Модель привязанности, основанная на посредничестве - Mediation-driven attachment model

в безмасштабная сеть теория (математическая теория сетей или теория графов ), а модель привязанности, управляемой посредничеством (MDA) кажется, воплощает преференциальная привязанность Правило неявно, а неявно. Согласно правилу MDA, новый узел сначала выбирает узел из существующей сети случайным образом и соединяется не с ним, а с одним из соседей, также выбранных случайным образом.

Барабаши и Альберт в 1999 г. отметили в своей основополагающей статье ^[1] отметили, что (i) большинство естественных и искусственных сетей не статичны, скорее они растут со временем, и (ii) новые узлы не соединяются с уже подключенными случайным образом, а предпочтительнее по своим степеням. Более поздний механизм называется правилом преференциальной привязанности (PA), который воплощает в себе феномен «богатый становится богатым» в экономике. В их первой модели, известной как Модель Барабаши – Альберта, Барабаши и Альберт (модель BA) выбирают

${ displaystyle Pi (i) = { frac {k_ {i}} { sum _ {j = 1} k_ {j}}}}$

где, ${ Displaystyle Pi (я)}$ вероятность того, что новый узел выберет узел ${ displaystyle i}$ от помеченных узлов существующей сети. Он напрямую воплощает в себе механизм «богатые становятся богатыми».

Недавно Хасан и другие. предложила модель привязанности, основанную на посредничестве, которая, кажется, воплощает правило PA, но не напрямую, а скорее замаскировано.^[2] В модели MDA входящий узел выбирает существующий узел для подключения, сначала выбирая один из существующих узлов случайным образом, который рассматривается как посредник. Затем новый узел соединяется с одним из соседей посредника, который также выбирается случайным образом. Теперь вопрос: какова вероятность ${ Displaystyle Pi (я)}$ что уже существующий узел ${ displaystyle i}$ наконец-то выбран, чтобы связать его с новым узлом? Скажем, узел ${ displaystyle i}$ имеет степень ${ displaystyle k_ {i}}$ и, следовательно, он имеет ${ displaystyle k_ {i}}$ соседи. Считайте, что соседи ${ displaystyle i}$ помечены ${ displaystyle 1,2, ldots, k_ {i}}$ которые имеют степени ${ displaystyle k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {k_ {i}}}$ соответственно. Можно добраться до узла ${ displaystyle i}$ от каждого из этих ${ displaystyle k_ {i}}$ узлов с вероятностями, обратными их соответствующим степеням, и каждый из ${ displaystyle k_ {i}}$ узлы, вероятно, будут выбраны случайным образом с вероятностью ${ displaystyle 1 / N}$. Таким образом, вероятность ${ Displaystyle Pi (я)}$ модели MDA:

${ displaystyle Pi (i) = { frac {1} {N}} left [{ frac {1} {k_ {1}}} + { frac {1} {k_ {2}}} + cdots + { frac {1} {k_ {k_ {i}}}} right] = { frac { sum _ {j = 1} ^ {k_ {i}} { frac {1} {k_ {j}}}} {N}}.}$

Его можно переписать как

${ displaystyle Pi (i) = { frac {k_ {i}} {N}} cdot { frac { sum _ {j = 1} ^ {k_ {i}} { frac {1} { k_ {j}}}} {k_ {i}}},}$

где фактор ${ displaystyle { frac { sum _ {j = 1} ^ {k_ {i}} { frac {1} {k_ {j}}}} {k_ {i}}}}$ является обратной величиной гармонического среднего (IHM) степеней ${ displaystyle k_ {i}}$ соседи узла ${ displaystyle i}$. Обширное численное моделирование предполагает, что для небольших ${ displaystyle m}$ значение IHM каждого узла колеблется настолько сильно, что среднее значение IHM по всей сети не имеет значения. Однако для больших ${ displaystyle m}$ (специально ${ displaystyle m}$ примерно больше 14) распределение значения IHM всей сети становится искаженным влево по гауссовскому типу, и среднее значение начинает иметь значение, которое становится постоянным значением в большом ${ displaystyle m}$ предел. В этом пределе обнаруживается, что ${ Displaystyle Пи (я) propto k_ {я}}$ что и есть правило PA. Это означает, что чем выше количество ссылок (степень) у узла, тем выше его шанс получить больше ссылок, поскольку они могут быть достигнуты большим количеством способов через посредников, что по сути воплощает интуитивную идею механизма «богатый - становитесь еще богаче». Таким образом, можно увидеть, что сеть MDA следует правилу PA, но замаскировано. Причем для небольших ${ displaystyle m}$ MFA больше не действует, а вероятность прикрепления ${ Displaystyle Pi (я)}$ приобретает суперпреференциальный характер.

Идею правила MDA можно найти в процессе роста взвешенная планарная стохастическая решетка (WPSL). Существующий узел (центр каждого блока WPSL рассматривается как узлы, а общая граница между блоками как связи между соответствующими узлами) во время процесса получает ссылки только в том случае, если выбран один из его соседей, а не он сам. Это означает, что чем выше количество ссылок (или степень) у узла, тем выше его шанс получить больше ссылок, поскольку к ним можно добраться большим количеством способов. По сути, он воплощает интуитивную идею правила PA. Следовательно, двойник WPSL - это сеть, которая, как видно, следует правилу предпочтительного подключения, но замаскировано. Действительно, его распределение степеней, как было установлено Барабаши и Альбертом, демонстрирует степенной закон, как один из важнейших компонентов.^[3][4]

Сеть подключений, управляемая посредником, размером 256 узлов

Распределение степеней: Два фактора, которые значимы и не зависят от среднего значения IHM. ${ displaystyle N}$ означает, что можно применить приближение среднего поля (MFA). То есть в рамках этого приближения можно заменить истинное значение ИГМ ${ displaystyle beta / m}$ каждого узла по их среднему значению, где коэффициент ${ displaystyle m}$ что количество ребер, с которыми идут новые узлы, вводится для удобства. Уравнение скорости, которое необходимо решить, становится точно таким же, как в модели BA, и, следовательно, сеть, которая возникает после правила MDA, также безмасштабный в природе. Единственная разница в том, что показатель степени ${ displaystyle gamma = {{1} over { beta (m)}} + 1}$ зависит от ${ displaystyle m}$ где как в модели БА ${ displaystyle gamma = 3}$ независим от ${ displaystyle m}$.

Графики распределения степеней для модели MDA. Отдельные графики предназначены для входящих узлов, входящих ребер. м = 1, м = 15 и м = 100. На вставке показано изменение показателя степени распределения в зависимости отм.

Вероятность сохранения лидерства

В растущей сети не все узлы одинаково важны. Степень их важности измеряется величиной их степени. ${ displaystyle k}$. Узлы, которые связаны с необычно большим количеством других узлов, то есть узлы с исключительно высоким ${ displaystyle k}$ значение, известны как концентраторы. Они особенные, потому что их существование делает среднее расстояние между узлами, измеряемое в единицах количества связей, невероятно малым, тем самым играя ключевую роль в распространении слухов, мнений, болезней, компьютерных вирусов и т. Д.^[5] Поэтому важно знать свойства самого крупного хаба, который мы считаем лидером. Как и в обществе, лидерство в растущей сети непостоянно. То есть, когда узел становится лидером, это не означает, что он остается лидером. до бесконечности. Интересный вопрос: как долго лидер сохраняет это свойство лидерства по мере развития сети? Чтобы найти ответ на этот вопрос, определим вероятность настойчивости лидерства ${ Displaystyle F ( тау)}$ этот лидер сохраняет лидерство по крайней мере до времени ${ Displaystyle тау}$. Вероятность сохранения представляла интерес для многих различных систем, начиная от динамики укрупнения до флуктуирующих границ раздела или полимерных цепей.

Два графика вверху показывают степенное поведение вероятности настойчивости лидерства. Чтобы оценить роль m, мы даем вероятность сохранения лидерства для двух значений (m = 1 и m = 100) на одном графике: (а) сети BA и (b) сети MDA. Два графика внизу предназначены для показателя устойчивости как функции от m в (c) сетях BA и (d) сетях MDA.

Основная идея правила MDA, однако, не полностью нова, поскольку либо это, либо аналогичные модели можно найти в нескольких более ранних работах, хотя их подход, последующий анализ и их результаты отличаются от наших. Например, Сарамаки и Каски представили модель на основе случайного блуждания.^[6] Еще одна модель, предложенная Боккалетти и другие. может показаться похожим на наш, но при ближайшем рассмотрении он заметно отличается.^[7] Недавно Ян { it et al.} Также дал форму для ${ Displaystyle Pi (я)}$ и прибегли к приближению среднего поля.^[8] Однако характер их выражений существенно отличается от того, что изучал Хасан. и другие.. Еще одна тесно связанная модель - это модель Growing Network with Redirection (GNR), представленная Габелем, Крапивским и Реднером, где на каждом временном шаге новый узел либо присоединяется к случайно выбранному целевому узлу с вероятностью ${ displaystyle 1-r}$, или родителю цели с вероятностью ${ displaystyle r = 1}$.^[9] Модель GNR с ${ displaystyle r = 1}$ может показаться похожим на модель MDA. Однако, в отличие от модели GNR, модель MDA предназначена для ненаправленных сетей, и что новый канал может соединяться с любым соседом родительского посредника или нет. Еще одно отличие состоит в том, что в модели MDA новый узел может присоединиться к существующей сети с помощью ${ displaystyle m}$ края и в модели GNR считается ${ displaystyle m = 1}$ только случай.

использованная литература