Проблема фильтрации (случайные процессы) - Filtering problem (stochastic processes)

В теории случайные процессы, то проблема фильтрации представляет собой математическую модель для ряда задач оценки состояния в обработка сигнала и связанные области. Общая идея состоит в том, чтобы установить «наилучшую оценку» истинной ценности некоторой системы на основе неполного, потенциально зашумленного набора наблюдений за этой системой. Задача оптимальной нелинейной фильтрации (даже для нестационарного случая) решалась Руслан Львович Стратонович (1959,[1] 1960[2]), смотрите также Гарольд Дж. Кушнер работа [3] и Моше Закай s, который ввел упрощенную динамику для ненормализованного условного закона фильтра[4] известный как Уравнение Закая. Однако в общем случае решение бесконечномерно.[5] Некоторые приближения и частные случаи хорошо изучены: например, линейные фильтры оптимальны для гауссовских случайных величин и известны как Винеровский фильтр и Фильтр Калмана-Бьюси. В более общем плане, поскольку решение является бесконечномерным, оно требует реализации конечномерных приближений на компьютере с конечной памятью. Конечномерная приближенная нелинейный фильтр может быть больше основано на эвристиках, таких как Расширенный фильтр Калмана или фильтры предполагаемой плотности,[6] или более методологически ориентированные, такие как, например, проекционные фильтры,[7] показано, что некоторые подсемейства совпадают с фильтрами предполагаемой плотности.[8]

В общем, если принцип разделения применяется, то фильтрация также возникает как часть решения оптимальный контроль проблема. Например, Фильтр Калмана является оценочной частью оптимального управляющего решения линейно-квадратично-гауссовское управление проблема.

Математический формализм

Рассмотрим вероятностное пространство (Ω, Σ,п) и предположим, что (случайное) состояние Yт в п-размерный Евклидово пространство рп интересующей системы во время т это случайная переменная Yт : Ω →рп заданный решением Itō стохастическое дифференциальное уравнение формы

где B обозначает стандартный п-размерный Броуновское движение, б : [0, +∞) × рп → рп - поле дрейфа, а σ : [0, +∞) × рп → рп×п - поле диффузии. Предполагается, что наблюдения ЧАСт в рм (Обратите внимание, что м и п могут, в общем, быть неравными) берутся за каждый раз т согласно с

Принятие интерпретации стохастического дифференциала Itō и установка

это дает следующее стохастическое интегральное представление для наблюдений Zт:

где W обозначает стандартный р-размерный Броуновское движение, независим от B и начальное условие Y0, и c : [0, +∞) × рп → рп и γ : [0, +∞) × рп → рп×р удовлетворить

для всех т и Икс и некоторые постоянные C.

В проблема фильтрации следующее: данные наблюдения Zs для 0 ≤s ≤ т, какова наилучшая оценка Ŷт истинного состояния Yт системы, основанной на этих наблюдениях?

Под "на основе этих наблюдений" подразумевается, что Ŷт является измеримый с уважением к σ-алгебра гт генерируется наблюдениями Zs, 0 ≤ s ≤ т. Обозначим через K = K(Zт) быть собранием всех рп-значные случайные величины Y которые интегрируемы с квадратом и гт-измеримые:

Под "наилучшей оценкой" подразумевается, что Ŷт минимизирует среднеквадратичное расстояние между Yт и все кандидаты в K:

Основной результат: ортогональная проекция

Космос K(Zт) кандидатов является Гильбертово пространство, а из общей теории гильбертовых пространств следует, что решение Ŷт задачи минимизации (M) задается формулой

где пK(Z,т) обозначает ортогональная проекция из L2(Ω, Σ,прп) на линейное подпространство K(Zт) = L2(Ω,гтпрп). Более того, это общий факт о условные ожидания что если F есть ли суб-σ-алгебра Σ, то ортогональная проекция

это в точности оператор условного ожидания E[·|F], т. е.

Следовательно,

Этот элементарный результат лежит в основе общего уравнения теории фильтрации Фудзисаки-Каллианпура-Куниты.

Смотрите также

использованная литература

  • Язвински, Эндрю Х. (1970). Случайные процессы и теория фильтрации. Нью-Йорк: Academic Press. ISBN  0-12-381550-9.
  • Эксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (Шестое изд.). Берлин: Springer. ISBN  3-540-04758-1. (См. Раздел 6.1)
  1. ^ Стратонович, Р. Л. (1959). Оптимальные нелинейные системы, обеспечивающие отделение сигнала с постоянными параметрами от шума. Радиофизика, 2: 6, с. 892-901.
  2. ^ Стратонович, Р.Л. (1960). Применение теории марковских процессов к оптимальной фильтрации. Радиотехника и электронная физика, 5:11, стр.1-19.
  3. ^ Кушнер, Гарольд. (1967). Нелинейная фильтрация: точные динамические уравнения, которым удовлетворяет условный режим. Автоматическое управление, транзакции IEEE в томе 12, выпуске 3, июнь 1967 г. Страниц: 262 - 267
  4. ^ Закай, Моше (1969), Об оптимальной фильтрации диффузионных процессов. Zeit. Wahrsch. 11 230–243. Г-Н242552, Zbl  0164.19201, Дои:10.1007 / BF00536382
  5. ^ Мирей Шалеят-Морель и Доминик Мишель. Результат несуществования фильтра конечной размерности. Стохастик, 13 (1 + 2): 83-102, 1984.
  6. ^ Можетек, Питер С., Стохастические модели, оценка и контроль, Том 141, Серия «Математика в науке и технике», 1979, Academic Press
  7. ^ Дамиано Бриго, Бернар Хансон и Франсуа Легланд, Дифференциально-геометрический подход к нелинейной фильтрации: проекционный фильтр, I.E.E.E. Сделки по автоматическому контролю Vol. 43, 2 (1998), стр 247-252.
  8. ^ Дамиано Бриго, Бернард Хансон и Франсуа Ле Гланд, Приближенная нелинейная фильтрация проекцией на экспоненциальные многообразия плотностей, Бернулли, т. 5, № 3 (1999), с. 495--534