Уравнение Закая - Zakai equation

В теория фильтрации то Уравнение Закая линейный стохастическое уравнение в частных производных для ненормированной плотности скрытого состояния. Напротив, Уравнение Кушнера дает нелинейное стохастическое уравнение в частных производных для нормированной плотности скрытого состояния. В принципе, любой из подходов позволяет оценить количественную функцию (состояние динамическая система ) от зашумленных измерений, даже когда система является нелинейной (таким образом обобщая более ранние результаты Винера и Калмана для линейных систем и решая центральную проблему в теория оценки ). Применение этого подхода к конкретному инженерное дело Однако ситуация может быть проблематичной, поскольку эти уравнения довольно сложны. Уравнение Закая является билинейным стохастическое уравнение в частных производных. Он был назван в честь Моше Закай.

Обзор

Предположим, что состояние системы изменяется согласно

${displaystyle dx = f (x, t) dt + dw}$

и доступно измерение состояния системы с шумом:

${displaystyle dz = h (x, t) dt + dv}$

куда ${displaystyle w, v}$ независимы Винеровские процессы. Тогда ненормированная условная плотность вероятности ${displaystyle p (x, t)}$ состояния в момент времени t определяется уравнением Закая:

${displaystyle dp = L (p) dt + ph ^ {T} dz}$

где оператор ${displaystyle L = -sum {frac {partial (f_ {i} p)} {partial x_ {i}}} + {frac {1} {2}} sum {frac {partial ^ {2} p} {partial x_ {i} частичный x_ {j}}}}$

Как упоминалось ранее, ${displaystyle p}$ является ненормализованной плотностью и поэтому не обязательно интегрируется в 1. После решения для ${displaystyle p}$, при желании могут быть выполнены интеграция и нормализация (дополнительный шаг не требуется в подходе Кушнера).

Обратите внимание, что если последние два члена в правой части опущены (выбрав h равным нулю), результатом будет нестохастический УЧП: знакомый Колмогоровское прямое уравнение, который описывает эволюцию состояния при отсутствии информации об измерениях.

Смотрите также

• Уравнение Кушнера
• Фильтр Калмана
• Винеровский фильтр

Рекомендации

• Закай, М. (1969). «Об оптимальной фильтрации диффузионных процессов». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. 11 (3): 230. Дои:10.1007 / BF00536382. МИСТЕР  0242552. Zbl  0164.19201.
• Шритаран, С. С. (1994). «Нелинейная фильтрация стохастических уравнений Навье – Стокса». In Funaki, T .; Войчинский, В. А. (ред.). Нелинейные стохастические уравнения в частных производных: турбулентность Бюргерса и гидродинамический предел (PDF). Springer-Verlag. С. 247–260. ISBN  0-387-94624-1.
• Hobbs, S.L .; Шритаран, С. С. (1996). «Нелинейная теория фильтрации для стохастических уравнений реакции – диффузии». У Грецкого, Н .; Goldstein, J .; Уль, Дж. Дж. (Ред.). Вероятность и современный анализ (PDF). Марсель Деккер. С. 219–234.