Проблема Лемерса - Википедия - Lehmers totient problem

Нерешенная проблема в математике: Может ли общая функция составного числа ${ displaystyle n}$ разделять ${ displaystyle n-1}$? (больше нерешенных задач по математике)

В математике Тотальная проблема Лемера спрашивает, есть ли составное число п такой, что Функция Эйлера φ (п) делит п - 1. Это нерешенная проблема.

Известно, что φ (п) = п - 1 тогда и только тогда, когда п простое. Так что для каждого простое число п, имеем φ (п) = п - 1 и, таким образом, в частности, φ (п) делит п − 1. Д. Х. Лемер предположил в 1932 г., что не существует составных чисел с таким свойством.^[1]

Характеристики

• Лемер показал, что если любое составное решение п существует, это должно быть странно, без квадратов, и делится не менее чем на семь различных простых чисел (т.е. ω (п) ≥ 7). Такой номер также должен быть Число Кармайкла.
• В 1980 году Коэн и Хагис доказали, что для любого решения п к проблеме, п > 10²⁰ и ω (п) ≥ 14.^[2]
• В 1988 году Хагис показал, что если 3 делит любое решение п тогда п > 10^1937042 и ω (п) ≥ 298848.^[3]
• Количество решений проблемы менее ${ displaystyle X}$ самое большее ${ displaystyle {X ^ {1/2} / ( log X) ^ {1/2 + о (1)}}}$.^[4]

Рекомендации

• Cohen, Graeme L .; Хагис, Питер, июн. (1980). "О количестве простых факторов п если φ (п) делит п−1". Nieuw Arch. Wiskd., III. Сер. 28: 177–185. ISSN  0028-9825. Zbl  0436.10002.
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag. B37. ISBN  0-387-20860-7. Zbl  1058.11001.
• Хагис, Питер, июн. (1988). "Об уравнении M⋅φ (п)=п−1". Nieuw Arch. Wiskd., IV. Сер. 6 (3): 255–261. ISSN  0028-9825. Zbl  0668.10006.
• Лемер, Д. Х. (1932). «О тотентной функции Эйлера». Бюллетень Американского математического общества. 38: 745–751. Дои:10.1090 / с0002-9904-1932-05521-5. ISSN  0002-9904. Zbl  0005.34302.
• Лука, Флориан; Померанс, Карл (2011). "О составных целых числах п для которого ${ Displaystyle varphi (п) середина п-1}$". Бол. Soc. Мат. Мексикана. 17 (3): 13–21. ISSN  1405-213X. МИСТЕР  2978700.
• Рибенбойм, Пауло (1996). Новая книга рекордов простых чисел (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-94457-5. Zbl  0856.11001.
• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С .; Crstici, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag. ISBN  1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300.
• Бурчи, Петер; Цирбуш, Шандор; Фаркаш, Габор (2011). «Вычислительное исследование тотентной проблемы Лемера» (PDF). Анна. Univ. Sci. Будапешт. Роландо Этвеш, Sect. Вычислить. 35: 43–49. ISSN  0138-9491. МИСТЕР  2894552. Zbl  1240.11005.