Теорема Линника - Википедия - Linniks theorem

Теорема Линника в аналитическая теория чисел отвечает на естественный вопрос после Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях. Утверждает, что существуют положительные c и L такие, что если обозначить п(а,d) в мере штрих в арифметической прогрессии

${ Displaystyle а + nd, }$

куда п проходит через положительные целые числа и а и d любые положительные совмещать целые числа с 1 ≤ а ≤ d - 1, тогда:

${ displaystyle p (a, d)$

Теорема названа в честь Юрий Владимирович Линник, который доказал это в 1944 году.^[1][2] Хотя доказательство Линника показало c и L быть эффективно вычислимый, он не дал им числовых значений.

Характеристики

Известно, что L ≤ 2 для почти все целые числа d.^[3]

На обобщенная гипотеза Римана можно показать, что

${ Displaystyle р (а, d) leq (1 + о (1)) varphi (d) ^ {2} ln ^ {2} d ;,}$

куда ${ displaystyle varphi}$ это общая функция.^[4]и более сильная связь

${ Displaystyle р (а, d) leq varphi (d) ^ {2} ln ^ {2} d ;,}$

также было доказано.^[5]

Также предполагается, что:

${ Displaystyle р (а, d)$ ^[4]

Границы для L

Постоянная L называется Постоянная Линника ^[6] а в следующей таблице показан прогресс, достигнутый в определении его размера.

L ≤	Год публикации	Автор
10000	1957	Сковорода[7]
5448	1958	Сковорода
777	1965	Чен[8]
630	1971	Jutila
550	1970	Jutila[9]
168	1977	Чен[10]
80	1977	Jutila[11]
36	1977	Грэм[12]
20	1981	Грэм[13] (представлен перед статьей Чена 1979 года)
17	1979	Чен[14]
16	1986	Ван
13.5	1989	Чен и Лю[15][16]
8	1990	Ван[17]
5.5	1992	Хит-Браун[4]
5.18	2009	Ксилурис[18]
5	2011	Ксилурис[19]

Более того, в результате Хита-Брауна постоянная c эффективно вычислимо.

Примечания