Многофакторные модели - Википедия - Multiple factor models

В математические финансы, многофакторные модели находятся оценка активов модели, которые можно использовать для оценки учетная ставка для оценки финансовых активов. Обычно они являются продолжением однофакторной модель ценообразования основных средств (CAPM).

Модель Розенберга и Марата

Модель многофакторного риска капитала была впервые разработана Барром Розенбергом и Винаем Маратом.[1] Первоначально они предложили линейную модель бета-тестирования.

                            r (i, t) -r (0, t) = b (i, t) [m (t) -r (0, t) + g (i, t) b (i, t) = sum_j X (i , j, t) f (j, t) + e (i, t)

где r (i, t) - доходность долевого актива I за период [t, t + 1], r (0, t) - безрисковая доходность, m (t) - доходность рыночного индекса, e (i , t) - рыночная остаточная доходность, а b (i, t) - параметр, соответствующий регрессии временных рядов по истории до момента t. Тогда X (i, j, t) - это значения подверженности риску, рассчитанные на основе фундаментальных и технических данных, f (j, t) - факторные доходности, определяемые перекрестной регрессией для каждого периода времени, а g (i, t) - регрессия. остатки. Эта модель была переформулирована Rosenberg et al. в прямую модель возврата активов,

                              r (i, t) = sum_j X (i, j, t) f (i, j) + e (i, t)

Здесь факторная отдача f (j, t) и конкретная доходность e (i, t) соответствуют взвешенной регрессии за каждый период времени t для репрезентативной совокупности активов. Например, модель может соответствовать 3000 обыкновенных акций США с самой высокой капитализацией. Основное применение модели - оценка актива по матрице ковариации активов C доходности активов по уравнению 

                                       С = XFX ^ t + D

где F - ковариационная матрица доходности активов, а D - блочно-диагональная матрица конкретной доходности. Затем матрица C используется для построения портфеля Марковица, который включает максимизацию квадратичной функции полезности.

                                     u (h) = a ^ t h- k h ^ tCh

с учетом линейных ограничений на вектор владения активами h. Здесь a - вектор ожидаемой доходности, а k - скалярный параметр, называемый избеганием риска.

Модификации Торре

Николо Г. Торре внесли ряд улучшений в эту структуру, которые существенно повысили уровень контроля рисков, достижимый с помощью этих средств.[2] В модели Розенберга индексы риска X состояли из отраслевых весов и индексов риска. Каждый актив будет иметь доступ к одной или нескольким отраслям, например. грамм. на основе разбивки баланса фирмы или отчета о прибылях и убытках по отраслевым сегментам. Сумма этих отраслевых рисков составляет 1 для каждого актива. Таким образом, в модели не было явного рыночного фактора, а рыночная доходность спрогнозировалась на доходность отрасли. Торре модифицировал эту схему, введя явный рыночный фактор (с удельным риском для каждого актива). Чтобы сохранить модель, идентифицированную, наложено условие, что отраслевой фактор возвращает сумму к нулю в каждый период времени. Таким образом, модель оценивается как

                                   f (i, t) = m (t) + sum_j X (i, j, t) f (j, t) + e (i, t)

при условии 

                                    sum_k f (k, t) = 0 для всех t

где сумма превышает отраслевые коэффициенты. Здесь m (t) - рыночная доходность. Явное определение рыночного фактора затем позволило Торре оценить дисперсию этого фактора с использованием модели GARCH (1,1) с заемными средствами, разработанной Робертом Энглом и Тимом Боллерслевом.

                                    s ^ 2 (t) = w + a s ^ 2 (t-1) + b1 fp (m (t-1)) ^ 2 + b2 fm (m (t-1)) ^ 2

Здесь 

                       fp (x) = x для x> 0 0 для x <= 0
                       fm (x) = 0 для x> = 0 x для x <0

и w, a, b1 и b2 - параметры, подходящие из оценок длинных временных рядов с использованием методов максимального правдоподобия. Эта модель обеспечивает быстрое обновление рыночной дисперсии, которое включается в обновление F, что приводит к более динамичной модели риска. В частности, он объясняет конвергенцию доходности активов и, как следствие, потерю диверсификации, которая происходит в портфелях в периоды рыночной турбулентности.

В модели риска отраслевые факторы несут примерно половину объясняющей силы после учета рыночного эффекта. Однако Розенберг оставил нерешенным вопрос о том, как следует определять отраслевые группы, просто полагаясь на традиционный набор отраслей. Определение отраслевых наборов - это проблема таксономии. Основная трудность заключается в том, что отрасль определяется назначенными ей членами, но зачастую неясно, к какой отрасли следует отнести отдельный капитал. Трудности можно уменьшить, введя большое количество четко определенных отраслей, но этот подход противоречит требованиям оценки риска. Для надежных оценок риска мы отдаем предпочтение умеренному количеству отраслей, каждая из которых представляет несколько процентных пунктов рыночной капитализации и не является исключительной для крупнейшей компании отрасли. Торре решил эту проблему, представив несколько сотен узко определенных мини-отраслей, а затем применив методы управляемой кластеризации, чтобы объединить мини-отрасли в отраслевые группы, подходящие для оценки риска.

В первоначальном подходе Розенберга предполагается, что коэффициент и удельная доходность распределены нормально. Однако опыт показывает, что ряд необычных наблюдений является слишком большим и слишком частым, чтобы соответствовать нормальному распределению. Хотя введение рыночного фактора GARCH частично снижает эту трудность, оно не устраняет ее. Торре показал, что возвратные распределения можно моделировать как смесь нормального распределения и скачкообразного распределения. В случае одного фактора модель смешения формулируется легко. Каждый период времени t существует двоичная переменная смешивания b (t). Если b (t) = 0, то коэффициент доходности за этот период берется из нормального распределения, а если b (t) = 1, он берется из распределения скачков. Торре обнаружил, что скачки факторов происходят одновременно. Соответственно, в многомерном случае необходимо ввести многомерный вектор ударной нагрузки w (i, t), где w (i, t) = 0, если многомерная переменная смешивания b (i, t) = 0 и w (i, t) берется из i-го распределения скачков, если b (i, t) = 1. Затем матрица передачи T отображает w из пространства скачков в факторное пространство. Торре обнаружил, что рынок, фактор и конкретная доходность могут быть описаны смесью нормальной доходности и распределенных по степенному закону шоков, происходящих с низкой частотой. Это уточнение моделирования существенно улучшает характеристики модели в отношении экстремальных событий. Таким образом, это делает возможным создание портфелей, которые ведут себя более ожидаемым образом в периоды рыночной турбулентности.

Расширения на другие типы рынков

Хотя модель многофакторного риска изначально была разработана для фондового рынка США, она была быстро распространена на другие фондовые рынки и другие типы ценных бумаг, такие как облигации и опционы на акции. Тогда возникает проблема, как построить модель риска для нескольких классов активов. Первый подход был сделан Бекерсом, Раддом и Стефеком для глобального фондового рынка. Они оценили модель, включающую валюту, страну, глобальные отрасли и глобальные индексы риска. Эта модель хорошо работала для портфелей, построенных по принципу «сверху вниз»: сначала выбирались страны, а затем активы внутри стран. Он был менее успешным для портфелей, построенных по принципу «снизу вверх», при котором портфели внутри стран сначала выбирались страновыми специалистами, а затем применялось глобальное наложение. Кроме того, глобальная модель, применяемая к портфелю отдельной страны, часто не соответствовала бы модели местного рынка. Торре решил эти трудности, введя двухэтапный факторный анализ. Первый этап состоит из подбора серии локальных факторных моделей знакомой формы, в результате чего получается набор факторных доходов f (i, j, t), где f (i, j, t) - возврат к фактору i в j-м локальном модель в t. Затем факторные доходы соответствуют модели второго этапа в форме 

                                 f (i, j, t) = sum_k Y (i, j, k) g (k, t) + h (i, j, t)

Здесь Y показывает воздействие локального фактора (i, j) на глобальный фактор, доходность которого равна g (k, t), а h (i, j, t), является доходностью местного конкретного фактора. Ковариационная матрица доходности факторов оценивается как

где G - ковариационная матрица глобальных факторов, а H - блочно-диагональные ковариации локальных специфических доходностей факторов. Такой подход к моделированию позволяет склеивать любое количество локальных моделей вместе для обеспечения всестороннего анализа нескольких классов активов. Это особенно актуально для глобальных портфелей акций и для управления рисками в масштабах предприятия.

Многофакторная модель риска с описанными выше уточнениями является доминирующим методом контроля рисков в профессионально управляемых портфелях. По оценкам, более половины мирового капитала управляется с помощью таких моделей.

Академические модели

Многие ученые пытались построить факторные модели с довольно небольшим количеством параметров. К ним относятся:

Однако пока нет единого мнения о том, сколько факторов существует.[3] Доступно множество коммерческих моделей, в том числе от MSCI и Факторная модель управления активами Goldman Sachs.[4]

Рекомендации

  1. ^ Розенберг, Барр и Виней Марате. Прогнозирование инвестиционного риска: систематический и остаточный риск. 1975 г.
  2. ^ Рикард, Джон Т. и Николо Г. Торре. «Теория оптимальной реализации транзакции». Сигналы, системы и компьютеры, 1998. Отчет о Тридцать второй конференции Asilomar. Vol. 1. IEEE, 1998.
  3. ^ Харви, Кэмпбелл Р., Ян Лю и Хэцин Чжу. «... И сечение ожидаемой прибыли». Обзор финансовых исследований (2015): hhv059.
  4. ^ https://www.msci.com/portfolio-management