Многоканонический ансамбль - Multicanonical ensemble

В статистика и физика, мультиканонический ансамбль (также называемый многоканоническая выборка или же плоская гистограмма) это Цепь Маркова Монте-Карло метод отбора проб, использующий Алгоритм Метрополиса – Гастингса вычислить интегралы где подынтегральная функция имеет грубый ландшафт с несколькими локальные минимумы. Он производит выборку состояний согласно инверсии плотность состояний,^[1] который должен быть известен априори или вычисляться с использованием других методов, таких как Алгоритм Ванга и Ландау.^[2] Мультиканоническая выборка - важный метод для вращение такие системы, как Модель Изинга или же спиновые очки.^[1][3][4]

Мотивация

В системах с большим количеством степеней свободы, например вращение системы, Интеграция Монте-Карло необходимо. В этой интеграции выборка по важности и в частности Алгоритм мегаполиса, это очень важная техника.^[3] Тем не менее, алгоритм Metropolis выборки состояний согласно ${ Displaystyle ехр (- бета E)}$ где бета - величина, обратная температуре. Это означает, что энергетический барьер из ${ displaystyle Delta E}$ на энергетическом спектре экспоненциально трудно преодолеть.^[1] Системы с множественными локальными минимумами энергии, такими как Модель Поттса становится трудным для выборки, поскольку алгоритм застревает в локальных минимумах системы.^[3] Это мотивирует другие подходы, а именно другие распределения выборки.

Обзор

Мультиканонический ансамбль использует алгоритм Метрополиса – Гастингса с распределением выборки, заданным обратной плотностью состояний системы, в отличие от распределения выборки ${ Displaystyle ехр (- бета E)}$ алгоритма Метрополис.^[1] При таком выборе в среднем количество состояний, отобранных для каждой энергии, является постоянным, то есть это моделирование с «плоской гистограммой» по энергии. Это приводит к алгоритму, для которого уже нетрудно преодолеть энергетические барьеры. Еще одно преимущество перед алгоритмом Метрополиса состоит в том, что отбор проб не зависит от температуры системы, что означает, что одно моделирование позволяет оценить термодинамические переменные для всех температур (отсюда и название «многоканонический»: несколько температур). Это большое улучшение в изучении первого порядка. фазовые переходы.^[1]

Самая большая проблема при выполнении мультиканонического ансамбля состоит в том, что необходимо знать плотность состояний. априори.^[2][3] Одним из важных вкладов в мультиканоническую выборку была Алгоритм Ванга и Ландау, который асимптотически сходится к многоканоническому ансамблю при вычислении плотности состояний при сходимости.^[2]

Мультиканонический ансамбль не ограничивается физическими системами. Его можно использовать в абстрактных системах, которые имеют функцию стоимости F. Используя плотность состояний по отношению к F, метод становится общим для вычисления многомерных интегралов или нахождения локальных минимумов.^[5]

Мотивация

Рассмотрим систему и ее фазовое пространство ${ displaystyle Omega}$ характеризуется конфигурацией ${ displaystyle { boldsymbol {r}}}$ в ${ displaystyle Omega}$ и функция "стоимости" F из фазового пространства системы в одномерное пространство ${ displaystyle Gamma}$: ${ Displaystyle F ( Omega) = Gamma = [ Gamma _ { min}, Gamma _ { max}]}$, спектр F.

Вычисление средней величины ${ displaystyle langle Q rangle}$ по фазовому пространству требует вычисления интеграла:

${ displaystyle langle Q rangle = int _ { Omega} Q ({ boldsymbol {r}}) P_ {r} ({ boldsymbol {r}}) , d { boldsymbol {r}}}$

куда ${ displaystyle P_ {r} ({ boldsymbol {r}})}$ вес каждого состояния (например, ${ Displaystyle P_ {r} ({ boldsymbol {r}}) = 1 / V}$ соответствуют равномерно распределенным состояниям).

Когда Q не зависит от конкретного состояния, а только от конкретного значения F состояния ${ Displaystyle F ({ boldsymbol {r}}) = F _ { boldsymbol {r}}}$, формула для ${ displaystyle langle Q rangle}$ может быть интегрирован ж добавив дельта-функция Дирака и будет написано как

${ displaystyle { begin {align} langle Q rangle & = int _ { Gamma _ { min}} ^ { Gamma _ { max}} int _ { Omega} Q (F _ { boldsymbol {r}}) P_ {r} (F _ { boldsymbol {r}}) delta (f-F _ { boldsymbol {r}}) , d { boldsymbol {r}} , df & = int _ { Gamma _ { min}} ^ { Gamma _ { max}} Q (f) int _ { Omega} delta (f-F _ { boldsymbol {r}}) P_ { r} (F _ { boldsymbol {r}}) , d { boldsymbol {r}} , df & = int _ { Gamma _ { min}} ^ { Gamma _ { max} } Q (f) P (f) , df конец {выровнено}}}$

куда

${ displaystyle P (f) = int _ { Omega} P_ {r} (r) delta (f-F ({ boldsymbol {r}})) , d { boldsymbol {r}}}$

- маргинальное распределение F.

Когда система имеет большое количество степеней свободы, аналитическое выражение для ${ displaystyle langle Q rangle}$ часто бывает трудно получить, и Интеграция Монте-Карло обычно используется при вычислении ${ displaystyle langle Q rangle}$. В простейшей формулировке метод выбирает N равномерно распределенные состояния ${ displaystyle { boldsymbol {r}} _ {i} in Omega}$, и использует оценщик

${ displaystyle { overline {Q}} _ {N} = sum _ {i = 1} ^ {N} Q ({ boldsymbol {r}} _ {i}) VP_ {r} ({ boldsymbol { r}} _ {i})}$

для вычислений ${ displaystyle langle Q rangle}$ потому что ${ displaystyle { overline {Q}} _ {N}}$ почти наверняка сходится к ${ displaystyle langle Q rangle}$ посредством сильный закон больших чисел:

${ displaystyle lim _ {N rightarrow infty} { overline {Q}} _ {N} = langle Q rangle.}$

Одна типичная проблема такой конвергенции состоит в том, что дисперсия Q может быть очень высоким, что требует больших вычислительных затрат для достижения разумных результатов.

Чтобы улучшить эту сходимость, Алгоритм Метрополиса – Гастингса было предложено. Как правило, идея методов Монте-Карло заключается в использовании выборка по важности для улучшения сходимости оценки ${ displaystyle { overline {Q}} _ {N}}$ путем выборки состояний в соответствии с произвольный распределение ${ displaystyle pi ({ boldsymbol {r}})}$, и используйте соответствующую оценку:

${ displaystyle { overline {Q}} _ {N} = sum _ {i = 1} ^ {N} Q ({ boldsymbol {r}} _ {i}) pi ^ {- 1} ({ boldsymbol {r}} _ {i}) P_ {r} ({ boldsymbol {r}} _ {i})}$.

Эта оценка обобщает оценку среднего для выборок, взятых из произвольного распределения. Следовательно, когда ${ displaystyle pi ({ boldsymbol {r}})}$ - это равномерное распределение, оно соответствует тому, которое использовалось для однородной выборки выше.

Когда система представляет собой физическую систему, контактирующую с термостатом, каждое состояние ${ displaystyle { boldsymbol {r}}}$ взвешивается в соответствии с Фактор Больцмана, ${ displaystyle P_ {r} ({ boldsymbol {r}} _ {i}) propto exp (- beta F _ { boldsymbol {r}})}$.В Монте-Карло канонический ансамбль определяется выбором ${ displaystyle pi ({ boldsymbol {r}})}$ быть пропорциональным ${ displaystyle P_ {r} ({ boldsymbol {r}} _ {i})}$. В этой ситуации оценка соответствует простому среднему арифметическому:

${ displaystyle { overline {Q}} _ {N} = { frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} Q ({ boldsymbol {r}} _ {i} )}$

Исторически это произошло потому, что оригинальная идея^[6] было использовать Алгоритм Метрополиса – Гастингса для вычисления средних значений для системы, контактирующей с термостатом, где вес определяется коэффициентом Больцмана, ${ Displaystyle P ({ boldsymbol {x}}) propto exp (- бета E ({ boldsymbol {r}}))}$.^[3]

Хотя часто бывает, что распределение выборки ${ displaystyle pi}$ выбрано в качестве распределения веса ${ displaystyle P_ {r}}$Это не обязательно. Одна ситуация, когда канонический ансамбль не является эффективным выбором, - это когда для схождения требуется сколь угодно много времени.^[1]Одна из ситуаций, когда это происходит, - это когда функция F имеет несколько локальных минимумов. Вычислительные затраты для алгоритма, чтобы покинуть конкретную область с локальным минимумом, экспоненциально возрастают с увеличением значения функции стоимости минимума. То есть, чем глубже минимум, тем больше времени алгоритм там проводит, и тем сложнее будет уйти (экспоненциально возрастает с глубиной локального минимума).

Один из способов избежать застревания в локальных минимумах функции стоимости - сделать метод выборки «невидимым» для локальных минимумов. Это основа мультиканонического ансамбля.

Многоканонический ансамбль

Мультиканонический ансамбль определяется выбором распределения выборки

${ displaystyle pi ({ boldsymbol {r}}) propto { frac {1} {P (F _ { boldsymbol {r}})}}}$

куда ${ Displaystyle P (f)}$ предельное распределение F, определенное выше. Следствием этого выбора является то, что среднее количество выборок с заданным значением ж, m (f), определяется выражением

${ displaystyle m (f) = int _ { Omega} delta (f-F _ { boldsymbol {r}}) pi ({ boldsymbol {r}}) P_ {r} ({ boldsymbol {r }}) , d { boldsymbol {r}} propto int _ { Omega} delta (f-F _ { boldsymbol {r}}) P_ {r} ({ boldsymbol {r}}) { frac {1} {P (F _ { boldsymbol {r}})}} d { boldsymbol {r}} = { frac {1} {P (f)}} int _ { Omega} delta (f-F _ { boldsymbol {r}}) P_ {r} ({ boldsymbol {r}}) d { boldsymbol {r}} = 1}$

то есть среднее количество выборок не зависит от ж: все затраты ж выбираются одинаково, независимо от того, более или менее вероятны они. Это мотивирует название «плоская гистограмма». Для систем, находящихся в контакте с термостатом, отбор проб не зависит от температуры, и одно моделирование позволяет изучить все температуры.

Время туннелирования и критическое замедление

Как и в любом другом методе Монте-Карло, есть корреляции выборок, взятых из ${ Displaystyle P ({ boldsymbol {r}})}$. Типичным измерением корреляции является время туннелирования. Время туннелирования определяется количеством марковских шагов (марковской цепи), которое необходимо моделированию для выполнения обхода между минимумом и максимумом спектра F. Одним из мотивов использования времени туннелирования является то, что, когда оно пересекает спектр, оно проходит через область максимума плотности состояний, тем самым декоррелируя процесс. С другой стороны, использование круговых обходов гарантирует, что система посещает весь спектр.

Поскольку гистограмма плоская по переменной F, мультиканонический ансамбль можно рассматривать как процесс диффузии (т. е. случайная прогулка ) на одномерной линии F значения. Детальный баланс процесса диктует, что нет дрейф о процессе.^[7] Это означает, что время туннелирования в локальной динамике должно масштабироваться как процесс диффузии, и, следовательно, время туннелирования должно масштабироваться квадратично с размером спектра, N:

${ Displaystyle тау _ {тт} propto N ^ {2}}$

Однако в некоторых системах (модель Изинга является наиболее парадигматической) масштабирование страдает от критического замедления: это ${ displaystyle N ^ {2 + z}}$ куда ${ displaystyle z> 0}$ зависит от конкретной системы.^[4]

Нелокальная динамика была разработана для улучшения масштабирования до квадратичного масштабирования.^[8] (см. Алгоритм Вольфа ), преодолевая критическое замедление. Однако остается открытым вопрос, существует ли локальная динамика, которая не страдает от критического замедления в спиновых системах, подобных модели Изинга.

Рекомендации