Поперечное сечение передачи импульса - Momentum-transfer cross section

В физика, и особенно теория рассеяния, то сечение передачи импульса (иногда известный как импульс-транспорт поперечное сечение^[1]) является эффективным рассеяние поперечное сечение полезно для описания среднего переданный импульс от частицы при столкновении с целью. По сути, он содержит всю информацию о процессе рассеяния, необходимую для расчета среднего переданного импульса, но игнорирует другие детали об угле рассеяния.

Сечение передачи импульса ${ displaystyle sigma _ { mathrm {tr}}}$ определяется в терминах (азимутально симметричной и независимой от импульса) дифференциальное сечение ${ displaystyle { frac { mathrm {d} sigma} { mathrm {d} Omega}} ( theta)}$ к

${ displaystyle sigma _ { mathrm {tr}} = int (1- cos theta) { frac { mathrm {d} sigma} { mathrm {d} Omega}} ( theta) mathrm {d} Omega}$

${ displaystyle = int int (1- cos theta) { frac { mathrm {d} sigma} { mathrm {d} Omega}} ( theta) sin theta mathrm {d } theta mathrm {d} phi}$.

Сечение передачи импульса можно записать через фазовые сдвиги от частичный волновой анализ в качестве ^[2]

${ displaystyle sigma _ { mathrm {tr}} = { frac {4 pi} {k ^ {2}}} sum _ {l = 0} ^ { infty} (l + 1) sin ^ {2} [ delta _ {l + 1} (k) - delta _ {l} (k)].}$

Объяснение

Фактор ${ Displaystyle 1- соз тета}$ возникает следующим образом. Пусть падающая частица движется по ${ displaystyle z}$ось с векторным импульсом

${ displaystyle { vec {p}} _ { mathrm {in}} = q { hat {z}}}$.

Предположим, что частица разлетается от мишени с полярным углом ${ displaystyle theta}$ и азимутальный угол ${ displaystyle phi}$ самолет. Его новый импульс

${ displaystyle { vec {p}} _ { mathrm {out}} = q ' cos theta { hat {z}} + q' sin theta cos phi { hat {x}} + q ' sin theta sin phi { hat {y}}}$.

Для столкновения с гораздо более тяжелой целью, чем поражающая частица (например, электрон, падающий на атом или ион), ${ displaystyle q ' backsimeq q}$ так

${ displaystyle { vec {p}} _ { mathrm {out}} simeq q cos theta { hat {z}} + q sin theta cos phi { hat {x}} + q sin theta sin phi { hat {y}}}$

За счет сохранения импульса цель приобрела импульс

${ displaystyle Delta { vec {p}} = { vec {p}} _ { mathrm {in}} - { vec {p}} _ { mathrm {out}} = q (1- cos theta) { hat {z}} - q sin theta cos phi { hat {x}} - q sin theta sin phi { hat {y}}}$.

Теперь, если от цели разлетается много частиц, и предполагается, что цель имеет азимутальную симметрию, то радиальная (${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$) компоненты переданного импульса усредняются до нуля. Средняя передача импульса будет всего ${ Displaystyle д (1- соз тета) { шляпа {z}}}$. Если провести полное усреднение по всем возможным событиям рассеяния, мы получим

${ displaystyle Delta { vec {p}} _ { mathrm {avg}} = langle Delta { vec {p}} rangle _ { Omega}}$.

${ displaystyle = sigma _ { mathrm {tot}} ^ {- 1} int Delta { vec {p}} ( theta, phi) { frac { mathrm {d} sigma} { mathrm {d} Omega}} ( theta) mathrm {d} Omega}$.

${ displaystyle = sigma _ { mathrm {tot}} ^ {- 1} int left [q (1- cos theta) { hat {z}} - q sin theta cos phi { hat {x}} - q sin theta sin phi { hat {y}} right] { frac { mathrm {d} sigma} { mathrm {d} Omega}} ( theta) mathrm {d} Omega}$

${ displaystyle = q { hat {z}} sigma _ { mathrm {tot}} ^ {- 1} int (1- cos theta) { frac { mathrm {d} sigma} { mathrm {d} Omega}} ( theta) mathrm {d} Omega}$

${ displaystyle = q { hat {z}} sigma _ { mathrm {tr}} / sigma _ { mathrm {tot}}}$

где полное сечение

${ displaystyle sigma _ { mathrm {tot}} = int { frac { mathrm {d} sigma} { mathrm {d} Omega}} ( theta) mathrm {d} Omega}$.

Здесь усреднение выполняется с использованием расчет ожидаемой стоимости (видеть ${ displaystyle { frac { mathrm {d} sigma} { mathrm {d} Omega}} ( theta) / sigma _ { mathrm {tot}}}$ как функция плотности вероятности). Следовательно, для данного полного сечения нет необходимости вычислять новые интегралы для каждого возможного импульса, чтобы определить средний импульс, передаваемый цели. Просто нужно вычислить ${ displaystyle sigma _ { mathrm {tr}}}$.

Заявление

Это понятие используется при расчете радиус заряда ядер, таких как протон и дейтрон рассеяние электронов эксперименты.

С этой целью полезная величина, называемая вектором рассеяния q, имеющим размерность обратной длины, определяется как функция энергии E и угла рассеяния θ:

${ displaystyle q = { frac {{ frac {2E} { hbar c}} sin ( theta / 2)} {{[1 + { frac {2E} {Mc ^ {2}}} грех ^ {2} ( theta / 2)}] ^ {1/2}}}}$

Рекомендации