Гипотеза Лемерса - Википедия - Lehmers conjecture

Гипотеза Лемера, также известный как Проблема меры Малера Лемера, проблема в теория чисел был воспитан Деррик Генри Лемер.^[1] Гипотеза утверждает, что существует абсолютная постоянная ${ displaystyle mu> 1}$ так что каждый многочлен с целыми коэффициентами ${ Displaystyle Р (х) в mathbb {Z} [х]}$ удовлетворяет одному из следующих свойств:

В Мера Малера ${ Displaystyle { mathcal {M}} (P (x))}$ из ${ Displaystyle P (x)}$ Больше или равно ${ displaystyle mu}$ .
${ Displaystyle P (x)}$ является целым кратным произведению круговых многочленов или одночлена ${ displaystyle x}$ , в таком случае ${ Displaystyle { mathcal {M}} (P (x)) = 1}$ . (Эквивалентно, каждый комплексный корень из ${ Displaystyle P (x)}$ является корнем из единицы или нуля.)

Существует ряд определений меры Малера, одно из которых - фактор ${ Displaystyle P (x)}$ над ${ Displaystyle mathbb {C}}$ в качестве

{ displaystyle P (x) = a_ {0} (x- alpha _ {1}) (x- alpha _ {2}) cdots (x- alpha _ {D}),}

а затем установите

{ displaystyle { mathcal {M}} (P (x)) = | a_ {0} | prod _ {i = 1} ^ {D} max (1, | alpha _ {i} |). }

Наименьшая известная мера Малера (больше 1) предназначена для «полинома Лемера».

{ Displaystyle P (x) = x ^ {10} + x ^ {9} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} + х + 1 ,,}

для которого мера Малера является Номер Салема^[2]

{ Displaystyle { mathcal {M}} (P (x)) = 1,176280818 точки .}

Широко распространено мнение, что этот пример представляет истинную минимальную ценность: ${ displaystyle mu = 1.176280818 dots}$ в гипотезе Лемера.^[3]^[4]

Мотивация

Рассмотрим меру Малера для одной переменной и Формула Дженсена показывает, что если ${ Displaystyle P (x) = a_ {0} (x- alpha _ {1}) (x- alpha _ {2}) cdots (x- alpha _ {D})}$ тогда

{ displaystyle { mathcal {M}} (P (x)) = | a_ {0} | prod _ {i = 1} ^ {D} max (1, | alpha _ {i} |). }

В этом абзаце обозначим ${ Displaystyle м (P) = журнал ({ mathcal {M}} (P (x))}$ , который также называют Мера Малера.

Если ${ displaystyle P}$ имеет целые коэффициенты, это показывает, что ${ Displaystyle { mathcal {M}} (P)}$ является алгебраическое число так ${ displaystyle m (P)}$ логарифм целого алгебраического числа. Это также показывает, что ${ Displaystyle м (П) geq 0}$ и что если ${ displaystyle m (P) = 0}$ тогда ${ displaystyle P}$ продукт круговые полиномы т. е. монические многочлены, все корни которых являются корнями из единицы, или мономиальные многочлены от ${ displaystyle x}$ то есть власть ${ Displaystyle х ^ {п}}$ для некоторых ${ displaystyle n}$ .

Лемер заметил^[1]^[5] который ${ displaystyle m (P) = 0}$ является важным значением при изучении целочисленных последовательностей ${ displaystyle Delta _ {n} = { text {Res}} (P (x), x ^ {n} -1) = prod _ {i = 1} ^ {D} ( alpha _ {i } ^ {n} -1)}$ для моника ${ displaystyle P}$ . Если ${ displaystyle P}$ не исчезает на круге тогда ${ displaystyle lim | Delta _ {n} | ^ {1 / n} = { mathcal {M}} (P)}$ и это утверждение может быть правдой, даже если ${ displaystyle P}$ исчезает по кругу. Этим он был вынужден спросить

есть ли постоянная

{ displaystyle c> 0}

такой, что

{ displaystyle m (P)> c}

при условии

{ displaystyle P}

не циклотомический ?,

или же

данный

{ displaystyle c> 0}

, здесь

{ displaystyle P}

с целыми коэффициентами, для которых

{ displaystyle 0

?

Были даны следующие положительные ответы, но гипотеза Лемера еще не полностью доказана и все еще вызывает большой интерес.

Частичные результаты

Позволять ${ Displaystyle Р (х) в mathbb {Z} [х]}$ неприводимый монический многочлен степени ${ displaystyle D}$ .

Смит ^[6] доказал, что гипотеза Лемера верна для всех многочленов, не являющихся взаимный, т.е. все многочлены, удовлетворяющие ${ Displaystyle х ^ {D} P (х ^ {- 1}) neq P (x)}$ .

Бланксби и Монтгомери^[7] и Стюарт^[8] независимо доказал, что существует абсолютная постоянная ${ displaystyle C> 1}$ так что либо ${ Displaystyle { mathcal {M}} (P (x)) = 1}$ или же^[9]

{ displaystyle log { mathcal {M}} (P (x)) geq { frac {C} {D log D}}.}

Добровольский ^[10] улучшил это до

{ displaystyle log { mathcal {M}} (P (x)) geq C left ({ frac { log log D} { log D}} right) ^ {3}.}

Добровольский получил значение C ≥ 1/1200 и асимптотически C> 1-ε для всех достаточно больших D. Вутье в 1996 г. получил C ≥ 1/4 для D ≥ 2.^[11]

Эллиптические аналоги

Позволять ${ displaystyle E / K}$ быть эллиптическая кривая определяется над числовым полем ${ displaystyle K}$ , и разреши ${ displaystyle { hat {h}} _ {E}: E ({ bar {K}}) to mathbb {R}}$ быть каноническая высота функция. Каноническая высота является аналогом эллиптических кривых функции ${ Displaystyle ( deg P) ^ {- 1} log { mathcal {M}} (P (x))}$ . Он обладает тем свойством, что ${ displaystyle { hat {h}} _ {E} (Q) = 0}$ если и только если ${ displaystyle Q}$ это точка кручения в ${ displaystyle E ({ bar {K}})}$ . В эллиптическая гипотеза Лемера утверждает, что существует постоянная ${ displaystyle C (E / K)> 0}$ такой, что

{ displaystyle { hat {h}} _ {E} (Q) geq { frac {C (E / K)} {D}}}

для всех точек не кручения

{ displaystyle Q in E ({ bar {K}})}

,

куда ${ Displaystyle D = [К (Q): К]}$ . Если эллиптическая кривая E имеет комплексное умножение, то имеет место аналог результата Добровольского:

{ displaystyle { hat {h}} _ {E} (Q) geq { frac {C (E / K)} {D}} left ({ frac { log log D} { log D}} right) ^ {3},}

из-за Лорана.^[12] Для произвольных эллиптических кривых наиболее известным результатом является

{ displaystyle { hat {h}} _ {E} (Q) geq { frac {C (E / K)} {D ^ {3} ( log D) ^ {2}}},}

из-за Массер.^[13] Для эллиптических кривых с нецелыми j-инвариантный, это было улучшено до

{ displaystyle { hat {h}} _ {E} (Q) geq { frac {C (E / K)} {D ^ {2} ( log D) ^ {2}}},}

Хиндри и Сильверман.^[14]

Ограниченные результаты

Более сильные результаты известны для ограниченных классов многочленов или алгебраических чисел.

Если п(Икс) не взаимно, то

{ Displaystyle M (P) geq M (x ^ {3} -x-1) приблизительно 1,3247}

и это явно лучший вариант.^[15] Если в дальнейшем все коэффициенты п тогда странные^[16]

{ Displaystyle M (P) geq M (x ^ {2} -x-1) приблизительно 1,618.}

Для любого алгебраического числа α, позволять ${ Displaystyle М ( альфа)}$ - мера Малера минимального многочлена ${ displaystyle P _ { alpha}}$ из α. Если поле Q(α) это Расширение Галуа из Q, то гипотеза Лемера верна для ${ displaystyle P _ { alpha}}$ .^[16]

внешняя ссылка

http://www.cecm.sfu.ca/~mjm/Lehmer/ - хорошая справка о проблеме.
Вайсштейн, Эрик В. "Проблема измерения Малера Лемера". MathWorld.

[lmr-1] а ^б Лемер, Д. (1933). «Факторизация некоторых циклотомических функций». Анна. Математика. 2. 34 (3): 461–479. Дои:10.2307/1968172. HDL:10338.dmlcz / 128119. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968172. Zbl 0007.19904.

[2] Борвейн, Питер (2002). Вычислительные экскурсии по анализу и теории чисел. CMS Книги по математике. Springer-Verlag. п.16. ISBN 0-387-95444-9. Zbl 1020.12001.

[S234-3] Смит (2008) стр. 324

[EPSW30-4] Эверест, Грэм; ван дер Поортен, Альф; Шпарлинский, Игорь; Уорд, Томас (2003). Повторяющиеся последовательности. Математические обзоры и монографии. 104. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 30. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006.

[5] Дэвид Бойд (1981). «Спекуляции относительно диапазона меры Малера» Канад. Математика. Бык. Vol. 24 (4)

[6] Смит, К. Дж. (1971). «О произведении сопряженных вне единичной окружности целого алгебраического числа». Бюллетень Лондонского математического общества. 3 (2): 169–175. Дои:10.1112 / blms / 3.2.169. Zbl 1139.11002.

[7] Blanksby, P.E .; Монтгомери, Х.Л. (1971). «Целые алгебраические числа около единичного круга». Acta Arith. 18: 355–369. Дои:10.4064 / aa-18-1-355-369. Zbl 0221.12003.

[8] Стюарт, К. Л. (1978). «Целые алгебраические числа, сопряженные к которым лежат около единичной окружности». Бык. Soc. Математика. Франция. 106: 169–176. Дои:10.24033 / bsmf.1868.

[S235-9] Смит (2008) стр.325

[10] Добровольский Э. (1979). «К вопросу о Лемере и числе неприводимых множителей многочлена». Acta Arith. 34 (4): 391–401. Дои:10.4064 / aa-34-4-391-401.

[11] П. Вутье, Эффективная нижняя оценка высоты алгебраических чисел, Acta Arith. 74 (1996), 81–95.

[S327-12] Смит (2008) стр.327

[13] Массер, Д. (1989). «Счетные точки малой высоты на эллиптических кривых». Бык. Soc. Математика. Пт. 117 (2): 247–265. Дои:10.24033 / bsmf.2120. Zbl 0723.14026.

[14] Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (1990). «О гипотезе Лемера для эллиптических кривых». В Гольдштейн, Екатерина (ред.). Семин. Теор. Номбре, Париж / Пт. 1988-89. Прог. Математика. 91. С. 103–116. ISBN 0-8176-3493-2. Zbl 0741.14013.

[S328-15] Смит (2008) стр.328

[S329-16] а ^б Смит (2008) стр.329

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]