В математика , то Лерх дзета-функция , иногда называемый Дзета-функция Гурвица – Лерха , это специальная функция это обобщает Дзета-функция Гурвица и полилогарифм . Он назван в честь чешского математика. Матиас Лерх [1] .
Определение Дзета-функция Лерха определяется выражением
L ( λ , α , s ) = ∑ п = 0 ∞ е 2 π я λ п ( п + α ) s . { Displaystyle L ( лямбда, альфа, s) = сумма _ {п = 0} ^ { infty} { гидроразрыва {е ^ {2 пи я лямбда п}} {(п + альфа) ^ {s}}}.} Связанная функция, Лерх трансцендентный , дан кем-то
Φ ( z , s , α ) = ∑ п = 0 ∞ z п ( п + α ) s . { displaystyle Phi (z, s, alpha) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {(n + alpha) ^ {s}}}. } Эти два связаны, так как
Φ ( е 2 π я λ , s , α ) = L ( λ , α , s ) . { displaystyle , Phi (e ^ {2 pi i lambda}, s, alpha) = L ( lambda, alpha, s).} Интегральные представления Интегральное представление дается
Φ ( z , s , а ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ т s − 1 е − а т 1 − z е − т d т { displaystyle Phi (z, s, a) = { frac {1} { Gamma (s)}} int _ {0} ^ { infty} { frac {t ^ {s-1} e ^ {- at}} {1-ze ^ {- t}}} , dt} за
ℜ ( а ) > 0 ∧ ℜ ( s ) > 0 ∧ z < 1 ∨ ℜ ( а ) > 0 ∧ ℜ ( s ) > 1 ∧ z = 1. { Displaystyle Re (a)> 0 клин Re (s)> 0 клин z <1 vee Re (a)> 0 клин Re (s)> 1 клин z = 1.} А контурный интеграл представление дается
Φ ( z , s , а ) = − Γ ( 1 − s ) 2 π я ∫ 0 ( + ∞ ) ( − т ) s − 1 е − а т 1 − z е − т d т { Displaystyle Phi (z, s, a) = - { frac { Gamma (1-s)} {2 pi i}} int _ {0} ^ {(+ infty)} { frac {(-t) ^ {s-1} e ^ {- at}} {1-ze ^ {- t}}} , dt} за
ℜ ( а ) > 0 ∧ ℜ ( s ) < 0 ∧ z < 1 { Displaystyle Re (а)> 0 клин Re (s) <0 клин z <1} где контур не должен охватывать ни одну из точек т = бревно ( z ) + 2 k π я , k ∈ Z . { Displaystyle т = журнал (г) + 2к пи я, к в Z.}
Интегральное представление типа Эрмита дается формулой
Φ ( z , s , а ) = 1 2 а s + ∫ 0 ∞ z т ( а + т ) s d т + 2 а s − 1 ∫ 0 ∞ грех ( s арктан ( т ) − т а бревно ( z ) ) ( 1 + т 2 ) s / 2 ( е 2 π а т − 1 ) d т { displaystyle Phi (z, s, a) = { frac {1} {2a ^ {s}}} + int _ {0} ^ { infty} { frac {z ^ {t}} { (a + t) ^ {s}}} , dt + { frac {2} {a ^ {s-1}}} int _ {0} ^ { infty} { frac { sin (s arctan (t) -ta log (z))} {(1 + t ^ {2}) ^ {s / 2} (e ^ {2 pi at} -1)}} , dt} за
ℜ ( а ) > 0 ∧ | z | < 1 { Displaystyle Re (а)> 0 клин | г | <1} и
Φ ( z , s , а ) = 1 2 а s + бревно s − 1 ( 1 / z ) z а Γ ( 1 − s , а бревно ( 1 / z ) ) + 2 а s − 1 ∫ 0 ∞ грех ( s арктан ( т ) − т а бревно ( z ) ) ( 1 + т 2 ) s / 2 ( е 2 π а т − 1 ) d т { Displaystyle Phi (z, s, a) = { frac {1} {2a ^ {s}}} + { frac { log ^ {s-1} (1 / z)} {z ^ { a}}} Gamma (1-s, a log (1 / z)) + { frac {2} {a ^ {s-1}}} int _ {0} ^ { infty} { гидроразрыв { sin (s arctan (t) -ta log (z))} {(1 + t ^ {2}) ^ {s / 2} (e ^ {2 pi at} -1)}} , dt} за
ℜ ( а ) > 0. { Displaystyle Re (а)> 0.} Подобные представления включают
Φ ( z , s , а ) = 1 2 а s + ∫ 0 ∞ потому что ( т бревно z ) грех ( s арктан т а ) − грех ( т бревно z ) потому что ( s арктан т а ) ( а 2 + т 2 ) s 2 танх π т d т , { displaystyle Phi (z, s, a) = { frac {1} {2a ^ {s}}} + int _ {0} ^ { infty} { frac { cos (t log z ) sin { Big (} s arctan { tfrac {t} {a}} { Big)} - sin (t log z) cos { Big (} s arctan { tfrac {t } {a}} { Big)}} {{ big (} a ^ {2} + t ^ {2} { big)} ^ { frac {s} {2}} tanh pi t} } , dt,} и
Φ ( − z , s , а ) = 1 2 а s + ∫ 0 ∞ потому что ( т бревно z ) грех ( s арктан т а ) − грех ( т бревно z ) потому что ( s арктан т а ) ( а 2 + т 2 ) s 2 грех π т d т , { displaystyle Phi (-z, s, a) = { frac {1} {2a ^ {s}}} + int _ {0} ^ { infty} { frac { cos (t log z) sin { Big (} s arctan { tfrac {t} {a}} { Big)} - sin (t log z) cos { Big (} s arctan { tfrac { t} {a}} { Big)}} {{ big (} a ^ {2} + t ^ {2} { big)} ^ { frac {s} {2}} sinh pi t }} , dt,} держится за положительный z (и вообще везде, где сходятся интегралы). Более того,
Φ ( е я φ , s , а ) = L ( φ 2 π , а , s ) = 1 а s + 1 2 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ т s − 1 е − а т ( е я φ − е − т ) шиш т − потому что φ d т , { displaystyle Phi (е ^ {я varphi}, s, a) = L { big (} { tfrac { varphi} {2 pi}}, a, s { big)} = { гидроразрыв {1} {a ^ {s}}} + { frac {1} {2 Gamma (s)}} int _ {0} ^ { infty} { frac {t ^ {s-1} e ^ {- at} { big (} e ^ {i varphi} -e ^ {- t} { big)}} { ch {t} - cos { varphi}}} , dt, } Последняя формула также известна как Формула Липшица .
Особые случаи В Дзета-функция Гурвица является частным случаем, задаваемым
ζ ( s , α ) = L ( 0 , α , s ) = Φ ( 1 , s , α ) . { displaystyle , zeta (s, alpha) = L (0, alpha, s) = Phi (1, s, alpha).} В полилогарифм является частным случаем Lerch Zeta, заданным
Ли s ( z ) = z Φ ( z , s , 1 ) . { displaystyle , { textrm {Li}} _ {s} (z) = z Phi (z, s, 1).} В Функция ци Лежандра является частным случаем, задаваемым
χ п ( z ) = 2 − п z Φ ( z 2 , п , 1 / 2 ) . { displaystyle , chi _ {n} (z) = 2 ^ {- n} z Phi (z ^ {2}, n, 1/2).} В Дзета-функция Римана дан кем-то
ζ ( s ) = Φ ( 1 , s , 1 ) . { displaystyle , zeta (s) = Phi (1, s, 1).} В Эта функция Дирихле дан кем-то
η ( s ) = Φ ( − 1 , s , 1 ) . { displaystyle , eta (s) = Phi (-1, s, 1).} Идентичности Для рационального λ слагаемое есть корень единства , и поэтому L ( λ , α , s ) { Displaystyle L ( лямбда, альфа, s)} λ = п q { displaystyle lambda = { frac {p} {q}}} п , q ∈ Z { displaystyle p, q in mathbb {Z}} q > 0 { displaystyle q> 0} z = ω = е 2 π я п q { displaystyle z = omega = e ^ {2 pi i { frac {p} {q}}}} ω q = 1 { displaystyle omega ^ {q} = 1}
Φ ( ω , s , α ) = ∑ п = 0 ∞ ω п ( п + α ) s = ∑ м = 0 q − 1 ∑ п = 0 ∞ ω q п + м ( q п + м + α ) s = ∑ м = 0 q − 1 ω м q − s ζ ( s , м + α q ) { displaystyle Phi ( omega, s, alpha) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { omega ^ {n}} {(n + alpha) ^ {s}} } = sum _ {m = 0} ^ {q-1} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { omega ^ {qn + m}} {(qn + m + alpha) ^ {s}}} = sum _ {m = 0} ^ {q-1} omega ^ {m} q ^ {- s} zeta (s, { frac {m + alpha} {q}}) )} Различные личности включают:
Φ ( z , s , а ) = z п Φ ( z , s , а + п ) + ∑ k = 0 п − 1 z k ( k + а ) s { Displaystyle Phi (z, s, a) = z ^ {n} Phi (z, s, a + n) + sum _ {k = 0} ^ {n-1} { frac {z ^ {k}} {(k + a) ^ {s}}}} и
Φ ( z , s − 1 , а ) = ( а + z ∂ ∂ z ) Φ ( z , s , а ) { Displaystyle Phi (z, s-1, a) = left (a + z { frac { partial} { partial z}} right) Phi (z, s, a)} и
Φ ( z , s + 1 , а ) = − 1 s ∂ ∂ а Φ ( z , s , а ) . { Displaystyle Phi (z, s + 1, a) = - , { frac {1} {s}} { frac { partial} { partial a}} Phi (z, s, a) .} Представления серий Серийное представление трансцендента Лерха дается формулой
Φ ( z , s , q ) = 1 1 − z ∑ п = 0 ∞ ( − z 1 − z ) п ∑ k = 0 п ( − 1 ) k ( п k ) ( q + k ) − s . { displaystyle Phi (z, s, q) = { frac {1} {1-z}} sum _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {-z} {1 -z}} right) ^ {n} sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} (q + k) ^ {- s }.} (Обратите внимание, что ( п k ) { displaystyle { tbinom {n} {k}}} биномиальный коэффициент .)
Серия действительна для всех s , а для сложных z с Re (z ) <1/2. Обратите внимание на общее сходство с аналогичным представлением ряда для дзета-функции Гурвица.[1]
А Серия Тейлор в первом параметре был задан Эрдели . Его можно записать в виде следующей серии, которая действительна для
| бревно ( z ) | < 2 π ; s ≠ 1 , 2 , 3 , … ; а ≠ 0 , − 1 , − 2 , … { displaystyle | log (z) | <2 pi; s neq 1,2,3, точки; a neq 0, -1, -2, точки} Φ ( z , s , а ) = z − а [ Γ ( 1 − s ) ( − бревно ( z ) ) s − 1 + ∑ k = 0 ∞ ζ ( s − k , а ) бревно k ( z ) k ! ] { Displaystyle Phi (z, s, a) = z ^ {- a} left [ Gamma (1-s) left (- log (z) right) ^ {s-1} + sum _ {k = 0} ^ { infty} zeta (sk, a) { frac { log ^ {k} (z)} {k!}} right]} Б. Р. Джонсон (1974). «Обобщенная дзета-функция Лерха» . Pacific J. Math . 53 (1): 189–193. Дои :10.2140 / pjm.1974.53.189
Если n - натуральное число, то
Φ ( z , п , а ) = z − а { ∑ k = 0 k ≠ п − 1 ∞ ζ ( п − k , а ) бревно k ( z ) k ! + [ ψ ( п ) − ψ ( а ) − бревно ( − бревно ( z ) ) ] бревно п − 1 ( z ) ( п − 1 ) ! } , { Displaystyle Phi (z, n, a) = z ^ {- a} left { sum _ {{k = 0} на вершине k neq n-1} ^ { infty} zeta (nk , а) { frac { log ^ {k} (z)} {k!}} + left [ psi (n) - psi (a) - log (- log (z)) right ] { frac { log ^ {n-1} (z)} {(n-1)!}} right },} куда ψ ( п ) { displaystyle psi (п)} функция дигаммы .
А Серия Тейлор в третьей переменной определяется выражением
Φ ( z , s , а + Икс ) = ∑ k = 0 ∞ Φ ( z , s + k , а ) ( s ) k ( − Икс ) k k ! ; | Икс | < ℜ ( а ) , { Displaystyle Phi (z, s, a + x) = sum _ {k = 0} ^ { infty} Phi (z, s + k, a) (s) _ {k} { frac { (-x) ^ {k}} {k!}}; | x | < Re (a),} куда ( s ) k { displaystyle (s) _ {k}} Символ Поххаммера .
Серия на а = -п дан кем-то
Φ ( z , s , а ) = ∑ k = 0 п z k ( а + k ) s + z п ∑ м = 0 ∞ ( 1 − м − s ) м Ли s + м ( z ) ( а + п ) м м ! ; а → − п { Displaystyle Phi (z, s, a) = sum _ {k = 0} ^ {n} { frac {z ^ {k}} {(a + k) ^ {s}}} + z ^ {n} sum _ {m = 0} ^ { infty} (1 мс) _ {m} operatorname {Li} _ {s + m} (z) { frac {(a + n) ^ { m}} {m!}}; a rightarrow -n} Особый случай для п = 0 имеет следующий ряд
Φ ( z , s , а ) = 1 а s + ∑ м = 0 ∞ ( 1 − м − s ) м Ли s + м ( z ) а м м ! ; | а | < 1 , { displaystyle Phi (z, s, a) = { frac {1} {a ^ {s}}} + sum _ {m = 0} ^ { infty} (1 мс) _ {m} operatorname {Li} _ {s + m} (z) { frac {a ^ {m}} {m!}}; | a | <1,} куда Ли s ( z ) { displaystyle operatorname {Li} _ {s} (z)} полилогарифм .
An асимптотический ряд за s → − ∞ { displaystyle s rightarrow - infty}
Φ ( z , s , а ) = z − а Γ ( 1 − s ) ∑ k = − ∞ ∞ [ 2 k π я − бревно ( z ) ] s − 1 е 2 k π а я { Displaystyle Phi (z, s, a) = z ^ {- a} Gamma (1-s) sum _ {k = - infty} ^ { infty} [2k pi i- log ( z)] ^ {s-1} e ^ {2k pi ai}} за | а | < 1 ; ℜ ( s ) < 0 ; z ∉ ( − ∞ , 0 ) { Displaystyle | a | <1; Re (s) <0; z notin (- infty, 0)}
Φ ( − z , s , а ) = z − а Γ ( 1 − s ) ∑ k = − ∞ ∞ [ ( 2 k + 1 ) π я − бревно ( z ) ] s − 1 е ( 2 k + 1 ) π а я { Displaystyle Phi (-z, s, a) = z ^ {- a} Gamma (1-s) sum _ {k = - infty} ^ { infty} [(2k + 1) pi i- log (z)] ^ {s-1} e ^ {(2k + 1) pi ai}} за | а | < 1 ; ℜ ( s ) < 0 ; z ∉ ( 0 , ∞ ) . { Displaystyle | a | <1; Re (s) <0; z notin (0, infty).}
Асимптотический ряд в неполная гамма-функция
Φ ( z , s , а ) = 1 2 а s + 1 z а ∑ k = 1 ∞ е − 2 π я ( k − 1 ) а Γ ( 1 − s , а ( − 2 π я ( k − 1 ) − бревно ( z ) ) ) ( − 2 π я ( k − 1 ) − бревно ( z ) ) 1 − s + е 2 π я k а Γ ( 1 − s , а ( 2 π я k − бревно ( z ) ) ) ( 2 π я k − бревно ( z ) ) 1 − s { displaystyle Phi (z, s, a) = { frac {1} {2a ^ {s}}} + { frac {1} {z ^ {a}}} sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {e ^ {- 2 pi i (k-1) a} Gamma (1-s, a (-2 pi i (k-1) - log (z)) )} {(- 2 pi i (k-1) - log (z)) ^ {1-s}}} + { frac {e ^ {2 pi ika} Gamma (1-s, a (2 pi ik- log (z)))} {(2 pi ik- log (z)) ^ {1-s}}}} за | а | < 1 ; ℜ ( s ) < 0. { Displaystyle | а | <1; Re (s) <0.}
Асимптотическое разложение Функция полилогарифма L я п ( z ) { Displaystyle mathrm {Li} _ {п} (г)}
L я 0 ( z ) = z 1 − z , L я − п ( z ) = z d d z L я 1 − п ( z ) . { displaystyle mathrm {Li} _ {0} (z) = { frac {z} {1-z}}, qquad mathrm {Li} _ {- n} (z) = z { frac { d} {dz}} mathrm {Li} _ {1-n} (z).} Позволять
Ω а ≡ { C ∖ [ 1 , ∞ ) если ℜ а > 0 , z ∈ C , | z | < 1 если ℜ а ≤ 0. { displaystyle Omega _ {a} Equiv { begin {cases} mathbb {C} setminus [1, infty) & { text {if}} Re a> 0, {z in mathbb {C}, | z | <1} & { text {if}} Re a leq 0. end {ases}}} За | А р грамм ( а ) | < π , s ∈ C { Displaystyle | mathrm {Arg} (а) | < pi, s in mathbb {C}} z ∈ Ω а { displaystyle z in Omega _ {a}} Φ ( z , s , а ) { Displaystyle Phi (г, s, а)} а { displaystyle a} s { displaystyle s} z { displaystyle z}
Φ ( z , s , а ) = 1 1 − z 1 а s + ∑ п = 1 N − 1 ( − 1 ) п L я − п ( z ) п ! ( s ) п а п + s + О ( а − N − s ) { displaystyle Phi (z, s, a) = { frac {1} {1-z}} { frac {1} {a ^ {s}}} + sum _ {n = 1} ^ { N-1} { frac {(-1) ^ {n} mathrm {Li} _ {- n} (z)} {n!}} { Frac {(s) _ {n}} {a ^ {n + s}}} + O (a ^ {- Ns})} за N ∈ N { Displaystyle N in mathbb {N}} ( s ) п = s ( s + 1 ) ⋯ ( s + п − 1 ) { Displaystyle (s) _ {п} = s (s + 1) cdots (s + n-1)} Символ Поххаммера .[2]
Позволять
ж ( z , Икс , а ) ≡ 1 − ( z е − Икс ) 1 − а 1 − z е − Икс . { Displaystyle f (z, x, a) Equiv { frac {1- (ze ^ {- x}) ^ {1-a}} {1-ze ^ {- x}}}.} Позволять C п ( z , а ) { Displaystyle C_ {п} (г, а)} Икс = 0 { displaystyle x = 0} N ∈ N , ℜ а > 1 { Displaystyle N in mathbb {N}, Re a> 1} ℜ s > 0 { Displaystyle Re s> 0}
Φ ( z , s , а ) − L я s ( z ) z а = ∑ п = 0 N − 1 C п ( z , а ) ( s ) п а п + s + О ( ( ℜ а ) 1 − N − s + а z − ℜ а ) , { displaystyle Phi (z, s, a) - { frac { mathrm {Li} _ {s} (z)} {z ^ {a}}} = sum _ {n = 0} ^ {N -1} C_ {n} (z, a) { frac {(s) _ {n}} {a ^ {n + s}}} + O left (( Re a) ^ {1-Ns} + az ^ {- Re a} right),} в качестве ℜ а → ∞ { displaystyle Re a to infty} [3]
Программного обеспечения Трансцендентный Lerch реализован как LerchPhi в Клен и Mathematica , и как lerchphi в mpmath и SymPy .
Рекомендации Апостол, Т. М. (2010), "Превосходство Лерха" , в Олвер, Фрэнк В. Дж. ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям ISBN 978-0-521-19225-5 МИСТЕР 2723248 Бейтман, Х. ; Эрдейи, А. (1953), Высшие трансцендентные функции, Vol. я (PDF) , Нью-Йорк: Макгроу-Хиллz ,s ,v ) ", стр. 27)Градштейн Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Геронимус Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. «9.55.». В Цвиллингере, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов ISBN 978-0-12-384933-5 LCCN 2014010276 .Гильера, Иисус; Сондов, Джонатан (2008), "Двойные интегралы и бесконечные произведения для некоторых классических констант через аналитические продолжения трансцендента Лерха", Рамануджанский журнал , 16 (3): 247–270, arXiv :math.NT / 0506319 Дои :10.1007 / s11139-007-9102-0 , МИСТЕР 2429900 , S2CID 119131640 Джексон, М. (1950), "О трансцендентных и основных двусторонних гипергеометрических рядах Лерха". 2 ψ 2 ", J. London Math. Soc. , 25 (3): 189–196, Дои :10.1112 / jlms / s1-25.3.189 , МИСТЕР 0036882 Johansson, F .; Благушин, Я. (2019), «Вычисление констант Стилтьеса с использованием комплексной интеграции», Математика вычислений , 88 (318): 1829–1850, arXiv :1804.01679 Дои :10.1090 / mcom / 3401 , МИСТЕР 3925487 , S2CID 4619883 Лауринчикас, Антанас; Гарунштис, Рамунас (2002), Дзета-функция Лерха , Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1014-9 МИСТЕР 1979048 Лерх, Матиас (1887), "Note sur la fonction K ( ш , Икс , s ) = ∑ k = 0 ∞ е 2 k π я Икс ( ш + k ) s { displaystyle scriptstyle { mathfrak {K}} (w, x, s) = sum _ {k = 0} ^ { infty} {e ^ {2k pi ix} over (w + k) ^ {s}}} , Acta Mathematica (На французском), 11 (1–4): 19–24, Дои :10.1007 / BF02612318 JFM 19.0438.01 , МИСТЕР 1554747 , S2CID 121885446 внешняя ссылка Аксенов, Сергей В .; Jentschura, Ульрих Д. (2002), Программы C и Mathematica для вычисления трансцендента Лерха Рамунас Гарункстис, Домашняя страница (Содержит многочисленные ссылки и препринты.) Рамунас Гарункстис, Аппроксимация дзета-функции Лерха С. Канемицу, Ю. Танигава и Х. Цукада, Обобщение формулы Бохнера [постоянная мертвая ссылка Вайсштейн, Эрик В. "Лерх Трансцендент" . MathWorld "§25.14, Трансцендент Лерха" . Цифровая библиотека математических функций NIST . Национальный институт стандартов и технологий. 2010 г.. Получено 28 января 2012 .
![Phi (z, s, a) = z ^ {{- a}} left [ Gamma (1-s) left (- log (z) right) ^ {{s-1}} + sum _ {{k = 0}} ^ { infty} zeta (sk, a) { frac { log ^ {k} (z)} {k!}} right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3a9c24d8417a779c07014ddeecc82a705943b2)
![Phi (z, n, a) = z ^ {{- a}} left { sum _ {{{k = 0} atop k neq n-1}} ^ { infty} zeta ( nk, a) { frac { log ^ {k} (z)} {k!}} + left [ psi (n) - psi (a) - log (- log (z)) right] { frac { log ^ {{n-1}} (z)} {(n-1)!}} right },](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f97bb2052f7804ca5b0247792e7a427e3f9cee9)
![Phi (z, s, a) = z ^ {{- a}} Gamma (1-s) sum _ {{k = - infty}} ^ { infty} [2k pi i- log (z)] ^ {{s-1}} e ^ {{2k pi ai}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc6012b9bc8d368cab2f4b45595f1a25bf1ae8e6)
![Phi (-z, s, a) = z ^ {{- a}} Gamma (1-s) sum _ {{k = - infty}} ^ { infty} [(2k + 1) pi i- log (z)] ^ {{s-1}} e ^ {{(2k + 1) pi ai}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0712d558ab9e56585b83e5a320cf89dbcba42cb9)
