Модальное μ-исчисление - Modal μ-calculus

В теоретическая информатика, то модальное μ-исчисление (Lμ, L_μ, иногда просто μ-исчисление, хотя это может иметь более общее значение) является расширением пропозициональный модальная логика (с много модальностей ) добавив наименьшая фиксированная точка оператор μ и оператор наибольшая фиксированная точка оператор ${displaystyle u}$ , таким образом логика с фиксированной точкой.

(Пропозициональное, модальное) μ-исчисление происходит от Дана Скотт и Жако де Баккер,^[1] и был развит Декстер Козен^[2] в наиболее используемую в настоящее время версию. Он используется для описания свойств маркированные переходные системы и для проверка эти свойства. Много темпоральная логика можно закодировать в μ-исчислении, включая CTL * и его широко используемые фрагменты -линейная темпоральная логика и вычислительная древовидная логика.^[3]

Алгебраическая точка зрения - рассматривать это как алгебра из монотонные функции через полная решетка, с операторами, состоящими из функциональный состав плюс операторы наименьшей и наибольшей фиксированной точки; с этой точки зрения модальное μ-исчисление находится над решеткой алгебра степенных множеств.^[4] В семантика игры μ-исчисления связано с игры для двух игроков с идеальная информация, особенно бесконечное паритетные игры.^[5]

Синтаксис

Позволять п (предложения) и А (действия) - два конечных набора символов, и пусть V - счетно бесконечное множество переменных. Набор формул (пропозиционального, модального) μ-исчисления определяется следующим образом:

каждое предложение и каждая переменная - это формула;
если ${displaystyle phi}$ и ${displaystyle psi}$ формулы, то ${displaystyle phi wedge psi}$ это формула.
если ${displaystyle phi}$ формула, то ${displaystyle например, фи}$ это формула;
если ${displaystyle phi}$ это формула и ${displaystyle a}$ это действие, то ${displaystyle [a] phi}$ это формула; (произносится либо: ${displaystyle a}$ коробка ${displaystyle phi}$ или после ${displaystyle a}$ обязательно ${displaystyle phi}$ )
если ${displaystyle phi}$ это формула и ${displaystyle Z}$ переменная, тогда ${displaystyle u Z.phi}$ является формулой при условии, что каждое свободное вхождение ${displaystyle Z}$ в ${displaystyle phi}$ происходит положительно, т.е. в рамках четного числа отрицаний.

(Понятия свободных и связанных переменных как обычно, где ${displaystyle u}$ - единственный оператор привязки.)

Учитывая приведенные выше определения, мы можем обогатить синтаксис:

${displaystyle phi lor psi}$ смысл ${displaystyle, например (например, phi land, например, psi)}$
${displaystyle langle aangle phi}$ (произносится либо: ${displaystyle a}$ алмаз ${displaystyle phi}$ или после ${displaystyle a}$ возможно ${displaystyle phi}$ ) смысл ${displaystyle eg [a] eg phi}$
${displaystyle mu Z.phi}$ средства ${displaystyle eg u Z. eg phi [Z: = eg Z]}$ , куда ${displaystyle phi [Z: = например, Z]}$ означает замену ${displaystyle, например, Z}$ за ${displaystyle Z}$ в целом бесплатные вхождения из ${displaystyle Z}$ в ${displaystyle phi}$ .

Первые две формулы знакомы по классической пропозициональное исчисление и соответственно минимальный мультимодальная логика K.

Обозначение ${displaystyle mu Z.phi}$ (и его дуал) вдохновлены лямбда-исчисление; цель состоит в том, чтобы обозначить наименьшую (и, соответственно, наибольшую) фиксированную точку выражения ${displaystyle phi}$ где «минимизация» (и, соответственно, «максимизация») находятся в переменной ${displaystyle Z}$ , как в лямбда-исчислении ${displaystyle lambda Z.phi}$ - функция с формулой ${displaystyle phi}$ в связанная переменная ${displaystyle Z}$ ;^[6] подробнее см. денотационную семантику ниже.

Денотационная семантика

Модели (пропозиционального) μ-исчисления задаются как маркированные переходные системы ${displaystyle (S, R, V)}$ куда:

${displaystyle S}$ набор состояний;
${displaystyle R}$ сопоставляется с каждой меткой ${displaystyle a}$ бинарное отношение на ${displaystyle S}$ ;
${displaystyle V: P o 2 ^ {S}}$ , отображается в каждое предложение ${displaystyle pin P}$ множество состояний, в которых утверждение верно.

Учитывая помеченную систему перехода ${displaystyle (S, R, V)}$ и интерпретация ${displaystyle i}$ переменных ${displaystyle Z}$ из ${displaystyle mu}$ -исчисление, ${displaystyle [! [cdot]!] _ {i}: phi o 2 ^ {S}}$ , это функция, определяемая следующими правилами:

${displaystyle [! [p]!] _ {i} = V (p)}$ ;
${displaystyle [! [Z]!] _ {i} = i (Z)}$ ;
${displaystyle [! [phi wedge psi]!] _ {i} = [! [phi]!] _ {i} cap [! [psi]!] _ {i}}$ ;
${displaystyle [! [например, фи]!] _ {i} = Ssmallsetminus [! [фи]!] _ {i}}$ ;
${displaystyle [! [[a] phi]!] _ {i} = {sin Smid forall tin S, (s, t) in R_ {a} ightarrow tin [! [phi]!] _ {i}}}$ ;
${displaystyle [! [u Z.phi]!] _ {i} = igcup {Tsubseteq Smid Tsubseteq [! [phi]!] _ {i [Z: = T]}}}$ , куда ${displaystyle i [Z: = T]}$ карты ${displaystyle Z}$ к ${displaystyle T}$ при сохранении отображений ${displaystyle i}$ где-либо еще.

По двойственности интерпретация других основных формул такова:

${displaystyle [! [phi vee psi]!] _ {i} = [! [phi]!] _ {i} чашка [! [psi]!] _ {i}}$ ;
${displaystyle [! [langle aangle phi]!] _ {i} = {sin Smid существует олово S, (s, t) в R_ {a} олово клина [! [phi]!] _ {i}}}$ ;
${displaystyle [! [mu Z.phi]!] _ {i} = igcap {Tsubseteq Smid [! [phi]!] _ {i [Z: = T]} подэтап T}}$

Менее формально это означает, что для данной переходной системы ${displaystyle (S, R, V)}$ :

${displaystyle p}$ выполняется во множестве состояний ${displaystyle V (p)}$ ;
${displaystyle phi wedge psi}$ выполняется в каждом состоянии, где ${displaystyle phi}$ и ${displaystyle psi}$ оба держатся;
${displaystyle eg phi}$ выполняется в каждом состоянии, где ${displaystyle phi}$ не держит.
${displaystyle [a] phi}$ держит в состоянии ${displaystyle s}$ если каждый ${displaystyle a}$ -переход, ведущий из ${displaystyle s}$ приводит к состоянию, когда ${displaystyle phi}$ держит.
${displaystyle langle aangle phi}$ держит в состоянии ${displaystyle s}$ если существует ${displaystyle a}$ -переход, ведущий из ${displaystyle s}$ что приводит к состоянию, когда ${displaystyle phi}$ держит.
${displaystyle u Z.phi}$ выполняется в любом состоянии в любом наборе ${displaystyle T}$ так что, когда переменная ${displaystyle Z}$ установлен на ${displaystyle T}$ , тогда ${displaystyle phi}$ относится ко всем ${displaystyle T}$ . (От Теорема Кнастера – Тарского следует, что ${displaystyle [! [u Z.phi]!] _ {i}}$ это наибольшая фиксированная точка из ${displaystyle [! [phi]!] _ {я [Z: = T]}}$ , и ${displaystyle [! [mu Z.phi]!] _ {i}}$ это наименьшая фиксированная точка.)

Интерпретации ${displaystyle [a] phi}$ и ${displaystyle langle aangle phi}$ на самом деле "классические" из динамическая логика. Дополнительно оператор ${displaystyle mu}$ можно интерпретировать как живость («рано или поздно происходит что-то хорошее») и ${displaystyle u}$ в качестве безопасность («ничего плохого никогда не происходит») в Лесли Лэмпорт Неофициальная классификация.^[7]

Примеры

${displaystyle u Z.phi клин [a] Z}$ интерпретируется как " ${displaystyle phi}$ верно на каждом а-дорожка".^[7] Идея в том, что " ${displaystyle phi}$ верно на каждом а-path "можно аксиоматически определить как это (самое слабое) предложение ${displaystyle Z}$ что подразумевает ${displaystyle phi}$ и которое остается верным после обработки любого а-метка. ^[8]
${displaystyle mu Z.phi vee langle aangle Z}$ интерпретируется как наличие пути по а-переходы в состояние, когда ${displaystyle phi}$ держит.^[9]
Свойство системного существа тупик -свободно, означающее отсутствие состояний без исходящих переходов и, кроме того, что путь к такому состоянию не существует, выражается формулой^[9]

{displaystyle u Z.left (igvee _ {ain A} langle aangle op wedge igwedge _ {ain A} [a] Zight)}

Проблемы с решением

Удовлетворенность формулы модального μ-исчисления EXPTIME-завершено.^[10] Что касается линейной временной логики,^[11] проверка модели, выполнимости и валидности линейного модального μ-исчисления являются PSPACE-полный.^[12]

Смотрите также

Примечания

^ Скотт, Дана; Баккер, Якобус (1969). «Теория программ». Неопубликованная рукопись.
^ Козен, Декстер (1982). «Результаты по μ-исчислению высказываний». Автоматы, языки и программирование. ИКАЛП. 140. С. 348–359. Дои:10.1007 / BFb0012782. ISBN 978-3-540-11576-2.
^ Кларк стр.108, теорема 6; Эмерсон П. 196
^ Арнольд и Нивинский, стр. Viii-x и глава 6
^ Арнольд и Нивинский, стр. Viii-x и глава 4
^ Арнольд и Нивиньски, стр. 14
^ ^а ^б Брэдфилд и Стирлинг, стр. 731
^ Брэдфилд и Стирлинг, стр. 6
^ ^а ^б Эрих Гредель; Фокион Г. Колайтис; Леонид Либкин; Маартен Маркс; Джоэл Спенсер; Моше Й. Варди; Yde Venema; Скотт Вайнштейн (2007). Теория конечных моделей и ее приложения. Springer. п. 159. ISBN 978-3-540-00428-8.
^ Клаус Шнайдер (2004). Верификация реактивных систем: формальные методы и алгоритмы. Springer. п. 521. ISBN 978-3-540-00296-3.
^ Sistla, A. P .; Кларк, Э. М. (1 июля 1985 г.). «Сложность пропозициональной линейной темпоральной логики». J. ACM. 32 (3): 733–749. Дои:10.1145/3828.3837. ISSN 0004-5411.
^ Варди, М. Ю. (1988-01-01). «Временное исчисление фиксированных точек». Материалы 15-го симпозиума ACM SIGPLAN-SIGACT по принципам языков программирования. ПОПЛ '88. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: ACM: 250–259. Дои:10.1145/73560.73582. ISBN 0897912527.

внешняя ссылка

Софи Пинчинат, Логика, автоматы и игры видеозапись лекции на ANU Logic Summer School '09

[1] Скотт, Дана; Баккер, Якобус (1969). «Теория программ». Неопубликованная рукопись.

[Kozen1982-2] Козен, Декстер (1982). «Результаты по μ-исчислению высказываний». Автоматы, языки и программирование. ИКАЛП. 140. С. 348–359. Дои:10.1007 / BFb0012782. ISBN 978-3-540-11576-2.

[3] Кларк стр.108, теорема 6; Эмерсон П. 196

[4] Арнольд и Нивинский, стр. Viii-x и глава 6

[5] Арнольд и Нивинский, стр. Viii-x и глава 4

[6] Арнольд и Нивиньски, стр. 14

[Bradfield_and_Stirling,_p._731-7] а ^б Брэдфилд и Стирлинг, стр. 731

[8] Брэдфилд и Стирлинг, стр. 6

[GrädelKolaitis2007-9] а ^б Эрих Гредель; Фокион Г. Колайтис; Леонид Либкин; Маартен Маркс; Джоэл Спенсер; Моше Й. Варди; Yde Venema; Скотт Вайнштейн (2007). Теория конечных моделей и ее приложения. Springer. п. 159. ISBN 978-3-540-00428-8.

[Schneider2004-10] Клаус Шнайдер (2004). Верификация реактивных систем: формальные методы и алгоритмы. Springer. п. 521. ISBN 978-3-540-00296-3.

[11] Sistla, A. P .; Кларк, Э. М. (1 июля 1985 г.). «Сложность пропозициональной линейной темпоральной логики». J. ACM. 32 (3): 733–749. Дои:10.1145/3828.3837. ISSN 0004-5411.

[12] Варди, М. Ю. (1988-01-01). «Временное исчисление фиксированных точек». Материалы 15-го симпозиума ACM SIGPLAN-SIGACT по принципам языков программирования. ПОПЛ '88. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: ACM: 250–259. Дои:10.1145/73560.73582. ISBN 0897912527.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]