Число Лагранжа - Lagrange number

В математика, то Числа Лагранжа представляют собой последовательность чисел, входящих в границы, относящиеся к приближению иррациональные числа к рациональное число. Они связаны с Теорема Гурвица.

Определение

Гурвиц улучшился Питер Густав Лежен Дирихле критерий иррациональности утверждения о том, что действительное число α иррационально тогда и только тогда, когда существует бесконечно много рациональных чисел п/q, записанные в наименьших терминах, так что

Это было улучшение результата Дирихле, в котором 1 /q2 с правой стороны. Приведенный выше результат является наилучшим, поскольку Золотое сечение φ иррационально, но если мы заменим 5 на любое большее число в приведенном выше выражении, то мы сможем найти только конечное число рациональных чисел, удовлетворяющих неравенству для α = φ.

Однако Гурвиц также показал, что если мы опускаем число φ и производные от него числа, то мы может увеличить число 5. Фактически он показал, что мы можем заменить его на 22. Опять же, эта новая граница лучше всего возможна в новой настройке, но на этот раз число 2 это проблема. Если мы не позволим 2 то мы можем увеличить число в правой части неравенства с 22 к 221/ 5. Повторяя этот процесс, мы получаем бесконечную последовательность чисел 5, 22, 221/ 5, ... которые сходятся к 3.[1] Эти числа называются Числа Лагранжа,[2] и названы в честь Жозеф Луи Лагранж.

Связь с числами Маркова

В пth число Лагранжа Lп дан кем-то

куда мп это пth Число Маркова,[3] это п-е наименьшее целое число м такое, что уравнение

имеет решение в натуральных числах Икс и у.

Рекомендации

  1. ^ Касселс (1957) стр.14
  2. ^ Конвей и Гай (1996), стр 187-189
  3. ^ Касселс (1957) стр.41
  • Касселс, J.W.S. (1957). Введение в диофантово приближение. Кембриджские трактаты по математике и математической физике. 45. Издательство Кембриджского университета. Zbl  0077.04801.
  • Конвей, Дж.; Гай, Р.К. (1996). Книга чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-97993-X.

внешняя ссылка