Гипотеза парной корреляции Монтгомери - Википедия - Montgomerys pair correlation conjecture

Хью Монтгомери в Обервольфахе в 2008 году

В математике Гипотеза парной корреляции Монтгомери это гипотеза, сделанная Хью Монтгомери  (1973 ), что парная корреляция между парами нулей Дзета-функция Римана (нормировано на единичный средний интервал) равно

${ displaystyle 1- left ({ frac { sin ( pi u)} { pi u}} right) ^ {2} + delta (u),}$

который, как Фриман Дайсон указал ему, такая же, как пара корреляционная функция из случайные эрмитовы матрицы. Неформально это означает, что шанс найти нуль на очень коротком интервале длиной 2πL/бревно(Т) на расстоянии 2πты/бревно(Т) с нуля 1/2 +Это около L умножить на выражение выше. (Фактор 2π / log (Т) - коэффициент нормализации, который можно неформально рассматривать как средний интервал между нулями с мнимой частью около Т.) Андрей Одлызко  (1987 ) показал, что гипотеза подтверждается крупномасштабными компьютерными вычислениями нулей. Гипотеза распространена на корреляции более чем двух нулей, а также на дзета-функции автоморфных представлений (Рудник и Сарнак 1996 ). В 1982 году ученик Монтгомери Али Эрхан Озлюк доказал гипотезу парной корреляции для некоторых L-функций Дирихле.А.Е. Озлюк  (1982 )

Связь со случайными унитарными матрицами может привести к доказательству Гипотеза Римана. В Гипотеза Гильберта – Полиа утверждает, что нули дзета-функции Римана соответствуют собственным значениям линейного оператора, и влечет RH. Некоторые думают, что это многообещающий подход (Андрей Одлызко  (1987 )).

Монтгомери изучал преобразование Фурье F(Икс) парной корреляционной функции и показал (в предположении гипотезы Римана), что она была равна |Икс| для |Икс| <1. Его методы не смогли определить его за |Икс| ≥1, но он предположил, что для этих Икс, что означает, что функция парной корреляции такая же, как и выше. Его также мотивировала идея о том, что гипотеза Римана - это не кирпичная стена, и можно смело высказывать сильнее домыслы.

Численный расчет Одлыжко

Реальная линия описывает двухточечную корреляционную функцию случайной матрицы типа GUE. Синие точки описывают нормированные расстояния между нетривиальными нулями дзета-функции Римана, первые 10⁵ нули.

В 1980-х годах, мотивированный гипотезой Монтгомери, Одлыжко начал интенсивное численное исследование статистики нулей ζ (s). Он подтвердил, что распределение расстояний между нетривиальными нулями, используя подробный численный расчет, и продемонстрировал, что гипотеза Монтгомери верна, и распределение будет согласовываться с распределением расстояний между нулями. Матрица случайных чисел GUE собственные значения с использованием Cray X-MP. В 1987 году он сообщил о своих расчетах в газете. Андрей Одлызко  (1987 ).

Для нетривиального нуля 1/2 + iγ_п, пусть нормированные расстояния будут

${ displaystyle delta _ {n} = { frac { gamma _ {n + 1} - gamma _ {n}} {2 pi}} { log { frac { gamma _ {n}} {2 pi}}}.}$

Тогда мы могли бы ожидать следующую формулу как предел для ${ displaystyle M, N to infty}$:

${ displaystyle { frac {1} {M}} {(n, k) | N leq n leq N + M, , k geq 0, ,}$${ displaystyle delta _ {n} + delta _ {n + 1} + cdots + delta _ {n + k} in [ alpha, beta] }}$${ displaystyle sim int _ { alpha} ^ { beta} left (1 - { biggl (} { frac { sin { pi u}} { pi u}} { biggr)} ^ {2} right) du}$

На основе нового алгоритма, разработанного Одлыжко и Шёнхаге, который позволил им вычислить значение ζ (1/2 + it) в среднем за время t^ε шагов, Одлызко вычислил миллионы нулей на высоте около 10²⁰ и дал некоторые доказательства гипотезы GUE.^[1][2]

Цифра содержит первые 10⁵ нетривиальные нули дзета-функции Римана. Чем больше выбирается нулей, тем точнее их распределение приближается к форме случайной матрицы GUE.

Смотрите также

• Пара Лемера

Рекомендации

• Озлюк, А.Е. (1982), Парная корреляция нулей L-функций Дирихле., Докторская диссертация, Анн-Арбор: Univ. Мичигана, МИСТЕР  2632180
• Кац, Николас М.; Сарнак, Петр (1999), «Нули дзета-функций и симметрия», Американское математическое общество. Бюллетень. Новая серия, 36 (1): 1–26, Дои:10.1090 / S0273-0979-99-00766-1, ISSN  0002-9904, МИСТЕР  1640151
• Монтгомери, Хью Л. (1973), "Парная корреляция нулей дзета-функции", Аналитическая теория чисел, Proc. Симпози. Чистая математика., XXIV, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 181–193, МИСТЕР  0337821
• Одлызко, А.М. (1987), "О распределении расстояний между нулями дзета-функции", Математика вычислений, 48 (177): 273–308, Дои:10.2307/2007890, ISSN  0025-5718, JSTOR  2007890, МИСТЕР  0866115
• Рудник, Зеев; Сарнак, Петр (1996), "Нули главных L-функций и теория случайных матриц", Математический журнал герцога, 81 (2): 269–322, Дои:10.1215 / S0012-7094-96-08115-6, ISSN  0012-7094, МИСТЕР  1395406