Формула Лагерра - Laguerre formula

В Формула Лагерра (названный в честь Эдмон Лагерр ) обеспечивает острый угол ${ displaystyle phi}$ между двумя настоящими линиями,^[1][2] следующее:

${ displaystyle phi = | { frac {i} {2}} operatorname {Log} operatorname {Cr} (I_ {1}, I_ {2}, P_ {1}, P_ {2}) |}$

куда:

• ${ displaystyle operatorname {Log}}$ главная ценность комплексный логарифм
• ${ displaystyle operatorname {Cr}}$ это перекрестное соотношение четырех коллинеарных точек
• ${ displaystyle P_ {1}}$ и ${ displaystyle P_ {2}}$ являются указывает на бесконечность линий
• ${ displaystyle I_ {1}}$ и ${ displaystyle I_ {2}}$ пересечения абсолютная коническая, имея уравнения ${ displaystyle x_ {0} = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 0}$, с соединением линии ${ displaystyle P_ {1}}$ и ${ displaystyle P_ {2}}$.

Выражение между вертикальными полосами - это действительное число.

Формула Лагерра может быть полезна в компьютерное зрение, поскольку абсолютная коника имеет изображение на плоскости сетчатки, которое инвариантно относительно перемещений камеры, а поперечное соотношение четырех коллинеарных точек одинаково для их изображений на плоскости сетчатки.

Вывод

Можно предположить, что линии проходят через начало координат. Любой изометрия оставляет абсолютный конический инвариант, это позволяет принять в качестве первой строки Икс ось и вторая линия, лежащая в плоскости z= 0. В однородные координаты из вышеперечисленных четырех пунктов

${ Displaystyle (0,1, я, 0), (0,1, -i, 0), (0,1,0,0), (0, соз фи, пм грех phi, 0),}$

соответственно. Их неоднородные координаты на бесконечной прямой плоскости z= 0 являются ${ displaystyle i}$, ${ displaystyle -i}$, 0, ${ Displaystyle PM грех фи / соз фи}$. (Обмен ${ displaystyle I_ {1}}$ и ${ displaystyle I_ {2}}$ изменяет поперечное отношение на обратное, поэтому формула для ${ displaystyle phi}$ дает тот же результат.) Теперь из формула кросс-отношения у нас есть${ displaystyle operatorname {Cr} (I_ {1}, I_ {2}, P_ {1}, P_ {2}) = - { frac {-i cos phi pm sin phi} {я cos phi pm sin phi}} = e ^ { pm 2i phi}.}$

Рекомендации

• О. Фогерас. Трехмерное компьютерное зрение. MIT Press, Кембридж, Лондон, 1999.