ и интегрируя по нему, получаем вариацию среднего

${ displaystyle d mu (t) = a mu (t) dt + Sigma (t) c ^ { top} eta ^ {- top} eta ^ {- 1} left (dz-c mu (t) dt right).}$

Аналогичным образом, изменение дисперсии ${ Displaystyle Sigma (т)}$ дан кем-то

${ Displaystyle { гидроразрыва {d Sigma (t)} {dt}} = a Sigma (t) + Sigma (t) a ^ { top} + sigma ^ { top} sigma - Sigma (t) c ^ { top} eta ^ {- top} eta ^ {- 1} c Sigma (t).}$

Тогда условная вероятность в каждый момент времени задается нормальным распределением ${ Displaystyle { mathcal {N}} ( mu (t), Sigma (t))}$.

Смотрите также

• Уравнение Закая

Рекомендации