Частота мацубары - Википедия - Matsubara frequency

В тепловая квантовая теория поля, то Частота мацубары суммирование (названо в честь Такео Мацубара ) - суммирование по дискретным мнимым частотам. Он принимает следующий вид

куда - обратная температура, а частоты обычно берутся из любого из следующих двух наборов (с ):

бозонные частоты:
фермионные частоты:

Суммирование сходится, если стремится к 0 в ограничивать быстрее, чем . Суммирование по бозонным частотам обозначается как ), а по фермионным частотам обозначается как ). - статистический знак.

В дополнение к тепловой квантовой теории поля метод суммирования частот Мацубары также играет важную роль в схематическом подходе к физике твердого тела, а именно, если рассматривать диаграммы при конечной температуре.[1][2]

Вообще говоря, если , определенный Диаграмма Фейнмана представлен интегралом , при конечной температуре она определяется суммой .

Суммирование частот Мацубары

Общий формализм

Рисунок 1.
Фигура 2.

Уловка для оценки суммирования частот Мацубары заключается в использовании весовой функции Мацубары. часη(z) который имеет простой полюса расположен точно в . Весовые функции в бозонном случае η = +1 и фермионный случай η = −1 различаются. О выборе весовой функции мы поговорим позже. С помощью весовой функции суммирование может быть заменено контурным интегралом, окружающим мнимую ось.

Как и на рис. 1, весовая функция генерирует полюса (красные кресты) на мнимой оси. Контурный интеграл подбирает остаток этих полюсов, что эквивалентно суммированию.

Путем деформации контурных линий охватить полюса грамм(z) (зеленый крест на рис.2), суммирование формально можно произвести, суммируя остаток грамм(z)часη(z) по всем полюсам грамм(z),

Обратите внимание, что появляется знак минус, потому что контур деформируется, чтобы охватить полюса по часовой стрелке, что приводит к отрицательному остатку.

Выбор весовой функции Мацубары

Для создания простых полюсов на частотах бозонов , можно выбрать любой из следующих двух типов весовых функций Мацубары

в зависимости от того, в какой полуплоскости нужно контролировать сходимость. контролирует сходимость в левой полуплоскости (Rez <0), а контролирует сходимость в правой полуплоскости (Rez > 0). Здесь это Бозе-Эйнштейн функция распределения.

Аналогичный случай для частот фермионов. Есть также два типа весовых функций Мацубары, которые производят простые полюса на

контролирует сходимость в левой полуплоскости (Rez <0), а контролирует сходимость в правой полуплоскости (Rez > 0). Здесь это Ферми – Дирак функция распределения.

В приложении к вычислению функции Грина грамм(z) всегда имеют структуру

который расходится в левой полуплоскости при 0 <τ < β. Для контроля сходимости всегда выбирается весовая функция первого типа. . Однако нет необходимости контролировать сходимость, если суммирование Мацубары не расходится, в этом случае любой выбор весовой функции Мацубары приведет к идентичным результатам.

Таблица суммирования частот Мацубары

Следующая таблица завершает суммирование частот Мацубары для некоторых простых рациональные функции грамм(z).

η = ± 1 обозначает статистический знак.

[1]
[1]
[2]
[2]

[1] Поскольку суммирование не сходится, результат может отличаться при другом выборе весовой функции Мацубары.

[2] (1 ↔ 2) обозначает то же выражение, что и предыдущее, но с замененными индексами 1 и 2.

Приложения в физике

Предел нулевой температуры

В этом пределе , суммирование частот Мацубары эквивалентно интегрированию мнимой частоты по мнимой оси.

Некоторые интегралы не сходятся. Их следует упорядочить, введя частоту отсечки , а затем вычитая расходящуюся часть (-зависимый) от интеграла до перехода к пределу . Например, свободная энергия получается интегралом от логарифма,

Это означает, что при нулевой температуре свободная энергия просто связана с внутренней энергией ниже химического потенциала. Также функция распределения получается следующим интегралом

который показывает поведение ступенчатой ​​функции при нулевой температуре.

Связанные с функцией Грина

Область времени

Рассмотрим функцию грамм(τ), заданный на мнимом интервале времени (0,β). Его можно выразить в виде ряда Фурье,

где частота принимает только дискретные значения с интервалом 2π/β.

Конкретный выбор частоты зависит от граничного условия функции грамм(τ). В физике грамм(τ) обозначает представление в мнимом времени функции Грина

Он удовлетворяет периодическому граничному условию грамм(τ+β)=грамм(τ) для бозонного поля. В то время как для фермионного поля граничное условие антипериодично грамм(τ + β) = −грамм(τ).

Учитывая функцию Грина грамм() в частотной области его представление мнимого времени грамм(τ) можно оценить суммированием частот Мацубары. В зависимости от суммируемых частот бозонов или фермионов полученный грамм(τ) могут быть разными. Чтобы различить, определите

с

Обратите внимание, что τ ограничена в главном интервале (0,β). Граничное условие можно использовать для расширения грамм(τ) вне основного интервала. Некоторые часто используемые результаты приведены в следующей таблице.

Эффект переключения оператора

Здесь решающую роль играет малое воображаемое время. Порядок операторов изменится, если малое мнимое время изменит знак.

Функция распределения

Оценка функции распределения становится сложной из-за разрыва функции Грина грамм(τ) в τ = 0. Чтобы оценить суммирование

оба варианта весовой функции приемлемы, но результаты разные. Это можно понять, если нажать грамм(τ) далеко от τ = 0 немного, то для контроля сходимости нужно взять как весовая функция для , и за .

Бозоны

Фермионы

Свободная энергия

Бозоны

Фермионы

Оценка диаграмм

Часто встречающиеся диаграммы оцениваются здесь с настройкой одного режима. Проблема множественных мод может быть решена с помощью интеграла спектральной функции.

Собственная энергия фермиона

Пузырь с отверстиями для частиц

Пузырь частицы-частицы

Приложение: Свойства функций распределения

Функции распределения

Общие обозначения обозначает либо Bose (η = +1) или Ферми (η = −1) функция распределения

При необходимости специальные обозначения пB и пF используются для обозначения функций распределения Бозе и Ферми соответственно

Связь с гиперболическими функциями

Функция распределения Бозе связана с гиперболической функцией котангенса соотношением

Функция распределения Ферми связана с функцией гиперболического тангенса соотношением

Паритет

Обе функции распределения не имеют определенной четности,

Другая формула выражается в функция

Однако их производные имеют определенный паритет.

Бозе-фермиевская трансмутация

Функции распределения Бозе и Ферми трансмутируются при сдвиге переменной на фермионную частоту,

Однако сдвиг по бозонным частотам не имеет значения.

Производные

Первый заказ

По продукту:

В пределе нулевой температуры:

Второго порядка

Формула различия

Дело а = 0

Дело а → 0

Дело б → 0

Функция cη

Определение:

Для типа Bose и Fermi:

Связь с гиперболическими функциями

Очевидно, что положительно определен.

Чтобы избежать переполнения при численном расчете, используются функции tanh и coth.

Дело а = 0

Дело б = 0

Предел низкой температуры

За а = 0:

За б = 0:

В целом,

Смотрите также

внешняя ссылка

Агустин Ньето: Оценка сумм по частотам мацубары. arXiv: hep-ph / 9311210
Репозиторий Github: MatsubaraSum Пакет Mathematica для суммирования частот Мацубары.
А. Тахеридехкорди, С. Курно, J.P.F. ЛеБлан: Алгоритмическая интеграция Мацубары для моделей типа Хаббарда.. arXiv: cond-mat / 1808.05188

Рекомендации

  1. ^ А. Абрикосов, Л. Горьков, И. Дзялошинский: Методы квантовой теории поля в статистической физике., Нью-Йорк, Dover Publ., 1975, ISBN  0-486-63228-8
  2. ^ [Пирс Коулман]: Введение в физику многих тел., Cambridge University Press., 2015, ISBN  978-0-521-86488-6