Формула прироста масонов - Википедия - Masons gain formula

Формула усиления Мейсона (MGF) это метод поиска функция передачи линейного график потока сигналов (SFG). Формула была получена Сэмюэл Джефферсон Мейсон,[1] в честь кого он также назван. MGF - это альтернативный метод алгебраического нахождения передаточной функции путем маркировки каждого сигнала, записи уравнения того, как этот сигнал зависит от других сигналов, а затем решения нескольких уравнений для выходного сигнала в терминах входного сигнала. MGF предоставляет пошаговый метод получения передаточной функции из SFG. Часто MGF можно определить путем проверки SFG. Этот метод может легко обрабатывать SFG с множеством переменных и циклов, включая циклы с внутренними циклами. MGF часто возникает в контексте Системы управления и цифровые фильтры, поскольку системы управления и цифровые фильтры часто представлены SFG.

Формула

Формула усиления выглядит следующим образом:


куда:

  • Δ = определитель графа.
  • ув = переменная входного узла
  • уиз = переменная выходного узла
  • грамм = полное усиление между ув и уиз
  • N = общее количество прямых путей между ув и уиз
  • граммk = усиление пути kй прямой путь между ув и уиз
  • Lя = усиление каждого замкнутого контура в системе
  • LяLj = произведение коэффициентов усиления контура любых двух не касающихся контуров (без общих узлов)
  • LяLjLk = произведение коэффициентов усиления любых трех попарно не соприкасающихся петель
  • Δk = значение кофактора Δ для kth прямой путь, при этом петли касаются kth прямой путь удален. *

Определения[2]

  • Путь: непрерывный набор ветвей, пересекаемых в указанном ими направлении.
  • Прямой путь: путь от входного узла к выходному узлу, в котором ни один из узлов не затрагивается более одного раза.
  • Цикл: путь, который начинается и заканчивается на одном узле, в котором ни один узел не затрагивается более одного раза.
  • Прирост на пути: результат прироста всех ветвей на пути.
  • Коэффициент усиления петли: произведение коэффициентов усиления всех ветвей петли.

Процедура поиска решения

  1. Составьте список всех путей продвижения и их достижений и пометьте их. граммk.
  2. Составьте список всех петель и их усиления и пометьте их Lя (за я петли). Составьте список всех пар не касающихся петель и произведений их выигрышей (LяLj). Составьте список всех попарно не соприкасающихся петель, взятых по три за раз (LяLjLk), затем по четыре и так далее, пока их больше не будет.
  3. Вычислить определитель Δ и сомножители Δk.
  4. Примените формулу.

Примеры

Схема, содержащая два порта

График прохождения сигналов в цепи, содержащей два порта. Прямой путь от входа к выходу показан другим цветом.

Передаточная функция от Vв к V2 желательно.

Есть только один прямой путь:

  • Vв к V1 к я2 к V2 с прибылью

Есть три петли:

  • V1 к я1 к V1 с прибылью
  • V2 к я2 к V2 с прибылью
  • V1 к я2 к V2 к я1 к V1 с прибылью
Примечание: L1 и L2 не касайтесь друг друга, тогда как L3 касается обеих других петель.
примечание: прямой путь касается всех петель, поэтому все, что осталось, 1.

Цифровой биквадратный БИХ-фильтр

График потока сигналов (SFG) для цифрового двухквадратного фильтра с бесконечной импульсной характеристикой. Этот SFG имеет три прямых пути и два цикла.

Цифровые фильтры часто изображаются в виде диаграмм потока сигналов.

Есть две петли
Обратите внимание, две петли соприкасаются, поэтому для их продукта нет термина.
Есть три прямых пути
Все прямые пути касаются всех петель, поэтому

Сервопривод

Сервопривод углового положения и график прохождения сигнала. θC = желаемая угловая команда, θL = фактический угол нагрузки, Kп = усиление контура положения, VωC = команда скорости, VωM = напряжение измерения скорости двигателя, KV = усиление контура скорости, VIC = текущая команда, VЯ = напряжение измерения тока, KC = усиление токовой петли, VА = выходное напряжение усилителя мощности, VM = эффективное напряжение на индуктивности, LM = индуктивность двигателя, яM = ток двигателя, рM = сопротивление двигателя, рS = текущее чувствительное сопротивление, KM = постоянная крутящего момента двигателя (Нм/ amp), Т = крутящий момент, M = момент инерции всех вращающихся компонентов α = угловое ускорение, ω = угловая скорость, β = механическое демпфирование, граммM = постоянная противо-ЭДС двигателя, граммТ = постоянная коэффициента усиления тахометра. Есть один прямой путь (показан другим цветом) и шесть контуров обратной связи. Приводной вал считается достаточно жестким, чтобы его нельзя было рассматривать как пружину. Константы показаны черным, а переменные - фиолетовым.

График потока сигналов имеет шесть петель. Они есть:

Есть один прямой путь:

Прямой путь касается всех петель, поэтому коэффициент

И усиление от входа к выходу равно

Эквивалентная матричная форма

Правило Мейсона можно сформулировать в простой матричной форме. Предполагать - переходная матрица графа, где это суммарный коэффициент пропускания ветвей от узла м к узлу п. Тогда выигрыш от узла м узел п графа равно , куда

,

и - единичная матрица.

Правило Мейсона также особенно полезно для получения передаточной функции в z-области дискретных сетей, которые имеют внутренние петли обратной связи, встроенные во внешние петли обратной связи (вложенные петли). Если дискретную сеть можно нарисовать в виде графа потока сигналов, то применение правила Мейсона даст передаточную функцию H (z) этой сети в z-области.

Сложность и вычислительные приложения

Правило Мейсона может увеличиваться факториально, потому что количество путей в ориентированном графе резко увеличивается. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим полный ориентированный граф на вершины, имея ребро между каждой парой вершин. Есть форма пути к для каждого из перестановки промежуточных вершин. Таким образом Гауссово исключение в общем случае более эффективен.

Тем не менее, правило Мейсона характеризует передаточные функции взаимосвязанных систем одновременно алгебраическим и комбинаторным образом, что позволяет делать общие утверждения и другие вычисления в теории алгебраических систем. Хотя во время исключения по Гауссу происходит множество обратных событий, правило Мейсона естественным образом объединяет их в один квазиобратный. Общая форма

Где, как описано выше, представляет собой сумму продуктов цикла, каждый из которых обычно попадает в идеальный (например, строго причинные операторы). Фракции этой формы составляют подкольцо из поле рациональных функций. Это наблюдение переносится на некоммутативный случай,[3] хотя само правило Мэйсона должно быть заменено Правило Ригла.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Мейсон, Сэмюэл Дж. (Июль 1956 г.). «Теория обратной связи - дополнительные свойства графов потоков сигналов» (PDF). Труды IRE. 44 (7): 920–926. Дои:10.1109 / jrproc.1956.275147. HDL:1721.1/4778. S2CID  18184015.
  2. ^ Куо, Бенджамин С. (1967). Системы автоматического управления (2-е изд.). Прентис-Холл. С. 59–60.
  3. ^ Pliam, J.O. и Ли, Э.Б. (1995). «О глобальных свойствах взаимосвязанных систем». IEEE Trans. Circuits and Syst. я. 42 (12): 1013–1017. Дои:10.1109/81.481196.CS1 maint: использует параметр авторов (связь)

Рекомендации

  • Болтон, В. Ньюнес (1998). Справочник по технике управления. Оксфорд: Newnes.
  • Ван Валкенбург, М. Э. (1974). Сетевой анализ (3-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл.