Смещение Лутца – Келкера - Lutz–Kelker bias

В Смещение Лутца – Келкера предполагается систематическая ошибка это происходит из предположения, что вероятность нахождения звезды на расстоянии ${displaystyle s}$ увеличивается с квадратом расстояния, что эквивалентно предположению о равномерном распределении звезд в пространстве. В частности, это вызывает размеренные параллаксы чтобы звезды были больше их фактических значений. Склонность к измерению большего параллаксы в свою очередь, приводит к недооценке расстояния и, следовательно, к недооценке объекта яркость.^[1]

Для данного измерения параллакса с сопутствующей неопределенностью обе звезды, расположенные ближе и дальше, могут из-за неопределенности измерения появляться при данном параллаксе. Предполагая равномерное распределение звезд в пространстве, плотность вероятности истинного параллакса на единицу диапазона параллаксов будет пропорциональна ${displaystyle 1 / p ^ {4}}$ (куда ${displaystyle p}$ - истинный параллакс), и поэтому в объемных оболочках будет больше звезд на большем расстоянии. В результате этой зависимости у большего числа звезд истинный параллакс будет меньше наблюдаемого.^[1]^[2] Таким образом, измеренный параллакс будет систематически смещен в сторону значения, превышающего истинный параллакс. Это приводит к тому, что предполагаемая светимость и расстояния становятся слишком малыми, что создает очевидную проблему для астрономов, пытающихся измерить расстояние. Существование (или иное) этого смещения и необходимость его корректировки стало актуальным в астрономии благодаря точным измерениям параллакса, выполненным Hipparcos спутник и совсем недавно с выпуском высокоточных данных Гайя миссия.

Метод коррекции, предложенный Лутцем и Келкером, позволил определить истинный параллакс звезд. Это неверно, потому что истинный параллакс (в отличие от измеренного параллакса) не может быть известен. Интегрирование по всем истинным параллаксам (всему пространству) предполагает, что звезды одинаково видны на всех расстояниях, и приводит к расходящимся интегралам, приводящим к неверным расчетам.^[3] Следовательно, поправку Лутца-Келкера использовать не следует. Как правило, требуются другие поправки на систематическое смещение в зависимости от критериев отбора рассматриваемых звезд.^[4]

Объем эффектов смещения также обсуждается в контексте текущих высокоточных измерений и выбора звездной выборки, где исходные предположения о звездном распределении не верны. Эти различия приводят к тому, что первоначальное обсуждение эффектов сильно переоценивается и сильно зависит от выбора звездной выборки. Также остается возможным, что связи с другими формами статистической погрешности, такими как Предвзятость Мальмквиста может иметь обратный эффект на смещение Лутца – Келкера по крайней мере для некоторых образцов.

Математическое описание

Исходное описание

Функция распределения

Математически Уклон Лутца-Келкера возникает из-за зависимости плотности числа от наблюдаемого параллакса, который переводится в условная возможность из параллакс измерения. Предполагая Гауссово распределение наблюдаемого параллакса относительно истинного параллакса из-за ошибок измерения, мы можем записать условная возможность функция распределения измерения параллакс из ${displaystyle p_ {o}}$ учитывая, что правда параллакс является ${displaystyle p}$ в качестве

${displaystyle g (p_ {o} | p) = {dfrac {1} {sqrt {2pi sigma}}} exp {{Big (} {dfrac {- (p_ {o} -p) ^ {2}} {2sigma) ^ {2}}} {Большой)}}}$

поскольку оценка истинного параллакса основана на измеренном параллаксе, условная вероятность истинного параллакса ${displaystyle p}$ , учитывая, что наблюдаемый параллакс равен ${displaystyle p_ {o}}$ представляет интерес. В первоначальной трактовке явления Лутцем и Келкером эта вероятность с использованием Теорема Байеса, задается как

${displaystyle g (p | p_ {o}) = {dfrac {g (p_ {o} | p) g (p)} {g (p_ {o})}}}$

куда ${displaystyle g (p) dp}$ и ${displaystyle g (p_ {o}) dp_ {o}}$ являются априорные вероятности истинного и наблюдаемого параллаксов соответственно.

Зависимость от расстояния

В плотность вероятности найти звезду с кажущаяся величина ${displaystyle m}$ На расстоянии ${displaystyle s}$ аналогично можно записать как

${displaystyle h (s | m) = {dfrac {h (m | s) h (s)} {h (m)}}}$

куда ${displaystyle h (м | с)}$ это плотность вероятности найти звезду с кажущаяся величина м с заданным расстоянием ${displaystyle s}$ . Здесь, ${displaystyle h (м | с)}$ будет зависеть от функция светимости звезды, которая зависит от ее абсолютная величина. ${displaystyle h (m)}$ это функция плотности вероятности из кажущаяся величина независимо от расстояния. Вероятность нахождения звезды на расстоянии ${displaystyle s}$ будет пропорционально ${displaystyle s ^ {2}}$ такой, что

${displaystyle h (s) propto n (s) s ^ {2}}$

Предполагая равномерное распределение звезд в космосе, плотность числа ${displaystyle n (s)}$ становится константой, и мы можем написать

${displaystyle g (p) dp = h (s | m) {Bigg |} {dfrac {partial s} {partial p}} {Bigg |} _ {m} dppropto s ^ {2} {Bigg |} {dfrac { частичный s} {частичный p}} {Bigg |} _ {m} dp}$ , куда ${displaystyle s = 1 / p}$ .

Поскольку мы имеем дело с распределением вероятностей истинного параллакса на основе фиксированного наблюдаемого параллакса, плотность вероятности ${displaystyle g (p_ {o})}$ становится неактуальным, и мы можем сделать вывод, что распределение будет иметь пропорциональность^[2]

${displaystyle g (p | p_ {o}) propto g (p | p_ {o}) p ^ {- 4}}$ и поэтому,

${displaystyle g (p | p_ {o}) propto {dfrac {1} {p ^ {4}}} exp {Big (} {- {dfrac {(p-p_ {o}) ^ {2}} {2 сигма ^ {2}}}} {Большой)}}$

Нормализация

Условная вероятность истинного параллакса, основанная на наблюдаемом параллаксе, расходится около нуля для истинного параллакса. Следовательно, невозможно нормализовать эта вероятность. Следуя исходному описанию смещения,^[1] мы можем определить нормализацию, включив наблюдаемый параллакс как

${displaystyle g (p | p_ {o}) propto {Big (} {dfrac {p_ {o}} {p}} {Big)} ^ {4} exp {Big (} {- {dfrac {(p-p_ {o}) ^ {2}} {2 сигма ^ {2}}}} {Большой)}}$

Включение ${displaystyle p_ {o}}$ не влияет на пропорциональность, так как это фиксированная константа. Более того, в этом определенном "нормализация ", мы получим вероятность 1, когда истинный параллакс равен наблюдаемому, независимо от ошибок измерения. Следовательно, мы можем определить безразмерный параллакс ${displaystyle Z: = p / p_ {o}}$ и получить безразмерное распределение истинного параллакса как

${displaystyle G (Z) propto Z ^ {- 4} exp {Big (} {- {dfrac {(Z-1) ^ {2}} {2 (sigma / p_ {o}) ^ {2}}}} {Большой )}}$

Здесь, ${displaystyle Z = 1}$ представляет собой точку, в которой измерение параллакса равно его истинному значению, где распределение вероятностей должно быть центрировано. Однако это распределение из-за ${displaystyle Z ^ {- 4}}$ фактор будет отклоняться от точки ${displaystyle Z = 1}$ к меньшим значениям. Это представляет собой систематический Уклон Лутца-Келкера. Значение этого смещения будет основано на значении ${displaystyle sigma / p_ {o}}$ , предельная погрешность измерения параллакса.

Сфера действия

Оригинальное лечение

В первоначальной трактовке смещения Лутца – Келкера, как это было впервые предложено^[1] Погрешность измерения параллакса считается единственным источником систематической ошибки. В результате параллакс-зависимости звездных распределений меньшая неопределенность наблюдаемого параллакса приведет лишь к небольшому отклонению от истинного значения параллакса. Большая погрешность контраста приведет к более высоким систематическим отклонениям наблюдаемого параллакса от его истинного значения. Большие ошибки измерения параллакса становятся очевидными при расчетах светимости, и поэтому их легко обнаружить. Следовательно, первоначальная трактовка явления считала смещение эффективным, когда неопределенность наблюдаемого параллакса ${displaystyle sigma}$ , составляет около 15% от измеренного значения, ${displaystyle p_ {o}}$ .^[1] Это было очень сильное утверждение, указывающее на то, что если неопределенность параллакса составляет примерно 15–20%, смещение настолько эффективно, что мы теряем большую часть информации о параллаксе и расстоянии. Несколько последующих работ, посвященных этому явлению, опровергли этот аргумент, и было показано, что объем фактически основан на выборке и может зависеть от других источников систематической ошибки. Поэтому в последнее время утверждается, что возможности для большинства звездных образцов не так велики, как предполагалось ранее.

Последующие обсуждения

Следуя первоначальному утверждению, масштабы эффектов смещения, а также его существование и относительные методы исправления обсуждались во многих работах в недавней литературе, включая последующие работы самого Лутца.^[5]^[6]^[7]^[8] В нескольких последующих работах говорится, что предположение о равномерном распределении звезд может быть неприменимым в зависимости от выбора звездной выборки. Более того, влияние различного распределения звезд в космосе, а также погрешностей измерений приведет к различным формам систематической ошибки.^[6] Это говорит о том, что смещение в значительной степени зависит от конкретного выбора распределений выборки и ошибок измерения, хотя термин «смещение Лутца – Келкера» обычно используется в общем для явления на всех звездных выборках. Также ставится под сомнение наличие других источников ошибок и предвзятости, таких как Мальмквистский уклон фактически противодействуют или даже отменяют смещение Лутца – Келкера, так что эффекты не столь резкие, как первоначально описано Лутцем и Келкером.^[9] В целом, такие различия обсуждаются, чтобы привести к тому, что эффекты систематической ошибки будут сильно переоценены при первоначальном лечении.

В последнее время влияние смещения Лутца – Келкера стало актуальным в контексте высокоточных измерений Гайя миссия. Масштаб влияния смещения Лутца – Келкера на некоторые образцы обсуждается в недавнем Гайя выпуски данных, включая исходные предположения и возможность различных распределений.^[10] По-прежнему важно с осторожностью относиться к эффектам смещения при выборе выборки, поскольку ожидается, что звездное распределение будет неоднородным на больших расстояниях. В результате возникает вопрос, применимы ли методы коррекции, включая поправку Лутца-Келкера, предложенную в исходной работе, для данной звездной выборки, поскольку ожидается, что эффекты будут зависеть от звездного распределения. Более того, в соответствии с исходным описанием и зависимостью смещения от ошибок измерения ожидается, что эффекты будут меньше из-за более высокой точности современных инструментов, таких как Гайя.

История

Первоначальное описание явления было представлено в статье Томас Э. Лутц и Дуглас Х. Келкер в Публикации Тихоокеанского астрономического общества, Vol. 85, № 507, с. 573 статья, озаглавленная «Об использовании тригонометрических параллаксов для калибровки систем светимости: теория».^[1] хотя он был известен после работы Trumpler & Weaver в 1953 году.^[11] Обсуждение статистической погрешности измерений в астрономии восходит к Эддингтон в 1913 г.^[12]