Лемма Мостовского о коллапсе - Mostowski collapse lemma

В математическая логика, то Лемма Мостовского о коллапсе, также известный как Коллапс Шепердсона-Мостовски, является теоремой теория множеств представлен Анджей Мостовски  (1949, теорема 3) и Джон Шепердсон  (1953 ).

Заявление

Предположим, что р является бинарным отношением в классе Икс такой, что

  • р является подобный множеству: р−1[Икс] = {у : у р Икс} - набор для каждого Икс,
  • р является обоснованный: каждое непустое подмножество S из Икс содержит р-минимальный элемент (т.е. элемент Икс ∈ S такой, что р−1[Икс] ∩ S пусто),
  • р является экстенсиональный: р−1[Икс] ≠ р−1[у] для каждого отдельного элемента Икс и у из Икс

Лемма Мостовского о коллапсе утверждает, что для любого такого р существует уникальный переходный класс (возможно правильный ), структура которого по отношению принадлежности изоморфна (Икс, р), и изоморфизм единственен. Изоморфизм отображает каждый элемент Икс из Икс к набору изображений элементов у из Икс такой, что y R x (Jech 2003: 69).

Обобщения

Любое хорошо обоснованное отношение, подобное множеству, может быть встроено в хорошо обоснованное, подобное множеству экстенсиональное отношение. Отсюда следует следующий вариант леммы о коллапсе Мостовского: каждое хорошо обоснованное отношение, подобное множеству, изоморфно членству в множестве в (неединственном и не обязательно транзитивном) классе.

Отображение F такой, что F(Икс) = {F(у) : y R x} для всех Икс в Икс можно определить для любого хорошо обоснованного отношения типа множеств р на Икс к обоснованная рекурсия. Он обеспечивает гомоморфизм из р на (вообще говоря, неединственный) транзитивный класс. Гомоморфизм F является изоморфизмом тогда и только тогда, когда р экстенсионально.

Предположение об обоснованности леммы Мостовского можно ослабить или опустить в необоснованные теории множеств. В теории множеств Боффы каждое экстенсиональное отношение, подобное множеству, изоморфно членству множества в (неединственном) транзитивном классе. В теории множеств с Антиосновная аксиома Акзеля, каждое отношение, подобное множеству, есть близкородственный к множественному членству в уникальном транзитивном классе, следовательно, каждое минимальное по бимимуляции отношение, подобное множеству, изоморфно уникальному транзитивному классу.

Заявление

Каждый набор модель из ZF подобен множеству и расширен. Если модель обоснована, то по лемме о коллапсе Мостовского она изоморфна переходная модель ZF и такая переходная модель уникальна.

Сказать, что отношение членства в некоторой модели ZF хорошо обосновано, сильнее, чем сказать, что аксиома регулярности Верно в модели. Есть модель M (при условии согласованности ZF), домен которого имеет подмножество А без р-минимальный элемент, но этот набор А не является «набором в модели» (А не входит в область модели, хотя все ее члены входят в нее). Точнее для такого набора нет А Существует Икс в M такой, что А = р−1[Икс]. Так M удовлетворяет аксиоме регулярности (она «внутренне» хорошо обоснована), но не является хорошо обоснованной, и лемма коллапса к ней неприменима.

Рекомендации

  • Jech, Thomas (2003), Теория множеств, Springer Monographs in Mathematics (изд. Третьего тысячелетия), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-44085-7
  • Мостовский, Анджей (1949), «Неразрешимое арифметическое утверждение» (PDF), Fundamenta Mathematicae, Институт математики Польской академии наук, 36 (1): 143–164, Дои:10.4064 / FM-36-1-143-164
  • Шепердсон, Джон (1953), "Внутренние модели теории множеств, Часть III", Журнал символической логики, Ассоциация символической логики, 18: 145–167, Дои:10.2307/2268947