Число Лагранжа - Lagrange number
В математика, то Числа Лагранжа представляют собой последовательность чисел, входящих в границы, относящиеся к приближению иррациональные числа к рациональное число. Они связаны с Теорема Гурвица.
Определение
Гурвиц улучшился Питер Густав Лежен Дирихле критерий иррациональности утверждения о том, что действительное число α иррационально тогда и только тогда, когда существует бесконечно много рациональных чисел п/q, записанные в наименьших терминах, так что
Это было улучшение результата Дирихле, в котором 1 /q2 с правой стороны. Приведенный выше результат является наилучшим, поскольку Золотое сечение φ иррационально, но если мы заменим √5 на любое большее число в приведенном выше выражении, то мы сможем найти только конечное число рациональных чисел, удовлетворяющих неравенству для α = φ.
Однако Гурвиц также показал, что если мы опускаем число φ и производные от него числа, то мы может увеличить число √5. Фактически он показал, что мы можем заменить его на 2√2. Опять же, эта новая граница лучше всего возможна в новой настройке, но на этот раз число √2 это проблема. Если мы не позволим √2 то мы можем увеличить число в правой части неравенства с 2√2 к √221/ 5. Повторяя этот процесс, мы получаем бесконечную последовательность чисел √5, 2√2, √221/ 5, ... которые сходятся к 3.[1] Эти числа называются Числа Лагранжа,[2] и названы в честь Жозеф Луи Лагранж.
Связь с числами Маркова
В пth число Лагранжа Lп дан кем-то
куда мп это пth Число Маркова,[3] это п-е наименьшее целое число м такое, что уравнение
имеет решение в натуральных числах Икс и у.
Рекомендации
- Касселс, J.W.S. (1957). Введение в диофантово приближение. Кембриджские трактаты по математике и математической физике. 45. Издательство Кембриджского университета. Zbl 0077.04801.
- Конвей, Дж.; Гай, Р.К. (1996). Книга чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97993-X.
внешняя ссылка
- Число Лагранжа. Из MathWorld в Wolfram Research.
- Введение в диофантовы методы иррациональности и трансцендентности - Онлайн-записи лекций Мишель Вальдшмидт, Числа Лагранжа на стр. 24–26.