Ли Шаньлань личность - Li Shanlan identity

В математика, в комбинаторика, Ли Шаньлань личность (также называемый Формула суммирования Ли Шанланя) является определенным комбинаторный личность относят к девятнадцатому веку Китайский математик Ли Шанлань.^[1] Поскольку Ли Шанлань также известен как Ли Реншу, эта личность также упоминается как Ли Реншу личность.^[2] Эта идентичность появляется в третьей главе книги. Duoji bilei (垛 积 比 类 / 垛 積 比 纇, что означает суммирование конечного ряда), математический текст, созданный Ли Шанланем и опубликованный в 1867 году как часть его собрания сочинений. А Чешский математик Йозеф Кауки опубликовал элементарное доказательство личности вместе с историей личности в 1964 году.^[3] Кауки приписал это имя некоему Ли Джен-Шу. Из истории личности было установлено, что Ли Жэнь-Шу на самом деле Ли Шаньлань.^[1] Западные ученые изучали китайскую математику как историческую ценность; но приписывание этой идентичности китайскому математику девятнадцатого века вызвало переосмысление математической ценности трудов китайских математиков.^[2]

«На Западе Ли лучше всего помнят за комбинаторную формулу, известную как« тождество Ли Реншу », которую он вывел, используя только традиционные китайские математические методы».^[4]

Личность

Личность Ли Шанланя утверждает, что

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {p} {p choose k} ^ {2} {{n + 2p-k} choose {2p}} = {{n + p} choose p} ^ {2}}$.

Ли Шанлань не представил личность таким образом. Он представил это традиционным китайским алгоритмическим и риторическим способом.^[5]

Подтверждения личности

Ли Шанлань не предоставила удостоверение личности в Duoji bilei. Первое доказательство с использованием дифференциальных уравнений и многочленов Лежандра, чуждых Шанлану концепций, было опубликовано Пал Туран в 1936 г., а доказательство появилось на китайском языке в Юнг Чанг статья опубликована в 1939 году.^[2] С тех пор было найдено не менее пятнадцати различных доказательств.^[2] Следующее - одно из самых простых доказательств.^[6]

Доказательство начинается с выражения ${ displaystyle n выбрать q}$ в качестве Извилина Вандермонда:

${ displaystyle {n choose q} = sum _ {k = 0} ^ {q} {{n-p} choose k} {p choose {q-k}}}$

Предварительно умножив обе стороны на ${ displaystyle n выберите p}$,

${ displaystyle {n choose p} {n choose q} = sum _ {k = 0} ^ {q} {n choose p} {{np} choose k} {p choose {qk}} }$.

Используя следующее соотношение

${ Displaystyle {п выбрать p} {{n-p} выбрать k} = {{p + k} выбрать k} {n выбрать {p + k}}}$

указанное выше соотношение можно преобразовать к

${ displaystyle {n choose p} {n choose q} = sum _ {k = 0} ^ {q} {p choose {qk}} {{p + k} choose k} {n choose {p + k}}}$.

Далее отношение

${ displaystyle {p choose {q-k}} {{p + k} choose {k}} = {q choose k} {{p + k} choose {q}}}$

используется, чтобы получить

${ displaystyle {n choose p} {n choose q} = sum _ {k = 0} ^ {q} {q choose k} {n choose {p + k}} {{p + k} выбрать q}}$.

Другое применение свертки Вандермонда дает

${ displaystyle {{p + k} choose q} = sum _ {j = 0} ^ {q} {p choose j} {k choose {q-j}}}$

и поэтому

${ displaystyle {n choose p} {n choose q} = sum _ {k = 0} ^ {q} {q choose k} {n choose {p + k}} sum _ {j = 0} ^ {q} {p choose j} {k choose {qj}}}$

С ${ displaystyle p choose j}$ не зависит от k, это можно представить в виде

${ displaystyle {n choose p} {n choose q} = sum _ {j = 0} ^ {q} {p choose j} sum _ {k = 0} ^ {q} {q choose k} {n choose {p + k}} {k choose {qj}}}$

Далее результат

${ displaystyle {q choose k} {k choose {q-j}} = {q choose j} {j choose {q-k}}}$

дает

${ displaystyle {n choose p} {n choose q} = sum _ {j = 0} ^ {q} {p choose j} sum _ {k = 0} ^ {q} {q choose j} {j choose {qk}} {n choose {p + k}}}$

${ displaystyle = sum _ {j = 0} ^ {q} {p choose j} {q choose j} sum _ {k = 0} ^ {q} {j choose {qk}} {n выбрать {p + k}}}$

${ displaystyle = sum _ {j = 0} ^ {q} {p choose j} {q choose j} {{n + j} choose {p + q}}}$

Параметр п = q и замена j к k,

${ displaystyle {n choose p} ^ {2} = sum _ {k = 0} ^ {p} {p choose k} ^ {2} {{n + k} choose {2p}}}$

Тождество Ли следует отсюда заменой п к п + п и сделаем некоторую перестановку терминов в полученном выражении:

${ displaystyle {{n + p} choose p} ^ {2} = sum _ {k = 0} ^ {p} {p choose k} ^ {2} {{n + 2p-k} choose {2p}}}$

На Duoji bilei

Период, термин дуоджи обозначает определенный традиционный китайский метод вычисления суммы стопок. Большая часть математики, разработанной в Китае с XVI века, связана с дуоджи метод. Ли Шаньлань был одним из величайших представителей этого метода и Duoji bilei представляет собой экспозицию его работ, связанных с этим методом. Duoji bilei состоит из четырех глав: Глава 1 посвящена треугольным сваям, Глава 2 - ряду конечных степеней, Глава 3 - треугольным саморазумножающимся сваям и Глава 4 - модифицированным треугольным сваям.^[7]

Рекомендации