Теория подъема - Lifting theory

В математике теория подъема был впервые представлен Джон фон Нейман в новаторской статье 1931 года, в которой он ответил на вопрос, поставленный Альфред Хаар.^[1] Теория получила дальнейшее развитие Дороти Махарам (1958)^[2] и по Александра Ионеску Тулча и Кассиус Ионеску Тулча (1961).^[3] Теория подъема была в значительной степени мотивирована ее поразительными приложениями. Его развитие до 1969 года описано в монографии Ионеску Тулча.^[4] С тех пор теория подъема продолжала развиваться, давая новые результаты и приложения.

Определения

А подъем на измерить пространство ${ displaystyle (X, Sigma, mu)}$ является линейным и мультипликативным обратным

${ Displaystyle T двоеточие L ^ { infty} (X, Sigma, mu) to { mathcal {L}} ^ { infty} (X, Sigma, mu)}$

факторной карты

${ displaystyle { begin {case} { mathcal {L}} ^ { infty} (X, Sigma, mu) to L ^ { infty} (X, Sigma, mu) f mapsto [f] end {case}}}$

куда ${ Displaystyle { mathcal {L}} ^ { infty} (X, Sigma, mu)}$ полунормированный L^п Космос измеримых функций и ${ Displaystyle L ^ { infty} (X, Sigma, mu)}$ - его обычное нормированное частное. Другими словами, подъем выбирается из каждого класса эквивалентности [ж] ограниченных измеримых функций по модулю пренебрежимо малых функций представитель, что в дальнейшем записывается Т([ж]) или же Т[ж] или просто Tf - таким образом, что

${ Displaystyle T (р [е] + s [g]) (p) = rT [f] (p) + sT [g] (p), qquad forall p in X, r, s in mathbf {R};}$

${ Displaystyle Т ([е] раз [г]) (р) = Т [е] (р) раз Т [г] (р), qquad forall р в X;}$

${ displaystyle T [1] = 1.}$

Подъемники используются для производства дезинтеграция мер, например условные вероятностные распределения заданные непрерывные случайные величины и расслоения меры Лебега на множествах уровня функции.

Наличие подъемников

Теорема. Предполагать (Икс, Σ, μ) завершено.^[5] Потом (Икс, Σ, μ) допускает подъем тогда и только тогда, когда существует набор взаимно непересекающихся интегрируемых множеств в Σ, объединение которыхИксВ частности, если (Икс, Σ, μ) является завершением σ-конечный^[6] меры или внутренней регулярной борелевской меры на локально компактном пространстве, то (Икс, Σ, μ) допускает подъем.

Доказательство состоит в распространении подъема на все более крупные суб-σ-алгебры, применяя Теорема Дуба о сходимости мартингалов если в процессе встречается счетная цепочка.

Сильные подъемы

Предполагать (Икс, Σ, μ) полный и Икс снабжен вполне регулярной хаусдорфовой топологией τ ⊂ Σ такой, что объединение любого набора пренебрежимо малых открытых множеств снова пренебрежимо мало - это так, если (Икс, Σ, μ) является σ-конечно или происходит от Радоновая мера. Затем поддерживать из μ, Supp (μ), можно определить как дополнение к самому большому незначительному открытому подмножеству, а набор C_б(Икс, τ) ограниченных непрерывных функций принадлежит ${ Displaystyle { mathcal {L}} ^ { infty} (X, Sigma, mu)}$.

А сильный подъем за (Икс, Σ, μ) является подъемом

${ Displaystyle T: L ^ { infty} (X, Sigma, mu) to { mathcal {L}} ^ { infty} (X, Sigma, mu)}$

такой, что Tφ = φ на Supp (μ) для всех φ в C_б(Икс, τ). Это то же самое, что требовать^[7] TU ≥ (U ∩ Supp (μ)) для всех открытых множеств U вτ.

Теорема. Если (Σ, μ) является σ-конечный и полный и τ имеет счетную базу, то (Икс, Σ, μ) допускает сильный подъем.

Доказательство. Позволять Т₀ быть подъемом для (Икс, Σ, μ) и {U₁, U₂, ...} счетный базис для τ. Для любой точки п в незначительном наборе

${ displaystyle N: = bigcup nolimits _ {n} left {p in mathrm {Supp} ( mu) :( T_ {0} U_ {n}) (p)$

позволять Т_п быть любым персонажем^[8] на L^∞(Икс, Σ, μ), продолжающий характер φ ↦ φ (п) из C_б(Икс, τ). Тогда для п в Икс и [ж] в L^∞(Икс, Σ, μ) определять:

${ displaystyle (T [f]) ​​(p): = { begin {case} (T_ {0} [f]) ​​(p) & p notin N T_ {p} [f] & p in N. end {case}}}$

Т желаемый сильный подъем.

Применение: дезинтеграция меры

Предполагать (Икс, Σ, μ), (Y, Φ, ν) являются σ-пространства конечной меры (μ, ν положительный) и π : Икс → Y измеримая карта. А распад μ вдоль π относительно ν это множество ${ displaystyle Y ni y mapsto lambda _ {y}}$ положительных σ-аддитивные меры на (Икс, Σ) такие, что

1. λ_у переносится волокном ${ Displaystyle pi ^ {- 1} ( {у })}$ π над у:

${ displaystyle {y } in Phi ; ; mathrm {and} ; ; lambda _ {y} left ((X setminus pi ^ {- 1} ( {y }) right) = 0 qquad forall y in Y}$

1. для каждого μ-интегрируемая функция ж,

${ Displaystyle int _ {X} е (p) ; mu (dp) = int _ {Y} left ( int _ { pi ^ {- 1} ( {y })} f (p) , lambda _ {y} (dp) right) nu (dy) qquad (*)}$

в том смысле, что для ν-почти все у в Y, ж является λ_у-интегрируемый, функция

${ displaystyle y mapsto int _ { pi ^ {- 1} ( {y })} f (p) , lambda _ {y} (dp)}$

ν-интегрируемо, и указанное равенство (*) выполнено.

Дезинтеграции существуют в различных обстоятельствах, доказательства различны, но почти все используют сильные лифтинги. Вот довольно общий результат. Его краткое доказательство дает общий колорит.

Теорема. Предполагать Икс польский^[9] пространство и Y отделимое пространство Хаусдорфа, оба оснащены своим борелевским σ-алгебры. Позволять μ быть σ-конечная борелевская мера на Икс и π: Икс → Y Σ, Φ – измеримое отображение. Тогда существует σ-конечная борелевская мера ν на Y и распад (*). Если μ конечно, ν можно считать толчком^[10] π_∗μ, а затем λ_у вероятности.

Доказательство. Из-за польского характера Икс есть последовательность компактных подмножеств Икс которые не пересекаются, объединение которых имеет незначительное дополнение и на которых π непрерывно. Это наблюдение сводит проблему к случаю, когда оба Икс и Y компактны, π непрерывна, и ν = π_∗μ. Заполните Φ под ν и закрепить сильный подъем Т за (Y, Φ, ν). Учитывая ограниченную μ-измеримая функция ж, позволять ${ displaystyle lfloor f rfloor}$ обозначают его условное ожидание при π, т. е. Производная Радона-Никодима из^[11] π_∗(fμ) относительно π_∗μ. Затем установите для каждого у в Y, ${ displaystyle lambda _ {y} (f): = T ( lfloor f rfloor) (y).}$ Чтобы показать, что это определяет распад, нужно вести бухгалтерский учет и воспользоваться подходящей теоремой Фубини. Чтобы увидеть, как входит сила подъема, обратите внимание, что

${ displaystyle lambda _ {y} (е cdot varphi circ pi) = varphi (y) lambda _ {y} (f) qquad forall y in Y, varphi in C_ { b} (Y), f in L ^ { infty} (X, Sigma, mu)}$

И возьми верх над всем положительным φ в C_б(Y) с φ(у) = 1; становится очевидным, что поддержка λ_у лежит в волокне наду.

Рекомендации