Алгоритм Лемера – Шура - Lehmer–Schur algorithm

В математика, то Алгоритм Лемера – Шура (названный в честь Деррик Генри Лемер и Иссай Шур ) это алгоритм поиска корней за комплексные полиномы, расширяя идею включения корней, как в одномерном метод деления пополам в комплексную плоскость. Он использует тест Шура-Кона для проверки дисков все меньшего размера на наличие или отсутствие корней.

Алгоритм Шура-Кона

Этот алгоритм позволяет найти распределение корней комплексного многочлена относительно единичный круг в комплексной плоскости.[1][2][3] Он основан на двух вспомогательных полиномах, введенных Шуром.[4]

Для комплексного полинома из степень это взаимно сопряженный многочлен определяется и это Schurtransform к

где черта обозначает комплексное сопряжение.

Так что если с , тогдаведущие нулевые условия, если есть, удален. В коэффициенты из поэтому могут быть прямо выражены в выражениях и, поскольку один или несколько ведущих коэффициентов сокращаются, имеет более низкую степень, чем . Корни , , и связаны следующим образом.

Лемма

Позволять - комплексный многочлен и .

  • Корни , включая их множественность, изображения под инверсия в единичном круге ненулевых корней .
  • Если , тогда , и имеют общие корни на единичном круге, включая их кратности.
  • Если , тогда и имеют одинаковое количество корней внутри единичного круга.
  • Если , тогда и имеют одинаковое количество корней внутри единичного круга.
Доказательство

За у нас есть и, в частности, за .Также подразумевает . Из этого и приведенных выше определений следуют первые два утверждения. Два других утверждения являются следствием Теорема Руше применяется на единичном круге к функциям и , куда является многочленом, корнями которого являются корни на единичной окружности с такими же кратностями. □

Для более доступного представления леммы пусть , и обозначим количество корней внутри, на и вне единичного круга соответственно и аналогично для .Кроме того, пусть быть разницей в степени и . Тогда из леммы следует, что если и если (обратите внимание на обмен и ).

Теперь рассмотрим последовательность многочленов , куда и . Применение вышеизложенного к каждой паре последовательных членов этой последовательности дает следующий результат.

Теорема [критерий Шура-Кона]

Позволять - комплексный многочлен с и разреши наименьшее число такое, что . Кроме того, пусть за и за .

  • Все корни лежат внутри единичного круга тогда и только тогда, когда

, за , и .

  • Все корни лежат вне единичного круга тогда и только тогда, когда

за и .

  • Если и если за (в порядке возрастания) и в противном случае тогда не имеет корней на единичном круге, и количество корней внутри единичного круга находится
.

В более общем смысле, распределение корней многочлена относительно произвольной окружности на комплексной плоскости, скажем, с центром и радиус , можно найти, применяя тест Шур-Кона к полиному со сдвигом и масштабированием определяется .

Однако не все коэффициенты масштабирования допустимы, поскольку тест Шура-Кона можно применить к полиному только если не выполняется ни одно из следующих равенств: для некоторых или же пока . Теперь коэффициенты многочленов являются многочленами от и указанные равенства приводят к полиномиальным уравнениям для , которые, следовательно, верны только для конечного числа значений . Таким образом, всегда можно найти подходящий коэффициент масштабирования, даже сколь угодно близкий к .

Метод Лемера

Метод Лемерса заключается в следующем.[5]Для данного комплексного полинома , с помощью теста Шура-Кона круговой диск может быть найден достаточно большим, чтобы содержать все корни . Затем этот диск может быть покрыт набором перекрывающихся меньших дисков, один из которых расположен концентрически, а остальные равномерно распределены по кольцевому пространству, которое еще предстоит покрыть. Из этого набора, снова используя тест, диски, не содержащие корня можно удалить. С каждым из оставшихся дисков эту процедуру покрытия и удаления можно повторять и так любое количество раз, в результате чего получается набор произвольно маленьких дисков, которые вместе содержат все корни .

Достоинства метода заключаются в том, что он состоит из повторения одной процедуры и в том, что все корни обнаруживаются одновременно, независимо от того, являются ли они действительными или сложными, одиночными, множественными или кластерными. Кроме того, дефляция, то есть удаление уже найденных корней, не требуется, и каждый тест начинается с исходного полинома полной точности. И, что примечательно, этот многочлен никогда не оценивался.

Однако чем меньше становятся диски, тем больше коэффициенты соответствующих «масштабированных» полиномов будут отличаться по относительной величине. Это может вызвать переполнение или недостаточное количество компьютерных вычислений, тем самым ограничивая радиусы дисков снизу и тем самым точность вычисленных корней.[2].[6]Чтобы избежать чрезмерного масштабирования или просто ради эффективности, можно начать с тестирования ряда концентрических дисков на количество включенных корней и, таким образом, уменьшить область, в которой встречаются корни, до ряда узких концентрических колец. Повторяя эту процедуру с другим центром и комбинируя результаты, указанная область становится объединением пересечений таких колец.[7]Наконец, когда обнаруживается небольшой диск, содержащий единственный корень, этот корень может быть дополнительно аппроксимирован другими методами, например Метод Ньютона.

Рекомендации

  1. ^ Кон, А (1922). "Uber die Anzahl der Wurzeln einer algebraischen Gleichung in einem Kreise". Математика. Z. 14: 110–148. Дои:10.1007 / BF01215894. HDL:10338.dmlcz / 102550.
  2. ^ а б Хенрици, Питер (1988). Прикладной и вычислительный комплексный анализ. Том I: Ряд степеней - интеграция - конформное отображение - расположение нулей (Repr. Of the orig., Publ. 1974 John Wiley & Sons Ltd., издание в мягкой обложке). Нью-Йорк и т.д .: Джон Вили. С. xv + 682. ISBN  0-471-60841-6.
  3. ^ Марден, Моррис (1949). Геометрия нулей многочлена комплексного переменного. Математические обзоры. № 3. Нью-Йорк: Американское математическое общество (AMS). п. 148.
  4. ^ Шур, I (1917). "Über Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschränkt sind". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 1917 (147): 205–232. Дои:10.1515 / crll.1917.147.205.
  5. ^ Лемер, Д. Х. (1961). «Машинный метод решения полиномиальных уравнений». J. Assoc. Comput. Мах. 8: 151–162. Дои:10.1145/321062.321064.
  6. ^ Стюарт, G.W.III (1969). «О методе Лемера для нахождения нулей многочлена». Математика. Вычислить. 23: 829–835. Дои:10.2307/2004970.
  7. ^ Левенталь, Дэн (1993). "Улучшение метода обнаружения корня Лемера-Шура". J. Comput. Phys. 109 (2): 164–168. Дои:10.1006 / jcph.1993.1209.