Монотонная сравнительная статика - Википедия - Monotone comparative statics

Монотонная сравнительная статика является подполе сравнительная статика который фокусируется на условиях, при которых эндогенные переменные подвергаются монотонным изменениям (то есть либо увеличиваются, либо уменьшаются), когда происходит изменение экзогенных параметров. Традиционно сравнительные результаты в экономике получают с помощью Теорема о неявной функции, подход, который требует вогнутости и дифференцируемости целевой функции, а также внутренности и единственности оптимального решения. Методы монотонной сравнительной статики обычно обходятся без этих предположений. Он фокусируется на основном свойстве, лежащем в основе монотонной сравнительной статики, которое является формой взаимодополняемости между эндогенной переменной и экзогенным параметром. Грубо говоря, проблема максимизации демонстрирует комплементарность, если более высокое значение экзогенного параметра увеличивает предельную отдачу эндогенной переменной. Это гарантирует, что набор решений задачи оптимизации увеличивается по экзогенному параметру.

Основные результаты

Мотивация

Позволять ${ Displaystyle X substeq mathbb {R}}$ и разреши ${ Displaystyle е ( cdot; s): X rightarrow mathbb {R}}$ - семейство функций, параметризованных ${ displaystyle s in S}$, куда ${ displaystyle (S, geq _ {S})}$ это частично заказанный набор (или для краткости позет). Каким образом переписка ${ displaystyle arg max limits _ {x in X} f (x; s)}$ варьироваться в зависимости от ${ displaystyle s}$?

Стандартный подход сравнительной статики: Предположим, что множество ${ displaystyle X}$ компактный интервал и ${ Displaystyle е ( cdot; s)}$ является непрерывным дифференцируемый, строго квазивогнутый функция ${ displaystyle x}$. Если ${ displaystyle { bar {x}} (s)}$ является единственным максимизатором ${ Displaystyle е ( cdot; s)}$, достаточно показать, что ${ displaystyle f '({ bar {x}} (s); s') geq 0}$ для любого ${ displaystyle s '> s}$, что гарантирует, что ${ displaystyle { bar {x}} (s)}$ увеличивается в ${ displaystyle s}$. Это гарантирует смещение оптимума вправо, т. Е. ${ displaystyle { bar {x}} (s ') geq { bar {x}} (s)}$. Этот подход делает различные предположения, в первую очередь квазивогнутость ${ Displaystyle е ( cdot; s)}$.

Одномерные задачи оптимизации

Хотя ясно, что означает увеличение уникального оптимального решения, не сразу понятно, что это означает для соответствия. ${ displaystyle arg max _ {x in X} f (x; s)}$ увеличиваться в ${ displaystyle s}$. Стандартное определение, принятое в литературе, следующее.

Определение (строгий порядок набора):^[1] Позволять ${ displaystyle Y}$ и ${ displaystyle Y '}$ быть подмножествами ${ Displaystyle mathbb {R}}$. Набор ${ displaystyle Y '}$ доминирует ${ displaystyle Y}$ в строгий порядок набора (${ displaystyle Y ' geq _ {SSO} Y}$) если для любого ${ displaystyle x '}$ в ${ displaystyle Y '}$ и ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle Y}$, у нас есть ${ Displaystyle макс {х ', х }}$ в ${ displaystyle Y '}$ и ${ Displaystyle мин {х ', х }}$ в ${ displaystyle Y}$.

В частности, если ${ Displaystyle Y: = {х }}$ и ${ Displaystyle Y ': = {x' }}$, тогда ${ displaystyle Y ' geq _ {SSO} Y}$ если и только если ${ displaystyle x ' geq x}$. Переписка ${ displaystyle arg max _ {x in X} f (x; s)}$ считается возрастающим, если ${ displaystyle arg max _ {x in X} f (x; s ') geq _ {SSO} arg max _ {x in X} f (x; s)}$ в любое время ${ displaystyle s '> _ {S} s}$.

Идея комплементарности между экзогенными и эндогенными переменными формально фиксируется однократными перекрестными различиями.

Определение (функция одиночного пересечения): Позволять ${ displaystyle phi: S rightarrow mathbb {R}}$. потом ${ displaystyle phi}$ это функция одиночного пересечения если для любого ${ displaystyle s ' geq _ {S} s}$ у нас есть ${ Displaystyle phi (s) geq (>) 0 Rightarrow phi (s ') geq (>) 0}$.

Определение (одиночные перекрестные различия):^[2] Семейство функций ${ Displaystyle {е ( cdot; s) } _ {s in S}}$, ${ displaystyle f: X times S to mathbb {R}}$, подчиниться одиночные перекрестные различия (или удовлетворить сингл пересечение собственности) если для всех ${ displaystyle x ' geq x}$, функция ${ Displaystyle Delta (s) = f (x '; s) -f (x; s)}$ - функция одиночного пересечения.

Очевидно, что возрастающая функция - это функция однократного пересечения и, если ${ displaystyle Delta (s)}$ увеличивается в ${ displaystyle s}$ (в приведенном выше определении для любого ${ displaystyle x '> x}$), мы говорим, что ${ Displaystyle {е ( cdot; s) } _ {s in S}}$ подчиниться возрастающие различия. В отличие от возрастающих различий, одиночные перекрестные различия - это порядковая собственность, т.е. если ${ Displaystyle {е ( cdot; s) } _ {s in S}}$ подчиняться одиночным перекрестным различиям, то так же ${ Displaystyle {г ( cdot; s) } _ {s in S}}$, куда ${ Displaystyle г (х; s) = H (е (х; s); s)}$ для какой-то функции ${ Displaystyle Н ( cdot; s)}$ что строго увеличивается в ${ displaystyle x}$.

Теорема 1:^[3] Определять ${ Displaystyle F_ {Y} (s): = arg max _ {x in Y} f (x; s)}$. Семья ${ Displaystyle {е ( cdot; s) } _ {s in S}}$ подчиняться одиночным пересекающимся различиям тогда и только тогда, когда для всех ${ Displaystyle Y substeq X}$, у нас есть ${ Displaystyle F_ {Y} (s ') geq _ {SSO} F_ {Y} (s)}$ для любого ${ displaystyle s ' geq _ {S} s}$.

Доказательство: Предполагать ${ displaystyle s ' geq _ {S} s}$ и ${ displaystyle x in F_ {Y} (s)}$, и ${ displaystyle x ' in F_ {Y} (s')}$. Мы должны показать, что ${ Displaystyle макс {х ', х } в F_ {Y} (s')}$ и ${ displaystyle min {x ', x } in F_ {Y} (s)}$. Нам нужно только рассмотреть случай, когда ${ Displaystyle х> х '}$. С ${ displaystyle x in F_ {Y} (s)}$, мы получаем ${ Displaystyle f (x; s) geq f (x '; s)}$, что гарантирует, что ${ Displaystyle х в F_ {Y '} (s')}$. Более того, ${ Displaystyle f (x; s) = f (x '; s)}$ так что ${ displaystyle x ' in F_ {Y} (s)}$. Если не, ${ Displaystyle f (x; s)> f (x '; s)}$ что означает (путем однократного пересечения разностей), что ${ Displaystyle f (x; s ')> f (x'; s ')}$, что противоречит оптимальности ${ displaystyle x '}$ в ${ displaystyle s '}$. Чтобы показать необходимость однократных пересечений разностей, установите ${ displaystyle Y: = {x, { bar {x}} }}$, куда ${ displaystyle { bar {x}} geq x}$. потом ${ Displaystyle F_ {Y} (s ') geq _ {SSO} F_ {Y} (s)}$ для любого ${ displaystyle s ' geq _ {S} s}$ гарантирует, что если ${ displaystyle f ({ bar {x}}; s) geq (>) f (x; s)}$, тогда ${ displaystyle f ({ bar {x}}; s ') geq (>) f (x; s')}$. Q.E.D.

Применение (монопольный выпуск и изменение затрат): Монополист выбирает ${ Displaystyle х в Икс substeq mathbb {R} _ {+}}$ максимизировать свою прибыль ${ Displaystyle Pi (х; -c) = xP (x) -cx}$, куда ${ Displaystyle P: mathbb {R} _ {+} to mathbb {R} _ {+}}$ - обратная функция спроса и ${ displaystyle c geq 0}$ постоянные предельные затраты. Обратите внимание, что ${ Displaystyle { Pi ( cdot, -c) } _ {(- c) in mathbb {R} _ {-}}}$ подчиняются одиночным перекрестным различиям. Действительно, возьмите любой ${ displaystyle x ' geq x}$ и предположим, что ${ Displaystyle х'P (х ') - cx' geq (>) xP (x) -cx}$; для любого ${ displaystyle c '}$ такой, что ${ Displaystyle (-c ') geq (-c)}$, мы получаем ${ displaystyle x'P (x ') - c'x' geq (>) xP (x) -c'x}$. Согласно теореме 1, выпуск, максимизирующий прибыль, уменьшается по мере увеличения предельных издержек выпуска, т. Е. Когда ${ displaystyle (-c)}$ уменьшается.

Порядок интервального доминирования

Однократные пересечения разностей не являются необходимым условием для увеличения оптимального решения по параметру. Фактически условие необходимо только для ${ displaystyle arg max _ {x in Y} f (x; s)}$ увеличиваться в ${ displaystyle s}$ за любой ${ Displaystyle Y подмножество X}$. Как только наборы ограничиваются более узким классом подмножеств ${ displaystyle X}$, условие одиночных пересекающихся разностей больше не требуется.

Определение (интервал):^[4] Позволять ${ Displaystyle X substeq mathbb {R}}$. Множество ${ Displaystyle Y substeq X}$ является интервал из ${ displaystyle X}$ если, когда ${ displaystyle x ^ {*}}$ и ${ displaystyle x ^ {**}}$ находятся в ${ displaystyle Y}$, то любой ${ displaystyle x in X}$ такой, что ${ Displaystyle х ^ {*} leq x leq x ^ {**}}$ также в ${ displaystyle Y}$.

Например, если ${ Displaystyle X = mathbb {N}}$, тогда ${ displaystyle {1,2,3,4 }}$ это интервал ${ displaystyle X}$ но нет ${ displaystyle {1,2,4 }}$. Обозначить ${ displaystyle [x ^ {*}, x ^ {**}] = {x in X | x ^ {*} leq x leq x ^ {**} }}$.

Определение (порядок интервального доминирования):^[5] Семья ${ Displaystyle {е ( cdot; s) } _ {s in S}}$ подчиняться порядок интервального доминирования (IDO) если для любого ${ displaystyle x ''> x '}$ и ${ displaystyle s ' geq _ {S} s}$, так что ${ Displaystyle f (х ''; s) geq f (x; s)}$, для всех ${ Displaystyle х в [х ', х' ']}$, у нас есть ${ Displaystyle е (х ''; s) geq (>) f (x '; s) Rightarrow f (x' '; s') geq (>) f (x '; s' )}$.

Подобно разностям одиночного пересечения, порядок доминирования интервала (IDO) является порядковым свойством. Примером семейства IDO является семейство квазивогнутых функций. ${ Displaystyle {е ( cdot; s) } _ {s in S}}$ куда ${ displaystyle arg max _ {x in X} f (x, s)}$ увеличивается в ${ displaystyle s}$. Такая семья не обязана подчиняться одиночным перекрестным различиям.

Функция ${ displaystyle f: X times S to mathbb {R}}$ является обычный если ${ displaystyle arg max _ {x in [x ^ {*}, x ^ {**}]} f (x; s)}$ непусто ни для каких ${ displaystyle x ^ {**} geq x ^ {*}}$, куда ${ Displaystyle [х ^ {*}, х ^ {**}]}$ обозначает интервал ${ Displaystyle {х ин Икс | х ^ {*} leq x leq x ^ {**} }}$.

Теорема 2:^[6] Обозначить ${ Displaystyle F_ {Y} (s): = arg max _ {x in Y} f (x; s)}$. Семейство обычных функций ${ Displaystyle {е ( cdot; s) } _ {s in S}}$ подчиняется интервальному порядку доминирования тогда и только тогда, когда ${ displaystyle F_ {Y} (s)}$ увеличивается в ${ displaystyle s}$ для всех интервалов ${ Displaystyle Y substeq X}$.

Доказательство: Чтобы показать достаточность IDO, возьмите любые два ${ displaystyle s ' geq _ {S} s}$, и предположим, что ${ displaystyle x ' in F_ {Y} (s)}$ и ${ Displaystyle х '' в F_ {Y} (s ')}$. Нам нужно только рассмотреть случай, когда ${ displaystyle x '> x' '}$. По определению ${ Displaystyle е (х '; s) geq f (x; s)}$, для всех ${ Displaystyle х в [х '', х '] подмножество Y}$. Кроме того, по IDO у нас есть ${ displaystyle f (x '; s') geq f (x ''; s ')}$. Следовательно, ${ displaystyle x ' in F_ {Y} (s')}$. Кроме того, должно быть, что ${ displaystyle f (x '; s) = f (x' '; s)}$. В противном случае, т.е. если ${ Displaystyle f (x '; s)> f (x' '; s)}$, то по IDO имеем ${ Displaystyle f (x '; s')> f (x ''; s ')}$, что противоречит ${ Displaystyle х '' в F_ {Y} (s ')}$. Чтобы показать необходимость IDO, предположим, что существует интервал ${ Displaystyle [х '', х ']}$ такой, что ${ Displaystyle е (х '; s) geq f (x; s)}$ для всех ${ Displaystyle х в [х '', х ']}$. Это означает, что ${ displaystyle x ' in arg max _ {x in [x' ', x']} f (x; s)}$. Есть два возможных нарушения IDO. Одна возможность состоит в том, что ${ displaystyle f (x ''; s ')> f (x'; s ')}$. В этом случае по регулярности ${ Displaystyle е ( cdot; s ')}$, набор ${ displaystyle arg max _ {x in [x '', x ']} f (x; s')}$ не пусто, но не содержит ${ displaystyle x '}$ что невозможно, так как ${ displaystyle arg max _ {x in [x '', x ']} f (x; s)}$ увеличивается в ${ displaystyle s}$. Другое возможное нарушение IDO происходит, если ${ Displaystyle f (х ''; s ') = f (x'; s ')}$ но ${ Displaystyle f (х ''; s)$. В этом случае набор ${ displaystyle arg max _ {x in [x '', x ']} f (x; s')}$ либо содержит ${ displaystyle x ''}$, что невозможно, поскольку ${ displaystyle arg max _ {x in [x '', x ']} f (x; s)}$ увеличивается в ${ displaystyle s}$ (обратите внимание, что в этом случае ${ displaystyle x '' not in arg max _ {x in [x '', x ']} f (x; s')}$) или не содержит ${ displaystyle x '}$, что также нарушает монотонность ${ displaystyle arg max _ {x in [x '', x ']} f (x; s)}$. Q.E.D.

Следующий результат дает полезные достаточные условия для разностей однократного пересечения и IDO.

Предложение 1:^[7] Позволять ${ displaystyle X}$ быть интервалом ${ Displaystyle mathbb {R}}$ и ${ Displaystyle {е ( cdot; s) } _ {s in S}}$ - семейство непрерывно дифференцируемых функций. (i) Если для любого ${ displaystyle s ' geq _ {S} s}$, существует номер ${ displaystyle alpha> 0}$ такой, что ${ displaystyle f '(x; s') geq alpha f '(x; s)}$ для всех ${ displaystyle x in X}$, тогда ${ Displaystyle {е ( cdot; s) } _ {s in S}}$ подчиняются одиночным перекрестным различиям. (ii) Если для любого ${ displaystyle s ' geq _ {S} s}$, существует неубывающая строго положительная функция ${ displaystyle alpha: X rightarrow mathbb {R}}$ такой, что ${ displaystyle f '(x; s') geq alpha (x) f '(x; s)}$ для всех ${ displaystyle x in X}$, тогда ${ Displaystyle {е ( cdot; s) } _ {s in S}}$ подчиняться IDO.

Применение (проблема оптимальной остановки):^[8] В каждый момент времени агент получает прибыль в размере ${ Displaystyle пи (т)}$, которое может быть положительным или отрицательным. Если агент решит остановиться вовремя ${ displaystyle x}$, приведенная стоимость его накопленной прибыли равна

${ Displaystyle V (х; -r) = int _ {0} ^ {x} e ^ {- rt} pi (t) dt,}$

куда ${ displaystyle r> 0}$ - ставка дисконтирования. С ${ Displaystyle V '(х; -r) = е ^ {- rx} пи (х)}$, функция ${ displaystyle V}$ имеет много поворотных моментов, и они не зависят от ставки дисконтирования. Мы утверждаем, что оптимальное время остановки уменьшается по ${ displaystyle r}$, т.е. если ${ displaystyle r '> r> 0}$ тогда ${ displaystyle arg max _ {x geq 0} V (x; -r) geq _ {SSO} arg max _ {x geq 0} V (x; -r ')}$. Возьми любой ${ displaystyle r '$. Потом, ${ Displaystyle V '(x; -r) = e ^ {- rx} pi (x) = e ^ {(r'-r) x} V' (x; -r ').}$ С ${ Displaystyle альфа (х) = е ^ {(г'-г) х}}$ положительно и возрастает, предложение 1 говорит, что ${ Displaystyle {В ( cdot; -r) } _ {(- г) <0}}$ подчиняются IDO, и по теореме 2 набор оптимальных моментов остановки уменьшается.

Проблемы многомерной оптимизации

Приведенные выше результаты могут быть распространены на многомерную настройку. Позволять ${ displaystyle (X, geq _ {X})}$ быть решетка. Для любых двух ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle x '}$ в ${ displaystyle X}$обозначим их супремум (или же наименьшая верхняя граница, или присоединиться) ${ displaystyle x ' vee x}$ и их инфимум (или же наибольшая нижняя граница, или встретиться) ${ Displaystyle х ' клин х}$.

Определение (строгий порядок набора):^[9] Позволять ${ displaystyle (X, geq _ {X})}$ быть решеткой и ${ displaystyle Y}$, ${ displaystyle Y '}$ быть подмножествами ${ displaystyle X}$. Мы говорим что ${ displaystyle Y '}$ доминирует ${ displaystyle Y}$ в строгий порядок набора (${ displaystyle Y ' geq _ {SSO} Y}$ ) если для любого ${ displaystyle x '}$ в ${ displaystyle Y '}$ и ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle Y}$, у нас есть ${ displaystyle x vee x '}$ в ${ displaystyle Y '}$ и ${ Displaystyle х клин х '}$ в ${ displaystyle Y}$.

Примеры сильного порядка в высших измерениях.

• Позволять ${ Displaystyle X = mathbb {R}}$ и ${ displaystyle Y: = [a, b]}$, ${ displaystyle Y ': = [а', b ']}$ быть некоторыми отрезками в ${ displaystyle X}$. Четко ${ Displaystyle (Х, geq)}$, куда ${ displaystyle geq}$ стандартный заказ на ${ Displaystyle mathbb {R}}$, является решеткой. Следовательно, как было показано в предыдущем разделе ${ displaystyle Y ' geq _ {SSO} Y}$ если и только если ${ displaystyle a ' geq a}$ и ${ displaystyle b ' geq b}$;
• Позволять ${ Displaystyle X = mathbb {R} ^ {n}}$ и ${ displaystyle Y}$, ${ Displaystyle Y ' подмножество X}$ быть некоторыми гипер прямоугольники. То есть существуют векторы ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle a '}$, ${ displaystyle b '}$ в ${ displaystyle X}$ такой, что ${ Displaystyle Y: = {х в Икс | a leq x leq b }}$ и ${ Displaystyle Y ': = {x in X | a' leq x leq b '}}$, куда ${ displaystyle geq}$ - естественный покоординатный порядок на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$. Обратите внимание, что ${ Displaystyle (Х, geq)}$ это решетка. Более того, ${ displaystyle Y ' geq _ {SSO} Y}$ если и только если ${ displaystyle a ' geq a}$ и ${ displaystyle b ' geq b}$;
• Позволять ${ displaystyle (X, geq _ {X})}$ быть пространством для всех распределения вероятностей с поддержкой, являющейся подмножеством ${ Displaystyle mathbb {R}}$, наделенный первым порядком стохастическое доминирование порядок ${ displaystyle geq _ {X}}$. Обратите внимание, что ${ displaystyle (X, geq _ {X})}$ это решетка. Позволять ${ Displaystyle Y: = Delta ([a, b])}$, ${ displaystyle Y ': = Delta ([a', b '])}$ обозначают множества распределений вероятностей с поддержкой ${ Displaystyle [а, б]}$ и ${ Displaystyle [а ', б']}$ соответственно. Потом, ${ displaystyle Y ' geq _ {SSO} Y}$ относительно ${ displaystyle geq _ {X}}$ если и только если ${ displaystyle a ' geq a}$ и ${ displaystyle b ' geq b}$.

Определение (квазисупермодулярная функция):^[10] Позволять ${ displaystyle (X, geq _ {X})}$ быть решеткой. Функция ${ displaystyle f: X to mathbb {R}}$ является квазисупермодульный (QSM), если

${ Displaystyle f (x) geq (>) f (x wedge x ') Rightarrow f (x vee x') geq (>) f (x ').}$

Функция ${ displaystyle f}$ считается супермодульная функция если ${ displaystyle f (x vee x ') - f (x') geq f (x) -f (x wedge x ').}$ Каждая супермодульная функция квазисупермодулярна. Как и в случае разностей единичных пересечений, и в отличие от сверхмодулярности, квазисупермодульность является порядковым свойством. То есть, если функция ${ displaystyle f}$ квазисупермодулярна, то и функция ${ displaystyle g: = H circ f}$, куда ${ displaystyle H}$ - некоторая строго возрастающая функция.

Теорема 3:^[11] Позволять ${ displaystyle (X, geq _ {X})}$ решетка, ${ displaystyle (S, geq _ {S})}$ частично упорядоченный набор, и ${ displaystyle Y}$, ${ displaystyle Y '}$ подмножества ${ displaystyle X}$. Данный ${ displaystyle f: X times S to mathbb {R}}$, обозначим ${ displaystyle arg max _ {x in Y} f (x; s)}$ к ${ displaystyle F_ {Y} (s)}$. потом ${ Displaystyle F_ {Y '} (s') geq _ {SSO} F_ {Y} (s)}$ для любого ${ displaystyle s ' geq _ {S} s}$ и ${ displaystyle Y ' geq _ {SSO} Y}$

Доказательство: ${ Displaystyle ( Leftarrow)}$. Позволять ${ displaystyle Y ' geq _ {SSO} Y}$, ${ displaystyle s ' geq _ {S} s}$, и ${ displaystyle x ' in F_ {Y'} (s ')}$, ${ displaystyle x in F_ {Y} (s)}$. С ${ displaystyle x in F_ {Y} (s)}$ и ${ displaystyle Y ' geq _ {SSO} Y}$, тогда ${ Displaystyle f (x; s) geq f (x ' клин x; s)}$. По квазисупермодульности ${ Displaystyle е (х ' vee x; s) geq f (x'; s)}$, а по разностям одиночного пересечения ${ Displaystyle е (х ' vee x; s') geq f (x '; s')}$. Следовательно ${ displaystyle x ' vee x in F_ {Y'} (s ')}$. Теперь предположим, что ${ displaystyle x ' клин x not in F_ {Y} (s)}$. потом ${ Displaystyle е (х; s)> е (х ' клин х; s)}$. По квазисупермодульности ${ Displaystyle е (х ' vee x; s)> f (x'; s)}$, и разностями одиночного пересечения ${ Displaystyle f (х ' vee x; s')> f (x '; s')}$. Но это противоречит тому, что ${ displaystyle x ' in F_ {Y'} (s ')}$. Следовательно, ${ displaystyle x ' клин x in F_ {Y} (s)}$.

${ Displaystyle ( Rightarrow)}$. Набор ${ Displaystyle Y ': = {x', x ' vee x }}$ и ${ Displaystyle Y: = {х, х ' клин х }}$. Потом, ${ displaystyle Y ' geq _ {SSO} Y}$ и поэтому ${ Displaystyle F_ {Y '} (s) geq _ {SSO} F_ {Y} (s)}$, что гарантирует, что если ${ Displaystyle е (х; s) geq (>) f (х ' клин х; s)}$, тогда ${ Displaystyle е (х ' vee x; s) geq (>) f (x'; s)}$. Чтобы показать, что одиночные пересечения также сохраняются, установите ${ displaystyle Y: = {x, { bar {x}} }}$, куда ${ displaystyle { bar {x}} geq x}$. потом ${ Displaystyle F_ {Y} (s ') geq _ {SSO} F_ {Y} (s)}$ для любого ${ displaystyle s ' geq _ {S} s}$ гарантирует, что если ${ displaystyle f ({ bar {x}}; s) geq (>) f (x; s)}$, тогда ${ displaystyle f ({ bar {x}}; s ') geq (>) f (x; s')}$. Q.E.D.

Применение (Производство с несколькими товарами):^[12] Позволять ${ displaystyle x}$ обозначают вектор входов (взятых из подрешетки ${ displaystyle X}$ из ${ Displaystyle mathbb {R} _ {+} ^ {l}}$) фирмы, максимизирующей прибыль, ${ displaystyle p in mathbb {R} _ {++} ^ {l}}$ вектор входных цен, и ${ displaystyle V}$ входной вектор отображения функции дохода ${ displaystyle x}$ к выручке (в ${ Displaystyle mathbb {R}}$). Прибыль фирмы составляет ${ Displaystyle Пи (х; р) = В (х) -р CDOT х}$. Для любого ${ displaystyle x '}$, ${ displaystyle x in X}$, ${ displaystyle x ' geq x}$, ${ Displaystyle V (х ') - V (х) + (- р) (х'-х)}$ увеличивается в ${ displaystyle (-p)}$. Следовательно, ${ Displaystyle { Pi ( cdot; p) } _ {p in mathbb {R} _ {++} ^ {l}}}$ имеет увеличивающиеся различия (и поэтому он подчиняется различиям одиночного скрещивания). Более того, если ${ displaystyle V}$ супермодульна, то и ${ Displaystyle Пи ( cdot; р)}$. Следовательно, он квазисупермодулярный и по теореме 3 ${ displaystyle arg max _ {x in X} Pi (x; p) geq _ {SSO} arg max _ {x in X} Pi (x; p ')}$ за ${ displaystyle p ' geq p}$.

Проблемы с ограниченной оптимизацией

В некоторых важных экономических приложениях соответствующее изменение набора ограничений не может быть легко понято как увеличение по сравнению с строгим порядком набора, и поэтому теорему 3 нелегко применить. Например, рассмотрим потребителя, который максимизирует функцию полезности. ${ displaystyle u: X to mathbb {R}}$ с учетом бюджетных ограничений. По цене ${ displaystyle p}$ в ${ Displaystyle mathbb {R} _ {++} ^ {п}}$ и богатство ${ displaystyle w> 0}$, его бюджет ${ Displaystyle В (п, ш) = {х в Икс | р CDOT х Leq ш }}$ и его требование установлено на ${ Displaystyle (п, ш)}$ есть (по определению) ${ Displaystyle D (п, ш) = арг макс _ {х в В (р, ш)} и (х)}$. Базовым свойством потребительского спроса является нормальность, что означает (в случае, когда спрос уникален), что спрос на каждый товар увеличивается в богатстве. Теорема 3 не может быть непосредственно применена для получения условий нормальности, поскольку ${ Displaystyle B (p, w ') not geq _ {SSO} B (p, w)}$ если ${ displaystyle w '> w}$ (когда ${ displaystyle geq _ {SSO}}$ происходит из евклидова порядка). В этом случае имеет место следующий результат.

Теорема 4.^[13] Предполагать ${ displaystyle u: mathbb {R} _ {++} ^ {n} rightarrow mathbb {R}}$ является супермодульным и вогнутым. Тогда соответствие спроса нормально в следующем смысле: предположим, ${ displaystyle w ''> w '}$, ${ displaystyle x '' in D (p, w '')}$ и ${ Displaystyle х ' в D (п, ш')}$; тогда есть ${ displaystyle z '' in D (p, w '')}$ и ${ Displaystyle г ' в D (п, ш')}$ такой, что ${ displaystyle z '' geq x '}$ и ${ Displaystyle х '' geq z '}$.

Супермодульность ${ displaystyle u}$ одно только гарантирует, что для любого ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$, ${ Displaystyle и (х клин у) -у (у) geq и (х) -у (х ви у)}$. Обратите внимание, что четыре точки ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle y}$, ${ Displaystyle х клин у}$, и ${ displaystyle x vee y}$ образуют прямоугольник в евклидовом пространстве (в том смысле, что ${ Displaystyle х клин у-х = у-х ви у}$, ${ Displaystyle х-х ви у = х клин у-у}$, и ${ Displaystyle х клин у-х}$ и ${ Displaystyle х-х ви у}$ ортогональны). С другой стороны, супермодульность и вогнутость вместе гарантируют, что${ Displaystyle и (х ви у- лямбда v) -у (у) geq и (х) -у (х клин у + лямбда v).}$для любого ${ Displaystyle лямбда в [0,1]}$, куда ${ Displaystyle v = y-x клин y = x vee y-x}$. В этом случае, что особенно важно, четыре точки ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle y}$, ${ displaystyle x vee y- lambda v}$, и ${ Displaystyle х клин у + лямбда v}$ образуют обратный параллелограмм в евклидовом пространстве.

Монотонная сравнительная статика в условиях неопределенности

Позволять ${ Displaystyle X подмножество mathbb {R}}$, и ${ Displaystyle {е ( cdot; s) } _ {s in S}}$ - семейство действительных функций, определенных на ${ displaystyle X}$ которые подчиняются одиночным различиям скрещивания или порядку доминирования интервалов. Теорема 1 и 3 говорят нам, что ${ Displaystyle arg max _ {х в X} е (х,; s)}$ увеличивается в ${ displaystyle s}$. Устный перевод ${ displaystyle s}$ чтобы быть состоянием мира, это означает, что оптимальное действие увеличивается в состоянии, если состояние известно. Предположим, однако, что действие ${ displaystyle x}$ принято до ${ displaystyle s}$ реализовано; тогда кажется разумным, что оптимальное действие должно увеличиваться с вероятностью более высоких состояний. Чтобы сформулировать это понятие формально, пусть ${ displaystyle { lambda ( cdot; t) } _ {t in T}}$ - семейство функций плотности, параметризованных ${ displaystyle t}$ в позе ${ Displaystyle (Т, geq _ {T})}$, где выше ${ displaystyle t}$ связана с более высокой вероятностью более высоких состояний либо в смысле стохастического доминирования первого порядка, либо монотонное отношение правдоподобия свойство. Делая выбор в условиях неопределенности, агент максимизирует

${ Displaystyle F (x; t) = int _ {S} f (x; s) , lambda (s; t) , ds.}$

За ${ displaystyle arg max _ {x in X} F (x; t)}$ увеличиваться в ${ displaystyle t}$, достаточно (по теоремам 1 и 2), чтобы семейство ${ Displaystyle {F ( cdot; t) } _ {t in T}}$ подчиняются одиночным различиям скрещивания или порядку доминирования интервалов. Результаты этого раздела дают условие, при котором это выполняется.

Теорема 5. Предполагать ${ Displaystyle {е ( cdot; s) } _ {s in S}}$ ${ Displaystyle (S substeq mathbb {R})}$ подчиняется возрастающим различиям. Если ${ displaystyle { lambda ( cdot; t) } _ {t in T}}$ упорядочен относительно стохастического доминирования первого порядка, то ${ Displaystyle {F ( cdot; t) } _ {t in T}}$ подчиняется возрастающим различиям.

Доказательство: Для любого ${ displaystyle x ', x in X}$, определять ${ Displaystyle phi (s): = f (x '; s) -f (x; s)}$. Потом, ${ Displaystyle F (x '; t) -F (x; t) = int _ {S} [f (x'; s) -f (x; s)] lambda (s; t) ds}$, или эквивалентно ${ Displaystyle F (x '; t) -F (x; t) = int _ {S} phi (s) lambda (s; t) ds}$. С ${ Displaystyle {е ( cdot; s) } _ {s in S}}$ подчиняется возрастающим различиям, ${ displaystyle phi}$ увеличивается в ${ displaystyle s}$ и гарантии стохастического доминирования первого порядка ${ Displaystyle F (х '; т) -F (х; т)}$ увеличивается в ${ displaystyle t}$. Q.E.D.

В следующей теореме Икс может быть либо «разницей одиночного пересечения», либо «порядком доминирования интервала».

Теорема 6.^[14] Предполагать ${ Displaystyle {е ( cdot; s) } _ {s in S}}$ (за ${ Displaystyle S substeq mathbb {R}}$) подчиняется Икс. Тогда семья ${ Displaystyle {F ( cdot; t) } _ {t in T}}$ подчиняется Икс если ${ displaystyle { lambda ( cdot; t) } _ {t in T}}$ упорядочен относительно свойства монотонного отношения правдоподобия.

Условие монотонного отношения правдоподобия в этой теореме нельзя ослабить, как показывает следующий результат.

Предложение 2: Позволять ${ Displaystyle лямбда ( cdot; т ')}$ и ${ Displaystyle лямбда ( cdot; т)}$ - две вероятностные массовые функции, определенные на ${ Displaystyle S: = {1,2, ldots, N }}$ и предположим ${ Displaystyle лямбда ( cdot; т '')}$ не доминирует ${ Displaystyle лямбда ( cdot; т ')}$ относительно свойства монотонного отношения правдоподобия. Тогда есть семейство функций ${ Displaystyle {е ( cdot; s) } _ {s in S}}$, определенные на ${ Displaystyle X подмножество mathbb {R}}$, которые подчиняются одиночным перекрестным различиям, таким, что ${ displaystyle arg max _ {x in X} F (x; t '') < arg max _ {x in X} F (x; t ')}$, куда ${ Displaystyle F (х; т) = сумма _ {s in S} лямбда (s, t) f (x, s)}$ (за ${ Displaystyle т = т ', , т' '}$).

Приложение (задача оптимального портфеля): Агент максимизирует ожидаемую полезность с помощью строго возрастающей функции полезности Бернулли. ${ displaystyle u: mathbb {R} _ {+} to mathbb {R}}$. (Вогнутость не предполагается, поэтому мы позволяем агенту проявлять любовь к риску.) Богатство агента, ${ displaystyle w> 0}$, можно вложить в безопасный или рискованный актив. Цены двух активов нормализованы к 1. Безопасный актив дает постоянную доходность. ${ displaystyle R geq 0}$, а возврат рискованного актива ${ displaystyle s}$ определяется распределением вероятностей ${ displaystyle lambda (s; t)}$. Позволять ${ displaystyle x}$ обозначают вложение агента в рискованный актив. Тогда богатство агента в государстве ${ displaystyle s}$ является ${ Displaystyle (ш-х) р + хз}$. Агент выбирает ${ displaystyle x}$ максимизировать

${ Displaystyle V (x; t): = int _ {S} u ((w-x) R + xs) lambda (s; t) , ds.}$

Обратите внимание, что ${ displaystyle {{ hat {u}} ( cdot; s) } _ {s in S}}$, куда ${ displaystyle { hat {u}} (x; s): = u (wR + x (s-R))}$, подчиняется однократным пересекающимся (но не обязательно возрастающим) различиям. По теореме 6 ${ Displaystyle {В ( cdot; т) } _ {т в Т}}$ подчиняется одиночным перекрестным различиям, и, следовательно, ${ Displaystyle arg макс _ {х geq 0} В (х; т)}$ увеличивается в ${ displaystyle t}$, если ${ displaystyle lambda ( cdot; t) } _ {t in T}}$ упорядочивается с учетом свойства монотонного отношения правдоподобия.

Агрегация единичного пересечения собственности

Хотя сумма возрастающих функций также увеличивается, ясно, что свойство единственного пересечения не обязательно должно сохраняться путем агрегирования. Для того, чтобы сумма отдельных перекрестных функций имела одно и то же свойство, необходимо, чтобы функции были связаны друг с другом определенным образом.

Определение (монотонное соотношение со знаком):^[15] Позволять ${ displaystyle (S, geq _ {S})}$ быть позетом. Две функции ${ displaystyle f, g: S to mathbb {R}}$ подчиниться знаковый {-} монотонность отношения если для любого ${ displaystyle s ' geq s}$, имеет место следующее:

• если ${ displaystyle f (s)> 0}$ и ${ displaystyle g (s) <0}$, тогда

${ displaystyle - { frac {g (s)} {f (s)}} geq - { frac {g (s ')} {f (s')}};}$

• если ${ displaystyle f (s) <0}$ и ${ displaystyle g (s)> 0}$, тогда

${ displaystyle - { frac {f (s)} {g (s)}} geq - { frac {f (s ')} {g (s')}}.}$

Предложение 3: Позволять ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$ быть двумя одиночными перекрестными функциями. потом ${ displaystyle alpha f + beta g}$ является единственной функцией пересечения для любых не {-} отрицательных скаляров ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ если и только если ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$ подчиняться знаковой монотонности.

Доказательство: Предположим, что ${ displaystyle f (s)> 0}$ и ${ displaystyle g (s) <0}$. Определять ${ Displaystyle альфа ^ {*} = - g (s) / f (s)}$, так что ${ Displaystyle альфа ^ {*} f (s) + g (s) = 0}$. С ${ Displaystyle альфа ^ {*} f (s) + g (s)}$ функция одиночного пересечения, должно быть, что ${ Displaystyle альфа ^ {*} е (s ') + g (s') geq 0}$, для любого ${ displaystyle s ' geq s}$. Кроме того, напомним, что поскольку ${ displaystyle f}$ - функция одиночного пересечения, то ${ displaystyle f (s ')> 0}$. Преобразуя указанное выше неравенство, заключаем, что

${ displaystyle alpha ^ {*} = - { frac {g (s)} {f (s)}} geq - { frac {g (s ')} {f (s')}}.}$

Чтобы доказать обратное, без ограничения общности предположим, что ${ displaystyle beta = 1}$. Предположим, что

${ Displaystyle альфа f (s) + g (s) geq (>) 0.}$

Если оба ${ displaystyle f (s) geq 0}$ и ${ displaystyle g (s) geq 0}$, тогда ${ displaystyle f (s ') geq 0}$ и ${ displaystyle g (s ') geq 0}$ поскольку обе функции являются однократными. Следовательно, ${ Displaystyle альфа f (s ') + g (s') geq (>) 0}$. Предположим, что ${ displaystyle g (s) <0}$ и ${ displaystyle f (s)> 0}$. С ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$ подчиняться знаковой {-} монотонности соотношения, должно быть, что

${ displaystyle alpha geq (>) - { frac {g (s)} {f (s)}} geq - { frac {g (s ')} {f (s')}}.}$

С ${ displaystyle f}$ - функция одиночного пересечения, ${ displaystyle f (s ')> 0}$, и так ${ Displaystyle альфа е (s ') + g (s') geq (>) 0.}$ Q.E.D.

Этот результат можно обобщить на бесконечные суммы в следующем смысле.

Теорема 7.^[16] Позволять ${ displaystyle (T, { mathcal {T}}, mu)}$ - пространство с конечной мерой, и предположим, что для каждого ${ displaystyle s in S}$, ${ displaystyle f (s; t)}$ является ограниченной и измеримой функцией от ${ displaystyle t in T}$. потом ${ Displaystyle F (s) = int _ {T} f (s; t) d mu (t)}$ является единственной функцией пересечения, если для всех ${ displaystyle t}$, ${ displaystyle t ' in T}$, пара функций ${ displaystyle f (s; t)}$ и ${ displaystyle f (s; t ')}$ из ${ displaystyle s in S}$ удовлетворяют знаковой монотонности. Это условие также необходимо, если ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ содержит все одноэлементные наборы и ${ displaystyle F}$ требуется, чтобы быть единственной функцией пересечения для любой конечной меры ${ displaystyle mu}$.

Применение (проблема монополии в условиях неопределенности):^[17] Фирма сталкивается с неопределенностью в отношении спроса на ее продукцию ${ displaystyle x}$ и прибыль в государстве ${ Displaystyle т в Т подмножество mathbb {R}}$ дан кем-то ${ Displaystyle Pi (х; -c, t) = xP (x; t) -cx}$, куда ${ displaystyle c}$ предельная стоимость и ${ Displaystyle Р (х, т)}$ обратная функция спроса в состоянии ${ displaystyle t}$. Фирма максимизирует

${ Displaystyle V (x; -c) = int _ {T} u ( Pi (x; -c, t)) d lambda (t),}$

куда ${ displaystyle lambda}$ это вероятность состояния ${ displaystyle t}$ и ${ displaystyle u: mathbb {R} to mathbb {R}}$ - функция полезности Бернулли, отражающая отношение фирмы к неопределенности. По теореме 1 ${ displaystyle arg max _ {x geq 0} V (x; -c)}$ увеличивается в ${ displaystyle -c}$ (т. е. объем производства падает вместе с предельными издержками), если семья ${ Displaystyle {В (х; -c) } _ {с in mathbb {R} _ {+}}}$ подчиняется разностям одиночного скрещивания. Последний по определению говорит, что для любого ${ displaystyle x ' geq x}$, функция

${ Displaystyle Delta (-c) = int _ {T} [u ( Pi (x '; - c, t)) - u ( Pi (x; -c, t))] , d лямбда (t),}$

- функция одиночного пересечения. Для каждого ${ displaystyle t}$, ${ Displaystyle дельта (-c, t) = u ( Pi (x '; - c, t)) - u ( Pi (x; -c, t))}$ функция однократного пересечения ${ displaystyle -c}$. Однако если ${ displaystyle u}$ линейно, ${ displaystyle delta}$ в целом не будет увеличиваться ${ displaystyle -c}$. Применяя теорему 6, ${ displaystyle Delta}$ является однократной функцией пересечения, если для любого ${ displaystyle t ', t in T}$, функции ${ displaystyle delta (-c, t)}$ и ${ displaystyle delta (-c, t ')}$ (из ${ displaystyle -c}$) подчиняются знаковой монотонности. Это гарантировано, когда (i) ${ displaystyle P}$ уменьшается в ${ displaystyle x}$ и увеличение ${ displaystyle t}$ и ${ displaystyle { log (P ( cdot, t)) } _ {t in T}}$ подчиняется возрастающим различиям; и (ii) ${ displaystyle u: mathbb {R} to mathbb {R}}$ дважды дифференцируема, с ${ displaystyle u '> 0}$, и подчиняется убывающей абсолютной предотвращение риска (ДАРА).

Смотрите также

• Сравнительная статика
• Микроэкономика
• Модель (экономика)
• Качественная экономика

Избранная литература по монотонной сравнительной статике и ее приложениям

• Базовые техники - Милгром и Шеннон (1994).,^[18] Милгром (1994),^[19] Шеннон (1995),^[20] Топкис (1998),^[21] Эдлин и Шеннон (1998),^[22] Этей (2002),^[23] Quah (2007),^[24] Куа и Струловичи (2009, 2012),^[25] Кукушкин (2013);^[26]
• Взаимодополняемость производства и их значение - Милгром и Робертс (1990а, 1995);^[27] Топкис (1995);^[28]
• Игры со стратегической взаимодополняемостью - Милгром и Робертс (1990b);^[29] Топкис (1979);^[30] Вивес (1990);^[31]
• Сравнительная статика задачи оптимизации потребителей - Антониаду (2007);^[32] Quah (2007);^[33] Шираи (2013);^[34]
• Монотонная сравнительная статика в условиях неопределенности - Этей (2002);^[35] Куах и Струловичи (2009, 2012);^[36]
• Монотонная сравнительная статика для моделей политики - Ганс и Смарт (1996),^[37] Ашворт и Буэно де Мескита (2006);^[38]
• Сравнительная статика задач оптимальной остановки - Куах и Струловичи (2009, 2013);^[39]
• Монотонные байесовские игры - Этей (2001);^[40] Макадамс (2003);^[41] Куах и Струловичи (2012);^[42]
• Байесовские игры со стратегической взаимодополняемостью - Ван Зандт (2010);^[43] Вивес и Ван Зандт (2007);^[44]
• Теория аукционов - Этей (2001);^[45] Макадамс (2007а, б);^[46] Рени и Замир (2004);^[47]
• Сравнение информационных структур - Куах и Струловичи (2009);^[48]
• Сравнительная статика в промышленной организации - Амир и Грило (1999);^[49] Амир и Лэмбсон (2003 г.);^[50] Вивес (2001);^[51]
• Неоклассический оптимальный рост - Амир (1996b);^[52] Датта, Мирман и Реффетт (2002);^[53]
• Многоступенчатые игры - Вивес (2009);^[54]
• Динамические стохастические игры с бесконечным горизонтом - Амир (1996а, 2003);^[55] Бальбус, Реффетт и Возни (2013, 2014)^[56]

Рекомендации